精品解析：2024年宁夏回族自治区吴忠市区学校中考一模数学试题

吴忠市区学校2024年九年级学业水平调研考试 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点和分别在和上，且．连接，过点的直线与平行，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　) A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 8. 甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④，以上结论正确的有　　 A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. ______． 10. 如图，，相交于点E，的面积等于3，的面积等于5，那么的面积是___________． 11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 __． 12. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为_____． 13. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 14. 在中，，点是的中点，过点作，交于点，点在上，且，当时，则的长为______． 15. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是，则图中截面圆的半径是______． 16. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为_________． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：并写出它的整数解． 19. 下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设…… 等量关系：甲图书单价乙图书单价20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________； A． 甲种图书每本单价x元 B． 乙种图书每本单价x元 C． 甲种图书购买x本 （2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． 20. 骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元个、30元个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润售价进价） 时间 甲头盔销量 乙头盔销量 销售额 周一 10 15 1150 周二 6 12 810 （1）求甲、乙两种头盔的销售单价； （2）若商店准备用不多于3400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？ 21. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一，下列图表中的数据是甲，乙，丙三人每人10次垫球测试的成绩，测试成绩规则为每次连续接球10个，每垫球到位一个记1分，收集整理数据如下： 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 （1）根据图表可得：______，______，______； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 6.3 6 0.81 乙 7 7 0.4 丙 7 7 0.8 （2）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； （3）训练期间甲，乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 22. 如图，四边形是矩形，对角线与交于点O． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法） （2）若． ①求的度数； ②求的值． 四、解答题（本题共4小题，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共36分） 23. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为）． （1）求反比例函数解析式及点的坐标； （2）若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 24. 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC. (1)求证：BC平分∠PBD； (2)求证：PC2＝PA·PB； (3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π). 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； （3）对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 26. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题中设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】如图①，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． （2）【探究迁移】如图②，在中，，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，请仅就图②的情形解决以下问题： ①求______； ②求两点间的距离． （3）【拓展应用】如图③，在正方形中，点E，F分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点H处，连接与交于点M，请仅就图③的情形解决以下问题： ①求______； ②若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市区学校2024年九年级学业水平调研考试 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义来求解的绝对值． 【详解】解：根据绝对值的定义：一个负数的绝对值是它的相反数 因为是负数，所以它的绝对值是它的相反数，即 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 2. 由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，据此可得． 【详解】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形， 所以其主视图为： 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法运算以及幂的乘方和合并同类项法则分别计算即可判断． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、无法合并，故错误，不合题意； D、，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及幂的乘方和合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 4. 某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可． 【详解】摸到红球的频率为， 估计袋中红球的个数是个， 故选：A． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率． 5. 如图，在中，点和分别在和上，且．连接，过点的直线与平行，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质可得∠BAC=70°，∠ADE=55°，再由平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．根据点C为线段的黄金分割点，设,则，得到，解得，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，,， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点C为线段的黄金分割点， 设, 则 ∴ 化简得，， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 7. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　) A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC=AB，又OA=OB=OC， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB为等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF=∠AOF=30°， 由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15° 故选B 8. 甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④，以上结论正确的有　　 A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系图对各个结论依次进行分析判断即可. 【详解】解：①当x=0时，y=1200， ∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确； ②乙的速度为1200÷（24-4）=60（m/min）， 甲的速度为1200÷12-60=40（m/min）， 60÷40=1.5， ∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确； ③b=（60+40）×（24-4-12）=800，结论③正确； ④a=1200÷40+4=34，结论④错误． 故结论正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式= . 故答案为：. 10. 如图，，相交于点E，的面积等于3，的面积等于5，那么的面积是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，进而得到，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：8． 11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为： 12. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：， 解得． 故答案为：7． 13. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算． 【详解】解：根据题意，砝码提起的长度为：， 故答案为：． 14. 在中，，点是的中点，过点作，交于点，点在上，且，当时，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质， 首先证明出，得到，求出，然后结合求出，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵，点是的中点， ∴． 故答案为：6． 15. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是，则图中截面圆的半径是______． 【答案】##50厘米 【解析】 【分析】首先根据题意求出线段的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、交于点D； 则， 设的半径为r，则， 在直角中，， 由勾股定理得： 解得：． 故答案为． 【点睛】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答． 16. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【详解】解：， ∵阴影部分的面积为64， ∴， 设， 则， 同理：先构造一个面积为的正方形， 再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形， 得到大正方形的面积为， 则该方程的正数解为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ． 18. 解不等式组：并写出它的整数解． 【答案】解集为﹣1＜x＜3，不等式组的整数解为0、1、2． 【解析】 【详解】试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 试题解析：解不等式3x﹣1＜x+5，得：x＜3， 解不等式＜x﹣1，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x＜3， ∴不等式组的整数解为0、1、2． 19. 下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设…… 等量关系：甲图书单价乙图书单价20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________； A． 甲种图书每本单价x元 B． 乙种图书每本单价x元 C． 甲种图书购买x本 （2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． 【答案】（1）甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量；（2）甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程的实际应用： （1）根据题意可得解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量； （2）根据解分式方程的基本步骤解答，即可求解． 【详解】解：（1）解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量； 故答案为：甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量 （2）解法一： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元； 解法二： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元． 20. 骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元个、30元个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润售价进价） 时间 甲头盔销量 乙头盔销量 销售额 周一 10 15 1150 周二 6 12 810 （1）求甲、乙两种头盔的销售单价； （2）若商店准备用不多于3400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种头盔的售价分别是55元/个，40元/个． （2）甲种头盔最多购进40个． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设甲、乙两种头盔的售价分别是元/个、元/个．根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 设甲、乙两种头盔的售价分别是元/个、元/个． 则 解得， 答：甲、乙两种头盔的售价分别是55元/个，40元/个； 【小问2详解】 设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个， 则，解得， 答：甲种头盔最多购进40个． 21. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一，下列图表中的数据是甲，乙，丙三人每人10次垫球测试的成绩，测试成绩规则为每次连续接球10个，每垫球到位一个记1分，收集整理数据如下： 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 （1）根据图表可得：______，______，______； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 6.3 6 0.81 乙 7 7 0.4 丙 7 7 0.8 （2）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； （3）训练期间甲，乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 【答案】（1）7；7；6 （2） 解：从平均数、众数、中位数上看，乙和丙都较高，从方差上看，乙的方差小于丙的方差，则乙的成绩比较稳定， 故选乙； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； （2）根据平均数，众数，中位数，方差的意义判断即可； （3）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：， 由统计图知：乙的测试成绩中7分出现了5次，次数最多，故， 甲的中位数为， 故答案为：7；7；6； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意画出树状图如下： 一共有8种可能，最后球传回到甲手中的情况有2种可能， ∴第二轮结束时球到甲手中的概率． 22. 如图，四边形是矩形，对角线与交于点O． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法） （2）若． ①求的度数； ②求的值． 【答案】（1） 如图，线段即为所作，     （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作出的角平分线即可； （2）①证明是等腰直角三角形，是等边三角形，据此求解即可； ②作于G，设，利用直角三角形的性质求得，，再证明是等腰直角三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴，， 由作图知， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②作于G，设， ∵是等边三角形， ∴，则， ∴，， 由①得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-基本作图－作已知角的角平分线，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题（本题共4小题，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共36分） 23. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为）． （1）求反比例函数解析式及点的坐标； （2）若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 【答案】（1），点的坐标为； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（）由与的长，及位于第一象限，确定出的坐标，将坐标代入反比例函数解析式中求出的值即可求出求反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式即可得到点的坐标； （）由图象即可求解； （）连接、，根据反比例函数的比例系数的几何意义得，再计算，利用即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形，比例系数的几何意义，求三角形的面积，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知， 将点坐标代入中得，， ∴， ∴双曲线的解析式为， 由图象可知，点的横坐标为，把代入得，， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可知，点横坐标为，则关于的不等式的解集是或； 【小问3详解】 解：连接、， 则， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴． 24. 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC. (1)求证：BC平分∠PBD； (2)求证：PC2＝PA·PB； (3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π). 【答案】 （1）连接OC， ∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD， ∵BD⊥PD， ∴BD∥OC， ∴∠DBC＝∠BCO， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠CBD， ∴BC平分∠PBD； （2）连接AC， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°， ∵∠PCA＋∠ACO＝90°， ∴∠ACP＝∠ABC， ∵∠P＝∠P， ∴△ACP∽△CBP， ∴＝， ∴PC2＝PA·PB； （3）S阴影＝2－π. 【解析】 【分析】（1）连接OC，由PD切⊙O于点C，得到OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠DBC=∠BCO，又因为∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OBC=∠CBD； （2）连接AC，由AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据图形的面积公式即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2， ∴PB＝6， ∴AB＝4， ∴OC＝2，PO＝4， ∴∠POC＝60°， ∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； （3）对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）；面积最大值为 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点， （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，即可求解； 熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； 【小问3详解】 ∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时，由四边形为矩形知，，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，， 26. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题中设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】如图①，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． （2）【探究迁移】如图②，在中，，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，请仅就图②的情形解决以下问题： ①求______； ②求两点间的距离． （3）【拓展应用】如图③，在正方形中，点E，F分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点H处，连接与交于点M，请仅就图③的情形解决以下问题： ①求______； ②若，求的长度． 【答案】（1）；8 （2）①；②6 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用折叠的性质和解直角三角形成为解题的关键． （1）观察图形可得与关于点中心对称即可得到旋转角度，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离； （2）①如图：连接，由折叠的性质可得，，进而得到，然后根据角的和差即可解答；②连接分别交于G、H，作、，则四边形和是矩形，易得；再解直角三角形可得，进而得到，然后根据轴对称的性质以及线段的和差即可解答； （3）①由折叠的性质可得易得，进而求得，然后根据特殊角的三角函数值即可解答；②先解直角三角形可得、，进而得到、，再说明，最后解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于轴对称的图形，与关于x轴对称， ∴与关于O点中心对称， ∴可以看作是绕点O顺时针旋转得到的， ∵， ∴， ∵关于直线对称， ∴，即， ∴可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度． 故答案为：，8． 【小问2详解】 解：①如图：连接， 由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴ 故答案为：120． ②如图：连接分别交于G、H，作、， ∴四边形和是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴． 【小问3详解】 解：①由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $