2025届高三数学一轮复习对点练15：对数函数

025届高三数学一轮复习对点练15　对数函数 【基础巩固】 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D.[1，＋∞) 2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A.log2x B. C.logx D.2x－2 3.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 4.在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga(－x)，y＝(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 5.(2024·南昌模拟)已知a＝log3，b＝，c＝log279，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 6.(多选)函数f(x)＝loga|x－1|(a>0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，那么(　　) A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x＝1对称. 7.已知a＝log0.12，b＝log5，则(　　) A.ab＜0＜a＋b B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.a＋b＜ab＜0 8.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为________. 9.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________. 10.(2024·金华调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为________. 11.已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x). (1)求函数f(x)－g(x)的定义域； (2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围. 12.已知函数f(x)＝loga(ax2－x). (1)若a＝，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围. 【能力提升】 13.(2024·临沂模拟)已知x＝，logy＝，x＝logxz，则(　　) A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.z<y<x 14.(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则(　　) A.f(ln 2)＝ln B.f(x)是奇函数 C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D.f(x)的最小值为ln 2 15.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________. 16.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围. 参考答案 1.A　[由题意，要使函数f(x)＝有意义，则满足log0.5(2x－1)≥0， 所以0<2x－1≤1，解得<x≤1， 即函数f(x)的定义域为.] 2.A　[函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1， 所以a＝2.故f(x)＝log2x.] 3.BC　[由图象可知0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c， 由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.] 4.C　[因为函数y＝loga(－x)的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称， 所以函数y＝loga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故A，B错误； 当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减， 而y＝(a>1)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故D错误，C正确.] 5.B　[因为c＝log3332＝， 所以b＝＝＝>＝＝c，故排除A，C； 接下来，判断a与的大小，即可完成选择， a＝log3＝log3＝log3<log3＝＝c，故选B.] 6.AD　[因为函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数， 所以f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上为减函数， 而y＝1－x是减函数，故a>1， 所以当x>1时，f(x)＝loga(x－1)， 而y＝x－1是增函数，且a>1， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故A正确，B错误； 又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，故C错误； 因为f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.] 7.D　[因为a＝log0.12＜0，b＝log5＞0， 所以ab＜0， 又因为a＋b＝log0.12＋log5＝＋ ＝－lg 2＋＝＜0， 所以a＋b＜0， 又＝＋＝log20.1＋log5＝log20.1＋log225＝log22.5＞1，所以＞1， 又ab＜0，所以a＋b＜ab， 所以a＋b＜ab＜0.] 8.－　[依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－， 当log2x＝－，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为－.] 9.4　[由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2， 所以f(x)的定义域为{x|x＞4，或x＜－2}. 又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减， 而y＝lg μ在定义域上单调递增， 所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.] 10.　[因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减， 所以可将f(log(2x－5))＞f(log38)等价于|log(2x－5)|＞|log38|， 即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3， 即2x－5＞8或0＜2x－5＜， 解得x＞或＜x＜.] 11.解　(1)由题意，得解得－1<x<1， 所以函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1). (2)函数f(x)－g(x)是奇函数.理由如下： 因为函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1)， 所以其定义域关于原点对称. 又因为f(－x)－g(－x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)＝－[log2(1＋x)－log2(1－x)] ＝－[f(x)－g(x)]， 所以函数f(x)－g(x)是奇函数. (3)因为f(x)－g(x)>1， 即log2(1＋x)－log2(1－x)>1， 所以log2>1＝log22. 所以解得<x<1. 所以使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围是. 12.解　(1)当a＝时，f(x)＝log. 令x2－x>0，解得x<0或x>2. 所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞). 令y＝x2－x. 因为函数y＝x2－x＝(x－1)2－在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝log在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞). (2)根据题意，知a>0，且a≠1. 令g(x)＝ax2－x，则函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝. 因为f(x)在区间[2，4]上是增函数，则 ①当a>1时，显然≤2，g(x)在区间[2，4]上单调递增， 又因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0， 所以g(2)>0，即4a－2>0，解得a>. 所以a>1. ②当0<a<1时，由题意，得≥4， 解得a≤，所以0<a≤. 因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0， 所以g(4)>0. 所以16a－4>0，解得a>，与0<a≤矛盾，则此种情况不存在. 综上所述，实数a的取值范围是(1，＋∞). 13.B　[令f(x)＝x－，则f(x)在R上单调递增， 由f(1)>0，f<0，知x∈. logy＝⇒y＝， ∵x<， ∴x－y＝－>0⇒x>y， x＝logxz⇒z＝xx>＝x. 综上，y<x<z.] 14.ACD　[f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln，A正确； f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln ex＝ln ＝ln(ex＋e－x)， 所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，B错误； 当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确； 由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确.] 15.(0，1)　[由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)， ∴ab＝1，0<c<lg 10＝1， ∴abc的取值范围是(0，1).] 16.解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x， 因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k<恒成立， 即k<4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. 所以k<－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $$