2024年湖北省十堰市丹江口市初中毕业生适应性考试数学试题

秘密★启用前 2024年初中毕业生适应性考试 数 学 试 卷 (本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟) ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 以下我国四个湖的平均海拔高度，最低的是（ ） A.艾丁湖-154.13m B.鄱阳湖+14m C.阳澄湖+3m D.洞庭湖+34.5m 2. 如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是 A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图 C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同 ( 主视方向 )3. 下列计算正确的是（ ） A． B． C． D．(a3)2=a9 4. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A． B． C． D． 5. 下列说法正确的是（ ） A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B．为了解九（1）班女生的身高情况，应采取抽样调查 C．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据 稳定 6. 两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 7. 一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个多边形的边数为（ ） A．6 B．8 C．9 D．12 8. 如图，AB是半⊙O的直径，C是OB的中点，CD⊥AB，交半⊙O于点D，E是弧AD上的一点，F是弦AE延长线上一点，则∠DEF的度数为（ ） ( 第6题图 第8题图 第9题图 )A．45° B．60° C．72° D．75° 9. 如图，已知正方形OABC的顶点A（6，4），点B、点C分别在第一、二象限，则点B的坐标为（ ） A．（10，2） B．（10，4） C．（4，10） D．（2，10） 10.已知，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，0＜a＜c）的图像经过点（1，m），其中m＜0，下列结论： ①b＞0； ②2a+b＞0； ③x＜1时，y随x的增大而减小 ④关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一个小于1的正数根. 其中结论正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分） 11.因式分解2x2－8x= . 12.化简= . 13.为塑造城市形象，建设美好家园，某居委会组织两个检查组，分别对本社区“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是 . 14.《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？”翻译过来意思是：今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得到稻谷39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得到稻谷34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得到稻谷26斗，问上、中、下禾每一束可得稻谷各是多少斗？若设1束上禾、中禾、下禾可分别得到谷子x斗、y斗、z斗，可列方程组为 . 15.如图，平行四边形ABCD中，BC=11，S平行四边形ABCD=44，将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在平面内的D'处，折痕EF交AD于点F，交BC于点E，已知 ∠AEB=∠B，则折痕EF长为 . 三、解答题（本题有9个小题，共75分） 16.（本小题满分6分） 计算：． 17.（本小题满分6分） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E，F分别在边 AB，BC，AC上，且DE∥AC，DF∥BC. 求证：CD=EF. 18.（本小题满分6分） ( L ) ( R ) ( 6 km )5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功！据悉，嫦娥六号探测器将完成人类历史上多个第一的壮举，全体国人翘首以待.如图一枚运载火箭从地面L处发射.当火箭到达A点时从位于距L6千米的地面R处的雷达站测得A的仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A到B的平均速度是多少米每秒?（参考数据：sin43°=0.68，cos43°= 0.73，tan43°= 0.93；sin45.54°=0.71，cos45.54°=0.70，tan45.54°=1.02） 19.（本小题满分8分） 为进一步落实“双减”精神，今年4月，教育部对义务教育阶段的作业量做出了初中生课 后作业不超过90分钟的明确限定.最近，市教育局对各校八年级“双减”工作做了专项 检查，随机调查了500名学生每天完成课外作业的平均时间，把调查结果划分成A，B， C，D，E五个评价等级，制作成如下的频数分布表和扇形统计图． 学生每天完成课外作业的平均时间频数分布表 等级 学生平均每天完成课外作业的时间（小时） 频数 A 20 B m C n D p E 0 ( 学生 每天完成课外作业的平均时间 评价等级分布扇形统计图 ) ( 72 ° A E D C 40% B 20 ) （1）填空m= ，n= ，p= ； （2）根据频数分布表估计全市学生每天完成课外作业的平均时间（提示：各等级平均时间取组中值）； （3）小明同学事后对本班同学做了全面调查，发现本班平均每天2小时完成课外作业，他认为本班每天完成课外作业的平均时间比全市一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由，并对全市提出“双减”的合理化建议． 20.（本小题满分8分） 如图1，直线y=x+1交双曲线（k＞0）于A（2，m），B两点. ( 图1 ) ( 图 2 ) (1)求m的值与双曲线的解析式； (2)如图2，直线AB交x轴于点D，过点A的直线y=n(x－2)+3交x轴于点C，当S△ACD=时， ①求直线AC的解析式； ②直接写出的解集. 21.（本小题满分8分） 如图，△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，经过点D的⊙O的切线EF∥BC，分别交 AB，AC的延长线于E，F. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若⊙O的半径长为12，∠BAC=60°，BE=6，求线段DE的长. 22.（本小题满分10分） 小明妈妈商店经销一种商品，根据以往的经验，每年进入了4月，这种商品需求量就会 增大，妈妈让小明帮忙制定一个销售方案，小明查阅去年妈妈销售这种商品的记录，发 现：该商品的进价为每件20元，去年3月份售价为每件30元.4月1日至19日每天在 前一天的基础上涨价1元，4月20日至30日价格稳定在每件50元.3月31日销售这种 商品160件，以后每天比上一天减少4件.设进入4月的第x天销售该商品的销售量为p， 利润为y元．（每天利润=每天销售量×单件利润） (1)分别p与x的函数关系式及y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少? (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2400元? 23.（本小题满分11分） 问题探究：在综合实践活动课上，小明将△ABC绕点A顺时针旋转任意角α至△AB'C'（如图1），第三边BC所在直线与对应边B'C'所在直线相交于点O，发现夹角∠COC'与α有直接的关系：当α为锐角时，∠COC'与α的关系为 ；当α为钝角时，∠COC'与α的关系为 . ( 图1 图2 图3 ) 迁移应用：如图2，当α=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转角α至△ADE（点B在 AE上）时，若点C恰好在DB延长线上，试探究AC，AD，AE之间的关系； 拓展实践：若△ABC中，∠ABC=45°（如图3），将△ABC绕点A顺时针旋转角α 至△ADE（点B在AE上）时，若点C恰好在DB延长线上，试问：是否为定 值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由. 24.（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AC：y=－3x－3交x轴于点A，交y轴于点C，经过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于另一点B（3，0）. ( 图 3 ) ( 图 2 ) ( 图1 ) (1)求抛物线解析式； (2)将x轴下方的抛物线沿x轴翻折180°（如图2），将线段AC沿射线CB方向平移，设平移后的AC的解析式为y=－3x+b，试讨论平移后的线段AC与翻折后的函数图像的交点个数与对应的b的值或取值范围（可以直接写出结果）； (3)如图3，直线y=kx－3k－3交抛物线于P，Q两点，若∠PBC=∠QBC，试求k的值. 数学第6页 （共六页） 学科网（北京）股份有限公司 $$秘密 启用前 2024年九年级模拟训练考试数学试卷 (本试卷共 6 页,满分 120 分,考试时间 120 分钟) 祝考试顺利 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内,写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(共 10 小题,每小题 3分,满分 30 分.) 下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡 中相应的格子内. 1. 以下我国四个湖的平均海拔高度,最低的是 A.艾丁湖-154.13m B.鄱阳湖 14m C.阳澄湖 3m D.洞庭湖 34.5m 2.如图是由 4个相同的小正方体构成的一个组合体,该组合体的三视图中完全相同的是 ( ) A.主视图和左视图 B.主视图和俯视图 C.左视图和俯视图 D.三个视图均相同 3. 下列计算正确的是( ) A. 2 2 42a a a B. 2 3a a a C. 2 2(3 ) 6a a D.(a3)2=a9 4. 一个不等式的解在数轴上表示如图,则这个不等式可以是( ) A. 2 0x B. 2 0x C.2 4x D. 4 2 0x 5. 下列说法正确的是( ) A.为了解我国中学生课外阅读情况,应采取全面调查方式 B.为了解九(1)班女生的身高情况,应采取抽样调查 C.某彩票的中奖机会是 1%,买 100张一定会中奖 D.若甲组数据的方差 2 0.02S 甲 ,乙组数据的方差 2 0.12S 乙 ,则甲组数据比乙组数据 稳定 6. 两个直角三角板如图摆放,其中 90BAC EDF , 45E , 30C ,AB与 DF交于点 M.若 / /BC EF,则 BMD 的大小为( ) A.60 B.67.5 C.75 D.82.5 7. 一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 3 1 ,则这个多边形的边数为( ) A.6 B.8 C.9 D.12 8. 如图,AB是半⊙O的直径,C是 OB的中点,CD⊥AB,交半⊙O于点 D,E是弧 AD上 的一点,F是弦 AE延长线上一点,则∠DEF的度数为( ) A.45 B.60 C.72 D.75 9. 如图,已知正方形 OABC的顶点 A(6,4),点 B、点 C分别在第一、二象限,则点 B 的坐标为( ) A.(10,2) B.(10,4) C.(4,10) D.(2,10) 10.已知,二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,0<a<c)的图像经过点(1,m),其 中 m<0,下列结论: ①b>0; ②2a+b>0; ③x<1时,y随 x的增大而减小 ④关于 x的方程 ax2+bx+c=0一定有一个小于 1的正数根. 其中结论正确的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 二、填空题(本题有 5个小题,每小题 3分,共 15 分) 11.因式分解 2x2-8x= . 2x(x+2)(x-2) 12.化简 m m m m 1 1 1 2 = .1 第 6题图 第 8题图 第 9题图 13.为塑造城市形象,建设美好家园,某居委会组织两个检查组,分别对本社区“垃圾分类” 和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查, 则两个组恰好抽到同一个小区的概率是 . 3 1 14.《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉, 中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗,问 上、中、下禾实一秉各几何?”翻译过来意思是:今有上禾 3束,中禾 2束,下禾 1束, 可得到稻谷 39斗;上禾 2束,中禾 3束,下禾 1束,可得到稻谷 34斗;上禾 1束,中 禾 2束,下禾 3束,可得到稻谷 26斗,问上、中、下禾每一束可得稻谷各是多少斗?若 设 1 束上禾、中禾、下禾可分别得到谷子 x 斗、 y 斗、 z 斗,可列方程组 为 . 2632 3432 3923 zyx zyx zyx 15.如图,平行四边形 ABCD中,BC=11,S 平行四边形 ABCD=44,将平行四边形 ABCD沿 EF折 叠,使点 C与点 A重合,点 D落在平面内的 D'处,折痕 EF交 AD于点 F,交 BC于点 E,已知∠AEB=∠B,则折痕 EF长为 . 52 三、解答题(本题有 9个小题,共 75 分) 16.(本小题满分 6分) 计算: 012 3.14 2 3 . 16.解:原式 2 3 1 2 3 3 1 ...................................6分 17.(本小题满分 6分) 如图,在 Rt ABC中,∠C=90 ,点 D,E,F分别在边 AB,BC,AC上,且 DE∥AC, DF∥BC. 求证:CD=EF. 17.证明:∵DE∥AC,DF∥BC, ∴四边形 CEDF是平行四边形,.................2分 又∠BCD=90 , ∴ 平行四边形 CEDF是矩形,.......................................4分 ∴ CD=EF. .......................................6分 18.(本小题满分 6分) 6 km 5月 3日 17时 27分,嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场 发射,之后准确进入地月转移轨道,发射任务取得圆满成功!据悉,嫦娥六号探测器将 完成人类历史上多个第一的壮举,全体国人翘首以待.如图一枚运载火箭从地面 L处发 射.当火箭到达 A点时从位于距 L6千米的地面 R处的雷达站测得 A的仰角为 43 ;1s后 火箭到达 B点,此时测得仰角为 45.54 .这枚火箭从 A到 B的平均速度是多少米每秒?(参 考数据:sin43 =0.68,cos43 = 0.73,tan43 = 0.93;sin45.54 =0.71,cos45.54 = 0.70,tan45.54 =1.02) 18.解:在 Rt ALR中,tan∠ARL= RL AL , ∴AL=RL•tan∠ARL=6 tan43 =6 0.93=5.58(km), 在 Rt BLR中,tan∠BRL= RL BL , ∴BL=RL•tan∠BRL=6 tan45.54 =6 1.02=6.12(km), ∴AB=BL-AL=0.54km=540m, 540 1=540(m/s). 答:这枚火箭从 A到 B的平均速度是 540m/s............................6分 19.(本小题满分 8分) 为进一步落实“双减”精神,今年 4月,教育部对义务教育阶段的作业量做出了初中生课 后作业不超过 90分钟的明确限定.最近,市教育局对各校八年级“双减”工作做了专项 检查,随机调查了 500名学生每天完成课外作业的平均时间,把调查结果划分成 A,B, C,D,E五个评价等级,制作成如下的频数分布表和扇形统计图. 学生每天完成课外作业的平均时间频数分布表 (1)填空 a= ,b= ,c= ; (2)根据频数分布表估计全市学生每天完成课外作业的平均时间(提示:各等级平均时 间取组中值); (3)小明同学事后对本班同学做了全面调查,发现本班平均每天 2小时完成课外作业, 等 级 学生平均每天完成课外作业 的时间(小时) 频 数 A 2.5 3t ≤ 20 B 2 2.5t ≤ a C 1.5 2t ≤ b D 1 1.5t ≤ c E 0.5 1t ≤ 3 0 学生每天完成课外作业的平均时间 评价等级分布扇形统计图 72 AE D C 40% B 他认为本班每天完成课外作业的平均时间比全市一半以上的同学多,你认为小明的判断 符合实际吗?请用适当的统计量说明理由,并对全市提出“双减”的合理化建议. 19.解:(1)a=100,b=200,c=150........................................3分 (2) 0.75 30 1.25 150 1.75 200 2.25 100 2.75 20 1.68 500 x (小时); 答:全市学生每天完成课外作业的平均时间约为 1.68小时.................5分 (3)符合实际.设中位数为 m,根据题意,m的取值范围是 1.5≤m<2,因为小明所 在的班每天完成课外作业的平均时间大于中位数,所以每天完成课外作业的平均时间比 全市一半以上的同学多........................................7分 建议提高作业设计质量;课外作业要少而精,分层(科学合理)布置作业;各学科根据 需要布置,作业量总量要控制;教育局加强作业监管...... ................8分 (建议只要合理就行,但只说少布置作业要扣 0.5分,建议不布置作业不给分.) 20.(本小题满分 8分) 如图 1,直线 y=x+1交双曲线 x ky (k>0)于 A(2,m),B两点. (1)求 m的值与双曲线的解析式; (2)如图 2,直线 AB交 x轴于点 D,过点 A的直线 y=n(x-2)+3交 x轴于点 C,当 S ACD= 2 21 时, ①求直线 AC的解析式; ②直接写出 x kxn <3)2( 的解集. 20.解:(1)m=3,.......................................1分 双曲线的解析式为 y= x 6 ;.......................................2分 (2)易得 D(-1,0), 设 C(x,0), 图 1 图 2 由 S ACD= 2 21 得, 2 2113 2 1 )(x , 解得,x=6, ∴C(6,0),.......................................4分 将 C(6,0)代入 y=n(x-2)+3,得 4n+3=0, 解得,n= 4 3 , ∴直线 AC的解析式为 y= 2 9 4 3 x ;.......................................6分 ② x kxn <3)2( 的解集为 0<x<2或 x>4...............................8分 21.(本小题满分 8分) 如图, ABC内接于⊙O,D是弧 BC上一点,经过点 D的⊙O的切线 EF∥BC,分别交 AB,AC的延长线于 E,F. (1)求证:AD平分∠BAC; (2)若⊙O的半径长为 12,∠BAC=60 ,BE=6 2 ,求线段 DE 的长. 21.(1) 证明:连接 OD, ∵EF是⊙O的切线, ∴OD⊥EF, ∵EF∥BC, ∴OD⊥BC, ∴弧 BD=弧 CD, ∴AD平分∠BAC;.................................4分 (2)连接 OB,BD,过点 B作 BH⊥DE于点 H, ∵∠BAC=60 ,AD平分∠BAC, ∴∠BOD=2∠BAD=60 , ∵OB=OD, ∴ OBD为等边三角形, ∴∠BDH=30 ,BD=OD=12, 则 BH= 2 1 BD=6,DH=6 3, 在 Rt BEH中,由勾股定理得,EH= 622 BHBE , ∴DE=EH+HD=6+6 3 . .......................................8分 22.(本小题满分 11分) 小明妈妈商店经销一种商品,根据以往的经验,每年进入了 4月,这种商品需求量就会 增大,妈妈让小明帮忙制定一个销售方案,小明查阅去年妈妈销售这种商品的记录,发 现:该商品的进价为每件 20元,去年 3月份售价为每件 30元.4月 1日至 19日每天在 前一天的基础上涨价 1元,4月 20日至 30日价格稳定在每件 50元.3月 31日销售这种 商品 160件,以后每天比上一天减少 4件.设进入 4月的第 x天销售该商品的销售量为 p, 利润为 y元.(每天利润=每天销售量 单件利润) (1)分别 p与 x的函数关系式及 y与 x的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少? (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于 2400元? 22.(1)p=160-4x,………………………………………………1分 当 1≤ x<20时, 2(160 4 )( 30 20) 4 120 1600y x x x x ;……………2分 当 20≤ x ≤30时, (50 20)(160 4 ) 120 4800y x x . 综上: 24 120 1600 (1 20 120 4800 (20 30 x x x y x x , ≤ < ) , ≤ ≤ ) ………………………………………4分 (2)当 1≤ x<20时, 2 24 120 1600 4( 15) 2500y x x x . ………………5分 ∵ 4a <0,∴当 15x 时, y 有最大值,最大值为 2500元.……………………6分 当 20≤ x ≤30时, 120 4800y x , ∵ 120k <0,∴ y随 x的增大而减小. ∴当 20x 时, y 有最大值,最大值为 2400元. ……………………………………7分 综上可知, 当 15x 时,当天的销售利润最大,最大利润为 2500元. ……………8分 (3)令 24( 15) 2500 2400x , 解得 x1=10,x2=20(20>19,舍去), ∴前 19天中有 10天每天销售利润不低于 2400元,后 11天中,只有 1天达到 2400元, ∴共有 11天每天销售利润不低于 2400元. 答:共有 11天每天销售利润不低于 2400元. ………………………………………10分 23.(本小题满分 11分) 问题探究:在综合实践活动课上,小明将 ABC绕点 A顺时针旋转任意角 至 AB C (如图 1),第三边 BC所在直线与对应边 B C 所在直线相交于点 O,发现夹角∠COC 与 有直接的关系:当 为锐角时,∠COC 与 的关系为 ;当 为钝角时, ∠COC 与 的关系为 . 迁移应用:如图 2,当 =45 ,将 ABC绕点 A顺时针旋转角 至 ADE(点 B在 AE 上)时,若点 C恰好在 DB延长线上,试探究 AC,AD,AE之间的关系; 拓展实践:若 ABC中,∠ABC=45 (如图 3),将 ABC绕点 A顺时针旋转角 至 ADE(点 B在 AE上)时,若点 C恰好在 DB延长线上,试问: AB ACAD 是否为定 值?若是定值,请求出这个值;若不是,请说明理由. 23. 问题探究:相等;互补. .......................................2分 迁移应用:AC+AD= 2 AE. 由旋转可知 AE=AC,AD=AB, ∴∠ACE=∠1=90 - 2 =67.5 , ∠3=∠4=90 - 2 =67.5 =∠2, ∴∠1=∠2=∠ACE, ∴∠ECB= , 由“问题探究”可知,∠EDC=∠ , ∴∠ECD=∠EDC=45 , ∴∠CED=90 =∠CAD,CE=DE, .......................................5分 ∴∠ACE+∠ADE=360 -(∠CED+∠CAD)=180 , 将 ADE绕点 A顺时针旋转 90 , 则 DE与 CE重合,A,C,F三点在一条直线上,∠FEA=90 ,EA=EF, 图 1 图 2 图 3 ∴ )( 2 2)( 2 2 2 2 ADACCFACAFAE , ∴AC+AD= 2 AE. .......................................7分 拓展实践: AB ACAD = 3 . ............................................8分 过程如下:设∠BAC=∠DAE= , 由“迁移应用”知,BC=BD, 而 DE=BC, ∴∠DEB=∠DBE, ∵AB=AD, ∴∠ABD=90 - , ∴45 + =90 - , ∴ =30 ,......................................................9分 ∴∠ADB=75 ,∠ACB=105 ,∠ABC=120 , 将 ADB绕点 B顺时针旋转 120 至 FCB,过点 B作 BG⊥CF于点 G, ∵∠FCB=∠ADB=75 , ∴∠FCB+∠ACB=75 +105 =180 , ∴A,C,F三点共线, 在 Rt FCB中,∠F=∠BAC=30 , 由 cosF= FB FG 得, FB FG =cos30 = 2 3 , ∴FG= 2 3 FB=AB, ∴AF=2FG= 3 AB, ∴ AB ACAD = 33 AB AB AB AF . .....................................11分 24.(本小题满分 12分) 如图,在平面直角坐标系 xoy中,直线 AC:y=-3x-3交 x轴于点 A,交 y轴于点 C, 经过 A,C两点的抛物线 y=ax2+bx+c交 x轴于另一点 B(3,0). (1)求抛物线解析式; (2)将 x轴下方的抛物线沿 x轴翻折 180 (如图 2),将线段 AC沿射线 CB方向平移, 设平移后的 AC的解析式为 y=-3x+b,试讨论平移后的线段 AC与翻折后的函数图像的 交点个数与对应的 b的值或取值范围(可以直接写出结果); (3)如图 3,直线 y=kx-3k-3交抛物线于 P,Q两点,若∠PBC=∠QBC,试求 k的值. 24.解: (1)易得 A(-1,0),C(0,-3), 又 B(3,0), 故设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-3), 将 C(0,-3)代入 y=a(x+1)(x-3),得-3a=-3, ∴a=1, ∴抛物线解析式为 y=x2-2x-3;.......................................3分 (2)①当 b=-3时,线段 AC与翻折后的函数图像有一个交点; ②当线段 AC平移至点 C与点 B重合时,与翻折后的函数图像有两个交点,此时 b=9; ③当线段 AC与抛物线 y=-x2+2x+3(-1≤x≤3)相切时,与点 B右侧的抛物线有一个 交点,因此,此时线段 AC与翻折后的函数图像共有两个交点, 由 bxy xxy 3 322 得-x2+2x+3=-3x+b, 化简整理的 x2-5x+b-3=0, 令⊿=(-5)2-4(b-3)=0, 解得,b= 4 37 即当 b= 4 37 时线段 AC与翻折后的函数图像共有两个交点; 图 1 图 2 图 3 ④当 9<b< 4 37 时,平移后的线段 AC与翻折后的函数图像有 3个交点; ⑤当线段 AC平移至点 A落在点 B右侧的抛物线上时, 易得直线 BC的解析式为 y=x-3, 设此时点 C的对应点为 C (m,m-3),则点 A的对应点为 A (m-1,m), ∴m=(m-1)2-2(m-1)-3, 解得,m=5, ∴C (5,2),A (4,5), 易得 A C 的解析式为 y=-3x+17, 此时 b=17时,平移后的线段 AC与翻折后的函数图像有最后的一个交点, 即当 4 37 <b≤17时,平移后的线段 AC与翻折后的函数图像有一个交点. 综上所述,当-3<b<9或 b>17时,平移后的线段 AC与翻折后的函数图像没有交点; 当 b=-3或 4 37 <b≤17时,平移后的线段 AC与翻折后的函数图像有一个交点; 当 b=9或 4 37 时,平移后的线段 AC与翻折后的函数图像有两个交点; 当 9<b< 4 37 时,平移后的线段 AC与翻折后的函数图像有 3个交点;..........7分 (3)过点 P作 PG⊥x轴于点 G,过点 B作 BH⊥x轴,过点 Q作 QH⊥BH轴于点 H,则 ∠PGB=∠QHB=90 , 设 P(x1,x12-2x1-3),Q(x2,x22-2x2-3), ∵OB=OC,∠COB=90 , ∠OCB=∠HBC=45 , 又∠PBC=∠QBC, ∴∠PBG=∠QBH, ∴ PBG∽ QBH, ∴ BH BG QH PG , ∴ 32 3 3 32 2 2 2 1 2 1 2 1 xx x x xx , 化简得,x1x2+x1+x2=0, 由 33 322 kkxy xxy 得,x2-(k+2)x+3k=0, 则 x1+x2=k+2,x1x2=3k, ∴3k+k+2=0, 解得,k= 2 1 ,........................................................12分