精品解析：甘肃省陇南市康县2023-2024学年八年级下学期阶段性学习效果评估数学试卷

2023—2024学年度第二学期阶段性学习效果评估 八年级数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，不合题意； B．，不合题意； C．，不合题意；. D．，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的性质及乘法法则是解题的关键． 3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是 （ ） A. 3，4，5 B. 5，， C. 3，5，7 D. 1，2， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．因此，只需要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． 【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意； C、，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本选项符合题意； D、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理． 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原说法是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，不符合题意； 有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意； 故选：A． 5. 在中，，高，则的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况求解：如图1，2，根据勾股定理求得，，再根据在锐角三角形中，，在钝角三角形中，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况求解： ①当是锐角三角形时，如图1，在锐角中，，边上高， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴； ①当是钝角三角形时，如图2，在钝角中，，边上高， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为4或14； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于分情况求解． 6. 如图，则化简 的结果为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴、化简绝对值和化简二次根式，先从数轴判断出a的取值范围，在依次化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，菱形的一边中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了中位线的性质，菱形的性质， 首先得到是的中位线，然后求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴点O是的中点 ∵点M是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴菱形的周长为． 故选：B． 8. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得OA=24海里，OB=18海里，然后利用勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里）， ∵OA2+OB2=900，AB2=900， ∴OA2+OB2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∴90°-40°=50°， ∴另一艘轮船的航行的方向是：北偏西50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键. 根据三角形中位线定理得到 ，再根据菱形的判定定理解答即可. 【详解】∵分别是的中点， ∴分别为的中位线， ， ， ∴四边形为平行四边形， 当时， 平行四边形为菱形， 故选： D. 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；求出，根据平行四边形的面积公式可作判断：先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点平分，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论正确，符合题意； ， ，故结论正确，符合题意； ， ， ， ， ，故结论③正确，符合题意； 在中，，由勾股定理得：， ， 在中，，由勾股定理得：， ，故结论正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是，共4个， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 若与互为相反数，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性、非负式和为零的条件、解二元一次方程组及值等知识，熟练掌握非负式和为零的条件是解决问题的关键． 根据题意可知，再根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性，得到非负式和为零的条件是，解这个二元一次方程组得到，从而代入求解即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 即，解得， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______． 【答案】17m 【解析】 【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC，根据勾股定理即可求得AC的值，根据题意求地毯长度即求得AC+BC即可． 【详解】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC， 在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边， 根据勾股定理可得AC==12m， 故地毯长度为AC+BC=12+5=17m， 故答案为：17m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求AC+BC. 14. 如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．先分别求出以、为直径的三个半圆的面积，再求出三角形的面积，阴影部分的面积是三角形的面积加以为直径和以为直径的两个半圆的面积再减去以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵， ∴ 以为直径的半圆的面积：， 以为直径的半圆的面积：， 以为直径的半圆的面积：， 三角形的面积：， 阴影部分的面积：； 故答案是:． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到． 【详解】解：， ， 四边形是菱形， ，，， （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ，， 由得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得的长． 16. 如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点作于点，于点．则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵MD⊥AC，ME⊥CB， ∴∠MDC=∠MEC=90°， ∵∠C=90°， ∴四边形CDME是矩形， ∴DE=CM， ∵∠C=90°，BC=3，AC=6， ∴AB=， 当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=， ∴CM的最小值=， ∴线段DE的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，求出CM的长是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式=2+2×1-2 =2． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 19. 如图，在中，，，，，垂足为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的灵活运用，解答此题的关键是三角形的面积可以用表示，也可以用表示，这是此题的突破点． 先根据勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式得出，即可求出． 【详解】，，， ， ， ， ． 20. 已知求代数式：，，求代数式的值． 【答案】18 【解析】 【分析】先求出，，再将代数式利用完全平方公式变形，代值即可求出． 【详解】解：，， ，， 原式． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算，解题关键是熟悉完全平方公式进行巧算． 21. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 22. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空： ①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB∥CD ∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE ∵点E是AD边的中点 ∴AE＝DE ∴△NDE≌△MAE（AAS） ∴NE＝ME ∴四边形AMDN是平行四边形 （2）①3；②6 【解析】 【分析】（1）利用AAS证△NDE≌△MAE，得出NE＝ME，进而得出结论； （2）①当四边形AMDN是矩形时∠AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值； ②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由∠DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当四边形AMDN是矩形时 ∠AMD=90° 在菱形ABCD中AD＝AB＝6 ∵∠DAB＝60° ∴∠ADM=30° ∴AM=AD=3 故答案为：3． ②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM ∵∠DAB＝60° ∴△AMD为等边三角形 ∴AM=AD 在菱形ABCD中AD＝AB＝6 ∴AM=6 故答案为：6． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，在CD边上找一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使得点D恰好落在BC边上的点F处，且BF＝12．解答下列问题： （1）求AD的长． （2）求△ADE的面积． 【答案】（1）AD＝13；（2）△ADE的面积为． 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质，结合已知条件利用勾股定理求解即可； （2）设ED＝x，则EC＝5﹣x，在Rt△EFC中，由勾股定理可求得,进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在Rt△ABF中，AB＝5，BF＝12，由勾股定理得， AF＝＝＝13， 由翻折变换可得， AD＝AF＝13； （2）由翻折变换得，ED＝EF， 设ED＝x，则EC＝5﹣x，FC＝BC﹣BG＝13﹣12＝1， 在Rt△EFC中，由勾股定理得， EC2+FC2＝EF2， 即（5﹣x）2+12＝x2， 解得x＝， DE＝， ∴S△ADE＝AD•DE ＝×13× ＝， 答：△ADE的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 25. 阅读下列解题过程： ； ． 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算：； （2）利用上面的解法，请化简： ． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算，可得答案． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： 原式 ． 26. 如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于，交和的延长线于点． （1）求证：； （2）若，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形得到，证明四边形是平行四边形得到，再由即可证明； （2）由平行线的性质可得，得到是等腰直角三角形，从而得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）2t，2t；（2）当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=s或12s时，△DEF是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析： （1）由已知易得∠C=30°，∠DFC=90°，这样结合已知条件即可得到：DF=CD=2t，AE=2t； （2）由（1）可知，AE=DF，结合AE∥DF可得四边形AEFD是平行四边形，由此可得当AD=AE，即60-4t=2t时，四边形AEFD是菱形，解此关于t的方程即可求得对应的t的值； （3）如图1和图2，根据题意分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况结合已知条件分析、计算即可得到对应的t的值. 试题解析： （1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°． ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t， 故答案为2t，2t； （2）∵DF⊥BC ∴∠CFD=90° ∵∠B=90° ∴∠B=∠CFD ∴DF∥AB， 由（1）得：DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t=2t， 解得：t=10， 即当t=10时，▱AEFD是菱形； （3）分两种情况： ①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30° ∴AD=2AE ∵CD=4t， ∴DF=2t=AE， ∴AD=4t， ∴4t=60﹣4t， ∴t= ②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°， ∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°， ∴AD=AE， ∴60﹣4t=t， 解得t=12． 综上所述，当t=s或12s时，△DEF是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期阶段性学习效果评估 八年级数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是 （ ） A. 3，4，5 B. 5，， C. 3，5，7 D. 1，2， 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 5. 在中，，高，则的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 以上都不对 6. 如图，则化简 的结果为（　　） A. B. 1 C. D. 7. 如图，菱形的一边中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是__________ 12. 若与互为相反数，则________． 13. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______． 14. 如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________． 16. 如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点作于点，于点．则线段的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 计算：． 19. 如图，在中，，，，，垂足为，求的长． 20. 已知求代数式：，，求代数式的值． 21. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 22. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空： ①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，在CD边上找一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使得点D恰好落在BC边上的点F处，且BF＝12．解答下列问题： （1）求AD的长． （2）求△ADE的面积． 25. 阅读下列解题过程： ； ． 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算：； （2）利用上面的解法，请化简： ． 26. 如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于，交和的延长线于点． （1）求证：； （2）若，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 27. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $