2025届高三数学一轮复习对点练14：指数函数

025届高三数学一轮复习对点练14　指数函数 【基础巩固】 1.下列函数中，值域是(0，＋∞)的为(　　) A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝3 2.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A. B.1 C. D.2 3.函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 4.(2024·郑州模拟)已知a＝2，b＝4，c＝5，则(　　) A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.b＜a＜c D.c＜a＜b 5.(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A.a>1 　　　 B.0<a<1 C.b>0 　　　 D.b<0 6.(多选)(2024·武汉调研)已知函数y＝，则下列说法正确的是(　　) A.定义域为R B.值域为(0，2] C.在[－2，＋∞)上单调递增 D.在[－2，＋∞)上单调递减 7.(2024·自贡诊断)已知函数f(x)＝＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)>6，则实数a的取值范围为(　　) A.(－4，1) B.(－3，2) C.(0，5) D.(－∞，－4)∪(1，＋∞) 8.(2024·东莞调研)已知函数f(x)＝＋是奇函数，则a＝________. 9.已知0≤x≤2，则函数y＝4x－－3×2x＋5的最大值为________. 10.满足下列三个性质的一个函数f(x)＝______. ①若xy>0，则f(x＋y)＝f(x)f(y)；②f(x)＝f(－x)；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 11.已知函数f(x)＝2mx2－x＋1. (1)若m＝1，判断f(x)在区间上的单调性并证明； (2)若f(x)的值域是[，＋∞)，求m的取值范围. 12.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0，且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值； (2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围. 【能力提升】 13.(2024·本溪模拟)已知x∈(1，2)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.b＞a＞c D.c＞a＞b 14.(多选)(2024·南京调研)已知函数f(x)＝a·＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A.a＋b＝0 B.若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C.若x<y<0，则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0，2) 15.已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________. 16.定义在D上的函数f(x)，如果满足： 对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 参考答案 1.B　[函数y＝的值域为[0，＋∞)； 函数y＝的值域为(0，＋∞)； 函数y＝的值域为[0，1)； 函数y＝3的值域为(0，1)∪(1，＋∞).故选B.] 2.D　[由题意得2a2－5a＋3＝1， ∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝. 当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a＝时，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意. ∴a＝2.] 3.D　[根据题意，函数y＝ax－(a>0，且a≠1)， 当x＝－1时，必有y＝0，即函数经过点(－1，0)，排除ABC.] 4.A　[因为a＝2＝4，b＝4， 所以a＝4＞4＝b， 因为163＞55，所以16＞5， 所以4＞5，即b＞c. 综上所述，a＞b＞c.] 5.BD　[由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减， ∴0<a<1，故B正确； 分析可知，函数f(x)＝ax－b的图象由y＝ax的图象向左平移所得，如图， ∴－b>0，∴b<0，故D正确.] 6.ABD　[函数y＝的定义域为R，A正确； ∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1， ∴0＜≤2， 故函数y＝的值域为(0，2]，B正确； ∵y＝在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数， 在[－2，＋∞)上是增函数， ∴函数y＝在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确.] 7.D　[函数f(x)的定义域为R. 令g(x)＝＋3x，g(x)的定义域为R， 则g(x)＝f(x)－3， g(x)＋g(－x)＝＋3x＋－3x ＝＋＝0， 所以g(x)为奇函数，且g(x)＝1－＋3x为R上的增函数. 因为f(a2)＋f(3a－4)>6， 所以f(a2)－3＋f(3a－4)－3>0， 所以g(a2)＋g(3a－4)>0， 即g(a2)>－g(3a－4)＝g(4－3a)， 所以a2>4－3a，解得a<－4或a>1， 故a的取值范围为(－∞，－4)∪(1，＋∞).故选D.] 8.1　[法一　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以＋＝－， 即＋＝－－， 所以＋＝－1， 即＝－1，所以a＝1. 法二　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)， 即＋＝－，解得a＝1. 当a＝1时，f(x)＝＋， f(－x)＝＋＝＋ ＝－＋＝－＋ ＝－－＝－＝－f(x)， 所以当a＝1时，f(x)为奇函数.] 9.　[设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4， y＝4x－－3×2x＋5＝t2－3t＋5 ＝(t－3)2＋， 故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值.] 10.(a>1)(答案不唯一)　[令f(x)＝(a>1)，f(x＋y)＝，f(x)f(y)＝·＝＝(xy>0)， 所以满足若xy>0，则f(x＋y)＝f(x)f(y). f(－x)＝＝f(x)， 即f(x)＝f(－x)成立. 又f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)＝(a>1)符合题意.] 11.解　(1)当m＝1时，f(x)＝2x2－x＋1， f(x)在上单调递增. 证明如下：记u＝x2－x＋1，任取≤x1<x2， 则u1－u2＝(x－x1＋1)－(x－x2＋1) ＝(x1－x2)(x1＋x2－1)， 因为≤x1<x2， 所以x1－x2<0，x1＋x2－1>0， 所以(x1－x2)(x1＋x2－1)<0， 即有u1－u2<0，所以u1<u2， 所以2u1<2u2，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在上单调递增. (2)f(x)的值域是[，＋∞)， 即2mx2－x＋1≥＝2， 所以mx2－x＋1≥且取到最小值， 所以有(mx2－x＋1)min＝. ①当m＝0时，不符合要求； ②当m≠0时，则有m>0且＝， 解得m＝. 综上可知，m＝，即m的取值范围是. 12.解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， ∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，所以k＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)， ∵f(1)＜0，即a－＜0， 又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1， 而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减， 故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为 f(m2－2)＞f(－m)， ∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0， 解得－2＜m＜1，∴实数m的取值范围是(－2，1). 13.B　[因为a＝2x2，b＝(2x)2＝22x，c＝22x，所以只需比较x2，2x，2x在x∈(1，2)时的大小即可.令y1＝x2，y2＝2x，y3＝2x，在同一平面直角坐标系中作出这三个函数在(1，2)上的图象，如图所示， 由图可知，当x∈(1，2)时，2x＞2x＞x2. 又函数f(t)＝2t在R上是增函数， 所以22x＞22x＞2 x2，即b＞c＞a.] 14.ABD　[∵函数f(x)＝a·＋b的图象过原点， ∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·－a， 且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交， ∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·＋2，故A正确； 由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确； 由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减， 故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误； ∵∈(0，1]，∴f(x)＝－2·＋2∈[0，2)，故D正确.] 15.(－∞，－18]　[设t＝3x， 则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3. 因为x∈[－2，2]， 所以t∈. 又函数y＝9x＋m·3x－3在[－2，2]上单调递减， 即y＝t2＋mt－3在上单调递减， 故有－≥9，解得m≤－18.] 16.解　(1)当a＝－2时， f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3， 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞). 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)>－3， 可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数. (2)由题意有，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为0≤4x＋a·2x≤4， 必有a·2x≥0且a≤－2x. 令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)， 由a·2x≥0恒成立，可得a≥0， 令h(k)＝－k(0<k<1)， 可知函数h(k)为减函数， 有h(k)>h(1)＝4－1＝3， 由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 若故函数f(x)在(0，＋∞)上是以2为上界的有界函数， 则实数a的取值范围为[0，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$