2025届高三数学一轮复习对点练17：函数与方程

025届高三数学一轮复习对点练17　函数与方程 【基础巩固】 1.(2024·北京朝阳区质检)函数f(x)＝的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A.(－4，－2) B.(－2，－1) C.(1，2) D.(2，4) 3.(2024·沈阳调研)若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1<x<10)有零点，则a的取值范围为(　　) A.(－10，－1) B.(1，10) C.(1，11) D.(－11，－1) 4.(多选)(2024·泰州质检)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分函数值如表所示，则(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 －10.581 3.273 －10.733 －156.314 A.f(x)在区间(2，3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5，6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点 5.(2024·南阳质检)已知函数f(x)＝81ln x－－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2024·湖北部分重点高中联考)已知函数f(x)＝则“a≤－2”是“f(x)有2个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2024·福州联考)已知函数f(x)＝sin πx＋，则y＝f(x)的图象在(－2，4)内的零点之和为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 8.(2024·安徽名校联考)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为(　　) A.100 B.102 C.200 D.202 9.函数f(x)＝·cos x的零点个数为________. 10.(2024·苏州质检)函数f(x)满足以下条件： ①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线； ②∀x∈R，f(x)＝f(－x)； ③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0； ④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________________. 11.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________. 12.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 【能力提升】 13.(2024·保定模拟)已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 14.(2024·杭州段测)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为(　　) A.6 B.12 C.14 D.10 15.(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝________，(x3－3)· (x4－3)的取值范围是________. 16.已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________. 参考答案 1.C　[当x≤0时，令x2＋2x－3＝0， 则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3. 当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2， 所以f(x)的零点个数为2.故选C.] 2.B　[易知f(x)在R上单调递增且f(x)的图象是连续不断的曲线， f(－2)＝－<0，f(－1)＝－>0， 所以x0∈(－2，－1).] 3.D　[因为函数y＝x＋a，y＝lg x均在(1，10)上单调递增， 所以f(x)＝a＋x＋lg x在(1，10)上单调递增. 若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1<x<10)有零点， 则解得－11<a<－1.故选D.] 4.ABD　[由题表可知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0， 所以f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0， 因为函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)均存在零点， 即f(x)至少有3个零点，故D正确； 对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值， 故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确； 对于B，C，虽然f(5)<0，f(6)<0，但是函数f(x)在(5，6)内的取值情况未知， 所以函数f(x)在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误.故选ABD.] 5.B　[因为函数y＝81ln x，y＝－－80在(0，＋∞)上均单调递增， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线. 因为f(2)＝81ln 2－83<0，f(3)＝81ln 3－81>0，f(2)·f(3)<0， 所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故k＝2.故选B.] 6.C　[当x<2时，f(x)＝2x＋x单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线. f(－1)＝2－1－1<0，f(0)＝20＋0>0， 由函数零点存在定理可知，f(x)＝2x＋x在(－∞，2)上有唯一零点，且该零点为负数； 当x≥2时，令x2＋2a＝0，解得x＝或x＝－(舍去)， 若f(x)在[2，＋∞)上有零点， 则≥2，即a≤－2，此时f(x)在[2，＋∞)上只有唯一零点，且该零点为正数. 综上所述，当a≤－2时，f(x)有2个零点； 当f(x)有2个零点时，a≤－2， 所以“a≤－2”是“f(x)有2个零点”的充要条件.故选C.] 7.B　[由f(x)＝sin πx＋＝0可得sin πx＝－，则函数y＝sin πx与函数y＝－的图象在(－2，4)内交点的横坐标即为函数y＝f(x)的零点. 又函数y＝sin πx与函数y＝－的图象都关于点(1，0)对称， 作出函数y＝sin πx与函数y＝－的大致图象，如图所示. 由图象可知y＝f(x)在(－2，4)内有四个零点，零点之和为4.故选B.] 8.A　[令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)， 即f(－1)＝0， 因为f(x)为偶函数， 所以f(1)＝0， 则f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0， 则f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的函数. 因为f(x)在[0，2]上单调递增， 则f(x)在[－2，0]上单调递减， 所以f(x)在一个周期内有两个零点， 故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100.故选A.] 9.6　[令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， ∴f(x)的定义域为[－6，6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6， 由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－6，6]，∴x为－，－，，. 故f(x)共有6个零点.] 10.f(x)＝x2－1(答案不唯一)　[因为∀x∈R， f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数， 因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(x)恰有两个零点， 所以f(x)图象与x轴只有2个交点， 所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一).] 11.1　[x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标， 所以A，B两点关于y＝x对称，则x1＝，因此x1x2＝1.] 12.(1，＋∞)　[方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根， 即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点.如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距. 由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点；当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点. 故实数a的取值范围是(1，＋∞).] 13.C　[因为f(x)＝2x＋x－5单调递增， 且f(1.6)＝21.6－3.4＝－＝－<0， f(2)＝4＋2－5＝1>0， 由函数零点存在定理可知，f(x)有唯一零点a，且1.6<a<2； 因为g(x)＝x2＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0， g(1.6)＝1.62－2.4＝2.56－2.4>0， 由函数零点存在定理可知，g(x)有唯一零点b，且1<b<1.6； 因为h(x)＝log2x＋x－3在(0，＋∞)上单调递增，且h(2)＝1＋2－3＝0，则h(x)有唯一零点c＝2，所以b<a<c.故选C.] 14.D　[因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R， 所以f(x)为奇函数. 又因为f(－x)＝f(x＋2)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称. 所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)的一个周期为4. 又因为x∈[0，1]时， f′(x)＝3x2－2x＋1＝3＋>0， 所以f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝1. 由题意如图所示： 可得直线y＝(x－2)与y＝f(x)的交点的横坐标为方程4f(x)－x＋2＝0的根， 可得在(－2，2)与(2，6)上均有两个交点，且关于(2，0)对称，加上(2，0)点，共5个点， 所以这5个交点的横坐标之和为2×2×2＋2＝10.故选D.] 15.1　(0，27)　[作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1＜x2＜x3＜x4. 所以由图可知，－log3x1＝log3x2，＝9， 且3＜x3＜6，即x1x2＝1， 所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－x＋18x3－45， 因为y＝－x＋18x3－45在(3，6)上单调递增， 所以0＜y＜27，即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27).] 16.　[由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减， 所以函数f(x)只有一个零点2， 由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”，得|2－β|<1. 由|2－β|<1，得1<β<3， 所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1，3)上存在零点. 由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝. 令h(x)＝，则h′(x)＝＝， 所以h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减， 且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>， 要使函数g(x)在区间(1，3)上存在零点， 只需a∈.] 学科网（北京）股份有限公司 $$