精品解析：2024年广西壮族自治区柳州柳南区九年级教学实验研究质量监测试三模数学试题

2024年5月九年级教学实验研究质量监测试卷 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号等信息填写在试卷和答题卡上； 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效； 3．不能使用计算器； 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 2024年2月8日，某地记录到四个时刻的气温（单位：）分别为，0，5，，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年“五一”假期，三江侗族自治县刮起最炫民族风，全县各地各景区文旅活动精彩纷呈，侗乡文旅市场平稳有序．据统计，5月1日至5日，三江共接待游客人次，实现旅游消费收入亿元．把数用科学记数法表示，正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 经过有交通信号灯路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C 天空出现九个太阳 D. 三角形三个内角和 5. 下列单项式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角都是对顶角 B. 两直线平行，内错角相等 C. 如果，那么a，b两数同号 D. 如果，那么 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，，则的长等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 12. 题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、丙答案合在一起才完整 二．填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》．玲玲同学打算先阅读《论语》，现从这四部著作中随机抽取一本，抽到《论语》的概率是______． 15. 蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是____． 16. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 18. 如图，在中，，，点E，F分别是，边上的点，连接，将四边形沿着翻折得到四边形，使得点落在边上，与边交于点G，若，，则______． 三．解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20 解方程组： 21. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点B作的平分线，交边于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，．求的面积． 22. 第一届全国学生（青年）运动会将于2023年11月5日在南宁市开幕，广西将因体育盛会引来全国乃至全球的目光．为了解学生对本次学青会的关注程度，某校组织七、八年级学生举行了“学青会”知识竞赛，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】： 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95； 八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82； 【整理数据】两组数据各分数段如表所示： 成绩 七年级 1 5 3 a 八年级 0 4 4 2 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 74 八年级 80 80 c 47 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）若竞赛成绩不低于90分，则认定该学生对学青会关注程度高．该校七年级学生有800人，八年级学生有600人，请估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 23. 茶道被视为一种修身养性的生活艺术．图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，甲种套装单价比乙种套装单价便宜40元；用320元购买甲种套装的数量是用240元购买乙种套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过1000元．请通过计算说明最少需购买多少套甲种套装． 24. 如图，为的直径，与相切于点C，，垂足为D，交于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 25. 综合与实践 【知识背景】大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题开展实验研究，探究大豆产量与种植密度的关系． 【研究步骤】 ①在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； ②在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； ③数据分析，形成结论． 【实验数据】 实验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26 【数学建模】 请根据以上材料完成下列任务： （1）根据表中信息推理，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为______（）； （2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植的方案； （3）单位面积试验田中大豆的总产量能否达到2160粒，请说明理由． 26. 探究与证明 旋转是几何图形运动中的重要变换，数学探究课上，兴趣小组的同学以直角三角形为背景，借用教具或电脑软件工具进行数学实验，探究几何图形运动变化中的数学结论． （1）实验发现：是任意直角三角形，．将绕顶点B顺时针旋转得到，旋转角为，直线交直线于点F．当点E落在边上时（如图1），猜想与数量关系为______；继续旋转，当时（如图2），判断四边形的形状为______． （2）深入探究；在（1）中图2的基础上，将绕点B逆时针旋转，旋转角为，当时（如图3），直接写出，，的数量关系为______；继续旋转，当时（如图4），请写出线段，，的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在（2）的基础上，当时，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年5月九年级教学实验研究质量监测试卷 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号等信息填写在试卷和答题卡上； 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效； 3．不能使用计算器； 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 2024年2月8日，某地记录到四个时刻的气温（单位：）分别为，0，5，，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较的实际应用，有理数大小比较法则为：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小；由此法则比较出两个负数的大小即可完成． 【详解】解：， ， 即最小， 故选：A． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 2024年“五一”假期，三江侗族自治县刮起最炫民族风，全县各地各景区文旅活动精彩纷呈，侗乡文旅市场平稳有序．据统计，5月1日至5日，三江共接待游客人次，实现旅游消费收入亿元．把数用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．根据科学记数法的表示形式表示即可；关键是确定 n与a的值． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现九个太阳 D. 三角形三个内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； B．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件； C．天空出现九个太阳，是不可能事件； D．三角形三个内角和为，是必然事件； 故选：D． 5. 下列单项式中，能与合并的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类项的判断，所含字母相同，且相同字母的指数也相同的几个单项式称为同类项，同类项可以合并；根据同类项的定义判断即可． 【详解】解：只有与是同类项，它们才能合并；其它单项式只有字母与相同，相同字母的指数不完全相同，故它们不能与合并； 故选：C． 6. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角都是对顶角 B. 两直线平行，内错角相等 C. 如果，那么a，b两数同号 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，掌握对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义是关键；根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，是假命题； B、是平行线的性质，是真命题； C、如果，那么a，b两数异号，是假命题； D、如果，那么或，假命题； 故选：B． 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解不等式得，再在数轴上表示不等式即可． 【详解】解：解不等式得， ∴在数轴上表示： 故选：A． 9. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解． 详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了． 10. 如图，已知，，，则的长等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，将代入，即可求出的长． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．弄清楚对应线段是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 解得 故选：C． 11. 大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，由题意知，每行、每列及每条对角线上的3个数之和为，则由第三行可得“梦”表示的数，由第一行可得“中”“国”两字表示的数之和，最后求得结果． 【详解】解：由于一条对角线的数分别为，则其和为，第三行“梦”表示的数为，第一行“中”“国”两字表示的数之和为，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是； 故选：B． 12. 题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，分类求解确定位置是解题的关键．当点M在线段上时，当点M在点B的左侧时，当点M在点A的右侧时，分类求解确定的位置，进而求解． 【详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 将点A的坐标代入直线表达式得：，解得， 抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当点M在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， 的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即， 当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点， 即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0， 依据分母不能为0即可解答． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 14. 中国古代“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》．玲玲同学打算先阅读《论语》，现从这四部著作中随机抽取一本，抽到《论语》的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率，求出所有等可能结果数，求出某事件发生时的结果数，由概率计算公式即可求解． 【详解】解：所有等可能的结果数是4种，其中抽到《论语》的结果数是1种， 则抽到《论语》的概率是：； 故答案为：． 15. 蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是____． 【答案】720 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，根据内角和公式：（其中n表示多边形的边数），即可完成求解．掌握多边形内角和公式是关键． 【详解】解：正六边形的内角和为：， 故答案为：720． 16. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点E，F分别是，边上的点，连接，将四边形沿着翻折得到四边形，使得点落在边上，与边交于点G，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质；证明相似是关键．由平行四边形的性质得；由翻折的性质得，，从而易证明，由相似的性质即可求得结果． 【详解】解：在中，； 由翻折的性质得：，， ，； ， ， ， ， 则； 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可． 【详解】解： ①+②，得． ∴． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用加减消元法解方程组是解本题的关键． 21. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点B作的平分线，交边于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，．求的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法作图即可； （2）由平行四边形的性质得，，，先证是等边三角形，则可得，作边上的高，求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 如图，是的平分线； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， 是等边三角形． 过B点作于F点， 则， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图法、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质以及求等边三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 第一届全国学生（青年）运动会将于2023年11月5日在南宁市开幕，广西将因体育盛会引来全国乃至全球的目光．为了解学生对本次学青会的关注程度，某校组织七、八年级学生举行了“学青会”知识竞赛，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】： 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95； 八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82； 【整理数据】两组数据各分数段如表所示： 成绩 七年级 1 5 3 a 八年级 0 4 4 2 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 74 八年级 80 80 c 47 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）若竞赛成绩不低于90分，则认定该学生对学青会关注程度高．该校七年级学生有800人，八年级学生有600人，请估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）1，，80 （2）估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数有200人 （3）八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体． （1）根据七年级10名同学测试成绩求出a的值，根据中位数和众数的概念分别求出b、c的值； （2）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可； （3）根据中位数、众数、平均数作出决策，答案不唯一，合理均可． 【小问1详解】 解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，74，74，75，76，79，84，85，89，95， 其中在范围内的数据有1个， 故， 中位数， 将八年级抽样成绩中80分的最多， 所以众数， 故答案为：1，，80； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数有200人； 【小问3详解】 解：可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好， 理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级， 说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 23. 茶道被视为一种修身养性的生活艺术．图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，甲种套装单价比乙种套装单价便宜40元；用320元购买甲种套装的数量是用240元购买乙种套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过1000元．请通过计算说明最少需购买多少套甲种套装． 【答案】（1）甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为元 （2）最少购买5套甲种套装 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系，正确列出方程与不等式． （1）设甲种套装的单价为x元，则乙种套装的单价为元，根据数量关系：用320元购买甲种套装的数量是用240元购买乙种套装数量的2倍，列出分式方程并求解即可，注意检验； （2）设购买m套甲种套装，则购买套乙种套装，根据关系：总金额不超过1000元，列出一元一次不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种套装的单价为x元，则乙种套装的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买m套甲种套装，则购买套乙种套装， 由题意得：， 解得：， 由于m取整数，故最少购买5套甲种套装； 答：最少购买5套甲种套装． 24. 如图，为的直径，与相切于点C，，垂足为D，交于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】（1）由切线的到现在可得，则可得．由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，由此可得平分； （2）连接，在中，根据勾股定理可求得的长，再证，则可得，由此可求得直径的长，进而可得的半径． 【小问1详解】 证明： 如图，连接， ∵与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ， ∴平分； 【小问2详解】 连接 中，，， ∵为的直径， ， 又， ， ， ， ， 解得， 的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．遇切线连半径，这是常用的解题思路，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 综合与实践 【知识背景】大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题开展实验研究，探究大豆产量与种植密度的关系． 研究步骤】 ①在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； ②在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； ③数据分析，形成结论． 【实验数据】 实验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x（株） 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y（粒） 51 46 41 36 31 26 【数学建模】 请根据以上材料完成下列任务： （1）根据表中信息推理，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为______（）； （2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植的方案； （3）单位面积试验田中大豆的总产量能否达到2160粒，请说明理由． 【答案】（1）一次， （2）单位面积试验田应种植66株，这时总产量最大． （3）能，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数．设y与x的关系式为，在表格中取两组值代入，求出k、b的值，即可知y与x的函数关系式； （2）设单位面积试验田中大豆的总产量为z粒，根据题意可得，化成顶点式得，根据二次函数的图像的性质可知时，z有最大值， 由此可得种植方案； （3）根据题意，求出时x的值，若x为正整数，且满足，则总产量能达到2160粒，否则则不能． 【小问1详解】 解：由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数． 设y与x的关系式为， 将，；，代入得 ， 解得， ∴y与x的关系式为：． 故答案为：一次；． 【小问2详解】 设单位面积试验田中大豆的总产量为z粒，则 ， ∴z是x的二次函数， ， ∴开口向下， ∴当时，z有最大值，最大值为2178， ∴单位面积试验田应种植66株，这时总产量最大． 【小问3详解】 当时，， 解得（符合题意），（符合题意）， ∴单位面积试验田中大豆的总产量能达到2160粒． 即当单位面积试验田种植60株或72株时，总产量能达到2160粒． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，及二次函数的性质，利用二次函数的增减性解决实际问题．熟练掌握一次函数和二次函数图像的性质是解题的关键． 26. 探究与证明 旋转是几何图形运动中的重要变换，数学探究课上，兴趣小组的同学以直角三角形为背景，借用教具或电脑软件工具进行数学实验，探究几何图形运动变化中的数学结论． （1）实验发现：是任意直角三角形，．将绕顶点B顺时针旋转得到，旋转角为，直线交直线于点F．当点E落在边上时（如图1），猜想与数量关系为______；继续旋转，当时（如图2），判断四边形的形状为______． （2）深入探究；在（1）中图2的基础上，将绕点B逆时针旋转，旋转角为，当时（如图3），直接写出，，的数量关系为______；继续旋转，当时（如图4），请写出线段，，的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在（2）的基础上，当时，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；正方形 （2）；，理由见解析 （3）3或5 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可得；由，得到四边形是矩形，结合，得到四边形是正方形； （2）连接，证明，得，则可得到结论； （3）当时，延长交于点G，由勾股定理求得，由有，则可求得，进而求出，再由，利用正切关系求得，由即可求解；当时，延长交于点G，由即可求解；综合之，即得的值． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 由旋转得：，， ； ， ， ； 当时，如图2，则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 故答案为：；正方形； 【小问2详解】 解：如图3，当时，连接， 由旋转得：，，， ； ， ， ； ， ； 当时，； 理由如下： 连接，如图4， 同理得：； ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，如图3-1，延长交于点G， 在中，，由勾股定理得， ， ， 即， ， ； ， ， 即， ， ； 当时，如图4-1，延长交于点G， 同理得， ； 综合之，的值为3或5． 【点睛】本题是旋转的综合问题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，构造适当的辅助线是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $