数学合格性考试仿真模拟卷03-2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试

2024年北京第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 1、 选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的大致图像是（   ） A．B．C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．复数（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．函数的零点是（    ） A． B． C．0 D．1 8．在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．（　　） A． B． C． D． 11．已知，，则的值为（    ） A． B．ab C． D． 12．的内角、、所对的边分别为、、，且，，，则边的值为（    ） A． B． C． D． 13．设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 16．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（    ） A．0.85 B．0.80 C．0.70 D．0.29 17．已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 18．已知与的夹角为，则（    ） A．-3 B．3 C． D． 19．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 20．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是7 B．平均数是7 C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 21．命题“”的否定是 . 22．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于 ，此时a= . 23．复数(i为虚数单位)的实部是 . 24．已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的有 ①．若，，则 ②．若，，则 ③．若，，则 三、解答题（本题共4小题，共28分） 25．（7分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合. 26．（7分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 27．（7分）阅读下面题目及其解答过程. 已知函数. （1）证明：是偶函数； （2）证明：在区间上单调递增. 解：（1）的定义域为①________. 因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数. （2）③________，且， 因为， 所以④________0，⑤________0，. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）， 空格序号 选项 ① A．            B．   ② A．        B． ③ A．任取           B．存在 ④ A．             B． ⑤ A．             B． 28．（7分）给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足： （i），； （ii）对任意x，，只要，就有．问： (1)直接判断是否为减0集，是否为减1集； (2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； (3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集的定义直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：C 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 3．函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的特点即可求解. 【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像. 故选：A. 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】∵有意义，∴，即， 所以函数的定义域是， 故选: A. 5．复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法计算. 【详解】. 故选：D 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】因为，又函数是R上的增函数， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：C. 7．函数的零点是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由零点的定义求解即可. 【详解】令，得， 故函数的零点是0. 故选：C 8．在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求得正确答案. 【详解】由余弦定理得， 所以． 所以． 故选：D 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用诱导公式即可得. 【详解】. 故选：A. 10．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数的二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A. 11．已知，，则的值为（    ） A． B．ab C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算规则计算. 【详解】显然； 故选：D. 12．的内角、、所对的边分别为、、，且，，，则边的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可求得边的长. 【详解】因为，，，由正弦定理，可得. 故选：B. 13．设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，代入即可求解. 【详解】由函数的图像关于原点对称，可得函数为奇函数，所以， 又由时，，则. 故选：B. 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算得到答案. 【详解】设线段中点为，则， 故线段中点为. 故选：B. 15．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可. 【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为，所以. 故选：C 16．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（    ） A．0.85 B．0.80 C．0.70 D．0.29 【答案】D 【分析】由对立事件概率、互斥加法以及独立乘法即可求解. 【详解】由题意恰好有一人中靶的概率为. 故选：D. 17．已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】∵，∴，即，解得， 故选：D． 18．已知与的夹角为，则（    ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由数量积公式求解即可. 【详解】. 故选：B 19．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案. 【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥. 故选：B 20．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是7 B．平均数是7 C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8 【答案】B 【分析】根据众数，平均数，中位数，百分位数的定义逐一判断即可. 【详解】由题意可知，众数是4，A错； 中位数为，D错； 平均数为，B对； 因为为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数9，C错. 故选：B. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 21．命题“”的否定是 . 【答案】“” 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 【详解】命题“”的否定是“”。 故答案为： 22．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于 ，此时a= . 【答案】 3 【解析】根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案． 【详解】根据题意，正数a、b满足， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3，此时. 故答案为：3；. 【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题. 23．复数(i为虚数单位)的实部是 . 【答案】3 【分析】根据复数的概念可选答案. 【详解】复数(i为虚数单位)的实部是3 故答案为：3 24．已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】②③ 【解析】根据线面平行和垂直的关系，逐个分析判断即可得解. 【详解】对①，根据直线平行的传递性，故①正确； 对②，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故②错误； 对③，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故③错误； 故选：②③ 三、解答题（本题共4小题，共28分） 25．（7分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合. 【答案】(1) (2)的最大值是，此时自变量的集合为. 【分析】（1）利用辅助角公式化简的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. （2）根据三角函数最值的求法求得正确答案. 【详解】（1）， 所以的最小正周期. （2）由（1）得， 所以当时，取得最大值， 此时自变量的集合为. 26．（7分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明； （2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又平面为菱形，所以， 又平面， 所以平面； （2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE， 则，又平面，平面， 所以平面. 27．（7分）阅读下面题目及其解答过程. 已知函数. （1）证明：是偶函数； （2）证明：在区间上单调递增. 解：（1）的定义域为①________. 因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数. （2）③________，且， 因为， 所以④________0，⑤________0，. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）， 空格序号 选项 ① A．            B．   ② A．        B． ③ A．任取           B．存在 ④ A．             B． ⑤ A．             B． 【答案】ABABA 【分析】根据的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤. 【详解】①由于的定义域为R，故A正确； ②由于，故B正确； ③根据函数单调性定义可知任取，故A正确； ④因为，所以，故，故B正确； ⑤因为，故，故，故A正确. 28．（7分）给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足： （i），； （ii）对任意x，，只要，就有．问： (1)直接判断是否为减0集，是否为减1集； (2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； (3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P是“减0集”，不是“减1集”(2)不存在，理由见解析(3)存在“减1集”； 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）根据所给定义，假设,即可得到,即可得到1个“减1集”，依次类推即可. 【详解】（1）因为，，， 所以是“减0集”， 同理因为，，， 所以不是“减1集”. （2）假设存在“减2集”， 则，那么， 分以下两种情形来讨论： 情形一：当时，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是4， 所以集合中除1以外的最小元素为6， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾. 情形二：当时，则或， （因为若为负整数，则，即此时）， 若，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是3， 所以集合中除1以外的最小元素为5， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾； 若，有， 不妨设，， 且此时集合中除1以外的最小元素为， 但是，所以, 而这与集合是“减2集”矛盾. 综上所述：不存在集合是“减2集”. （3）假设存在是“减1集”，. 假设，则中除了元素1以外，必然还含有其他元素. 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 因此可以有, 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集， 又当时，，但， 所以A中元素应该小于7， 因此减1集可以有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年北京第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03·参考答案 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A A D C C D A A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B B B C D D B B B 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 21． 22. 3 23．3 24．②③ 三、解答题（本题共4小题，共28分） 25.(7分） 【解】（1），....................3分 所以的最小正周期.....................44分 （2）由（1）得，....................5分 所以当时，取得最大值，....................6分 此时自变量的集合为.....................7分 26. （7分） 【解】（1）因为平面，平面，所以，.........1分 又平面为菱形，所以，...............2分 又平面，...............3分 所以平面；...............4分 （2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE， 则，又平面，平面，...............6分 所以平面................7分 27. （7分） 【解】①A；②B；③A；④B；⑤A．（前三个各1分，后两个各2分） 28.（7分） 【解】（1）因为，，， 所以是“减0集”，.....................1分 同理因为，，， 所以不是“减1集”......................2分 （2）假设存在“减2集”， 则，那么， 分以下两种情形来讨论： 情形一：当时，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是4， 所以集合中除1以外的最小元素为6， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾......................3分 情形二：当时，则或， （因为若为负整数，则，即此时）， 若，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是3， 所以集合中除1以外的最小元素为5， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾；.....................4分 若，有， 不妨设，， 且此时集合中除1以外的最小元素为， 但是，所以, 而这与集合是“减2集”矛盾. 综上所述：不存在集合是“减2集”. （3）假设存在是“减1集”，. 假设，则中除了元素1以外，必然还含有其他元素. 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 因此可以有,.....................5分 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集， 又当时，，但， 所以A中元素应该小于7， 因此减1集可以有.......................7分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$