第7章《线段与角的画法》单元复习题-　2023—2024学年沪教版（上海）数学六年级第二学期

第7章《线段与角的画法》单元复习题 一、单选题 1．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线 C．图中以点A为端点的射线有两条 D．射线和射线是同一条射线 2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．小王在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法： （1）若，则的余角的度数为； （2）两点之间直线最短； （3）一个锐角的余角比这个角的补角小90°； （4）互补的两个角一个是锐角一个是钝角． 你认为小王以上说法正确的个数为（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 6．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（    ） A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒 7．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作几条直线（  ） A．1条、4条、8条或10条 B．1条、5条、9条或10条 C．1条、5条、6条、8条或10条 D．1条或10条 8．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（    ） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④ 9．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线， 则与大小关系是（     ） A．= B．＜ C．＞ D．无法确定 二、填空题 11．计算：____________；____________°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度． 12．两根木条，用叠合法比较他们的长短时，发现长的比短的长2cm，此时两根木条中点之间的距离是______cm（木条的粗细忽略不计）. 13．如图，将三个相同的三角尺角的顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____． 14．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是_____． 15．如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有______． ①如果，那么 ②是定值 ③若变小，则变大 ④ 16．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号 _____． 17．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么___________． 18．有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点． （1）如图，的长为___________； （2）继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为，，的三段，当，则细线未剪开时的长为___________． 三、解答题 19．如图，已知，，，四点，请按要求作图，并解答． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点； (4)若点是线段的中点，，，求MP的长． 20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母） 21．已知点B在线段上，点D在线段上． (1)如图1，若，D为线段的中点，求线段的长度； (2)如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长度． 22．已知线段a、b（如图），用直尺和圆规在方框内按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论） ①画射线OP； ②在射线OP上顺次截取OA＝a，AB＝a； ③在线段OB上截取BC＝b； ④作出线段OC的中点D． (1)根据以上作图可知线段OC＝　 　；（用含有a、b的式子表示） (2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么线段BC＝　 　厘米． 23．如图，以点为O端点按顺时针方向依次作射线、、、、．并且使是的平分线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)当时，求的度数（用含n的式子表示）． 24.已知点О为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线． (1)如图l，三角板的一边与射线重合． ①的余角是___________，补角是___________； ②若，则的度数为___________； (2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数； (3)若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的数量关系为___________． 25．图①是由一副三角尺拼成的图案． (1)图①中，的度数为___________度； (2)将图①中的三角尺绕点B旋转（）度能否使？若能，请写出当时，的度数；若不能，说明理由（图②③供参考）． 26．如图1所示是某款手表实物图，其示意图如图2所示，已知表盘是以O为圆心，以厘米为半径的圆，为圆的直径，其中时针为线段，分针为线段，且点A、B、O、C、D都在同一条直线上． (1)若点B，C是线段的三等分点，求表长． (2)若手表显示是9点30分． ①求此时时针与分针的夹角的大小； ②此时，作射线，使，求的大小； (3)自9点30分起，至10点30分止，在这一小时期间，时针和分针在不停地旋转．若射线是的平分线，它也随之运动，则经过多少分钟后，恰好能使？ 27．将一副三角板如图1放置（，，，），在、（、）内作射线、，且，，将三角板绕着点顺时针旋转． (1)如图1，当点、A、在一条直线上时，______； (2)如图2，若旋转角为（），的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由． (3)如图3，当三角板旋转到内部时，求的值． 28．综合与实践 【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”． (1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数． (2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”． (3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由． 29．已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 30．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 31．【阅读理解】 如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°． 【解决问题】 （1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？ （2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由． （3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”． ①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？ ②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值． 32．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 答案 一、单选题 1．D 【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可． 【解析】线段和线段是同一条线段， 故A正确； 直线和直线是同一条直线， 故B正确； 图中以点A为端点的射线有两条， 故C正确； 射线和射线不是同一条射线， 故D错误； 故选D． 2．A 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【解析】∵，，=25°， ∴． 故选A． 3．D 【分析】根据题意分两种情况作图，由线段之间的关系即可求解． 【解析】∵点C是线段的三等分点， 如图所示，当时， ∴ ∵点D是线段的中点 ∴ ∴； 如图所示，当时， ∴ ∵点D是线段的中点 ∴ ∴； 综上所述，线段的长为或． 故选：D． 4．B 【分析】利用余角的计算方法可判断说法（1）；利用线段公理可判断说法（2）；利用余角和补角的定义计算后可判断说法（3）；利用互补的定义可以判断说法（4）． 【解析】（1），故正确； （2）两点之间线段最短，故错误； （3）设这个锐角为α度，则且余角为度，其补角为度，故余角比锐角小90°，故正确； （4）互补的两个角也可能都是直角，故错误． 故选：B． 5．C 【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题． 【解析】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 6．C 【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解． 【解析】解：由已知当PB=AB时，PB=， 设点P运动时间为t秒，则AP=2t 当点P在B点左侧时 2t+=8 解得t=， 当点P在B点左侧时 2t-=8 解得t= 所以t=或t=． 故选：C． 7．C 【分析】根据5,4在一条直线上,3点都不在一条直线上,五点都不在一条直线上,分别画出图形,即可求得画的直线的条数. 【解析】解:如下图，分以下四种情况： ①当五点在同一直线上，如图： 故可以画1条不同的直线； ②当有四个点在同一直线上， 故可以画5不同的直线； ③当有两个三点在同一直线上， 故可以画6条不同的直线； ④当有三个点在同一直线上， 故可以画8不同的直线； ⑤当五个点都不在同一直线上时， 因此当n=5时，一共可以画×5×4=10条直线． 故可以作1条、5条、6条，8条或10条直线． 故选C． 8．D 【分析】根据与互补，得出，，求出的余角是，表示的余角，即可判断①；，即可判断②；，即可判断③；求出，即可判断④． 【解析】解：与互补， ，， 表示的余角， ①正确； ， ②正确 ， ③错误； ， ④正确． 故选：D． 9．C 【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠AOF=∠DOF， ∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF， 即∠COE=∠BOE，所以①正确； ∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°， 所以②正确； ∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴∠BOE+∠BOF=180°， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 10．C 【分析】根据角平分线的性质可得，，，进而可得，即有，据此即可作答． 【解析】∵OC平分∠AOB，， ∴， ∵OC1平分∠AOC， ∴， ∵OC2平分， ∴， 依次类推可知：， ∴可知， ∴， ∴， ∵根据题意可知， ∴， 即有：， 故选：C． 二、填空题 11． 【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据、进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案． 【解析】解：①， 故答案为：； ②， ， ， ， 故答案为：； ③当时钟指向时间为时，时针走过小时，分钟走过分钟， 时针与0点的夹角为， 分针与0点的夹角为， 钟表上的时针与分针的夹角为， 故答案为：． 12．1 【分析】根据点D是的中点，点E是的中点，得，整理得，即可得答案． 【解析】解：如下图，点D是的中点，点E是的中点，， 点D是的中点，点E是的中点， ， ， 故答案为：1． 13． 【分析】根据，得到，即可求解． 【解析】解：如图， ， ， ， ， 故答案为： 14．①②③ 【分析】由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①正确；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②正确；由由中点的意义可得代入可判断③正确；由得，代入可得故可判断④错误． 【解析】解：如图 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∵M、N分别是线段的中点， ∴， ∴，故②正确； ∵M、N分别是线段的中点， ∴ ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 15．①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【解析】解：， ， ， ， ， 即， 即， 当， 则， 故①正确； ， ， 故②正确； ， 若变小，则变大， 故③正确； ， ， ， 故④正确； 综上所述， 故答案为：①②③④． 16．①③④ 【分析】①由平分，平分可得，进而可得与互余；②平分，结合①可求；先证，进而可证与互补；④由，可判断④正确． 【解析】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，即与互余，故①正确； ∵平分， ∠， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确； ∵，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 17．或 【分析】先通过方程有无数多个解解出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可． 【解析】关于x的方程有无数多个解 ，则，解得 1.当C在内部时，如图 平分， 设，则，， ，解得 2.当C在外部时，如图 平分， 设，则，， ，解得 综上所述：或． 故答案为：或． 18．解：（1）点为的中点，点为的中点， ，， ； （2），细线剪开后分成，，三段， ， 当时，， ， ， ， ，， ； 当时，， ， ， ， ，， ． 故答案为：；或． 三、解答题 19．（1）如图，直线即为所求， （2）如图，射线即为所求， （3）如图，线段，点即为所求， （4）∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 20．解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求． 21．（1）解：如图1所示： ∵， ∴， 又∵D为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 22．（1）解：如图， ； 故答案为：； （2）解：点为的中点， 厘米， ， 厘米， （厘米）； 故答案为：6． 23．（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∴， 解得：，即， ∴． （3） 解：设，， 依题意可知，，； 由得：，， ∴． 24．（1）解：①∵，， ∴的余角是，补角是； 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：设，，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 故答案为：． 25．（1）解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：第一种情况：逆时针旋转（）， ∵， ∴， 解得， ∴． 第二种情况：逆时针旋转（）， ∵， ∴， 解得， ∴． 第三种情况：顺时针旋转， ∵， ∴， 解得． ∵， ∴不合题意，舍去． 综上，当时，的度数为120°或80°． 26．（1）解：∵点B，C是线段的三等分点， ∴， ∴此时表长（厘米）． （2）①∵时针每分钟走，分针每分钟走， 而钟面上每格的角度为， ∴． ②要使，射线有两种可能需分类讨论：如图， 当射线在的内部时，； 当射线在的外部时，． （3）∵射线是的平分线，且， ∴． 设自9点30分起经过t分钟，则， ∵9点30分时时针与分针所成的夹角为105°，所以当分针未追上时针前，如图， ∴，解得； 当分针追上时针后，如图， ∴，解得 综上，经过或30分钟后，恰好能使． 27．（1）解：∵点、A、在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：的度数不发生改变，且； ∵旋转角为， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴ ； （3）解：当三角板旋转到内部时，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ ． 28．（1）解：∵， ∴当射线是射线的“友好线”时，． （2）解：∵， ∴当是的“友好线”时，， ∴， ∴旋转时间为（秒）， 即旋转20秒后，是的“友好线”． （3）解：存在；当或时，恰好是的“友好线”． 当在右侧时，如图所示： 此时，， ∵恰好是的“友好线”， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图所示： 此时，， ∵恰好是的“友好线”， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知，当或时，恰好是的“友好线”． 29．（1）解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x， 根据题意得：3x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． （2）解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线， ∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE ＝（∠AOC+∠BOC） ＝×180° ＝90°； ∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°， ∴互余的角有4对； ∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴互补的角有5对． 故答案为：90，4，5． （3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下： ∵射线OC是∠BOD的角平分线， ∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD， ∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°， ∴∠AOD＝2∠COE． 30．解：（1）由题意：BD=2PC ∵PD=2AC， ∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP. ∴点P在线段AB上的处； （2）如图： ∵AQ-BQ=PQ， ∴AQ=PQ+BQ， ∵AQ=AP+PQ， ∴AP=BQ， ∴PQ=AB， ∴ （3）②的值不变. 理由：如图， 当点C停止运动时，有CD=AB， ∴CM=AB， ∴PM=CM-CP=AB-5， ∵PD=AB-10， ∴PN=AB-10）=AB-5， ∴MN=PN-PM=AB， 当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变， 所以. 31．（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB， 当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB， ∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB （2）有，理由如下： 射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD． 当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135° 则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45° 因为∠COD=90°， 所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45° ∠BOC=∠BOD=45° 所以射线OB平分∠COD 又因为∠BOD=45°=∠AOB 所以射线OD平分∠AOB （3）①是，理由如下： 第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45° 则∠AOB=2∠BOC 所以OC是∠AOB的“优线”． ②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t， 当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°， ∴15t＝30，解得t＝2； 当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°， ∴15t＝45，解得t＝3； 当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°， ∴15t＝60，解得t＝4； 当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°， ∴15t＝135，解得t＝9； 当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°， ∴15t＝180，解得t＝12． 综上，t＝2，3，4，9，12． 32．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， （1） 解：∵OE是∠BOC的角平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC， ∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝30°； （2） ∵∠BOC是∠AOE的差余角， ∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＋∠BOE＝90°； （3） 是定值2， 理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）； 如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE， ∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）， 综上所述，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$