精品解析：山东省淄博第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2024年5月山东省淄博市高二（下）期中数学—淄博六中 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 等比数列满足：，，则等于（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式基本量列式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则且， 即，解得，则. 故选：C. 2. 乘积展开后的项数为（ ） A. 6 B. 7 C. 13 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用组合数求出结果． 【详解】乘积展开后的项数为． 故选：D． 3. 已知数列为等差数列，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】借助等差中项的性质计算即可得. 【详解】由，故，由，故， 又，即有，故. 故选：C. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由特殊的函数值排除错误选项后可得结论． 【详解】时时，，排除CD； 时，，排除B， 故选：A． 5. 某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题得：，故， 因为，所以根据对称性得：. 故选：D. 6. 的展开式中有理项的项数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先化简原二项式为，再由二项式的展开式的通项公式可得选项. 【详解】解：. 又的展开式的通项，所以. 当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5. 故选：C. 7. 如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意数列中…，观察数列特点可知,利用累加法,易求得,由裂项求和计算可得出结果. 【详解】根据题意数列中…,观察数列特点可知,利用累加法可求得得， ，. 故选:D. 【点睛】本题归纳推理,考查累加法求数列的通项公式,考查裂项求和的方法求数列的和,属于中档题. 8. 已知不等式恰有1个非负整数解，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式可转化为，设，，作出与的图像，结合图像分类讨论即可得解. 【详解】由不等式，可得， 设，， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取极大值1. 又，且时，， 直线恒过点， 当时，作出与的图像如下所示， 恰有1个非负整数解，只需要满足，解得， 当时，显然有无穷多个整数解，不满足条件， 所以的取值范围为. 故选:D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 数列是等比数列 C. 若数列的前n项和，则 D. 若首项，公比，则数列是递减数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，， A选项，由于，所以与的符号相同，所以A选项错误. B选项，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确. C选项，， 当时，， 则， 由于是等比数列，所以，C选项正确. D选项，若首项，公比，则，所以D选项错误. 故选：BC 10. 下列命题中，正确的是（ ）． A. 随机变量X服从二项分布，若，，则 B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 C. 从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布， D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望方差公式计算，求得p,q的值，从而判断A； 利用间接法计算，可以判定B； 利用超几何分布，写出分布列，计算期望，可以判定C； 利用二项分布的性质可以判定D. 【详解】A：，可得，A错； B：利用间接法有，B对； C：，，， ，则期望,故C正确； D：，所以，当时概率最大，所以D对. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是( ) A. 的展开式中，的系数为30 B. 将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种 C. 已知，则 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据结构可知，由2个y、1个x、2个构成，据此即可作答；B：先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6分成两组，将两组分别放入两个信封，据此即可求出不同的数量；C：根据排列数和组合数计算公式解方程即可；D：根据二项式系数求；令x＝－1和x＝0分别求和，据此即可求解． 【详解】A选项：的展开式中，的系数为，故A正确； B选项：将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种(先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误； C选项：∵， ∴，故C正确； D选项：∵， ∴； 令x＝0得，； 令x＝－1得，； ∴，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项都为正数的等比数列，若，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】首先分析题意，利用等比中项性质化简求解即可. 【详解】已知各项都为正数的等比数列，且， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：9. 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知在上恒成立，参变分离可得对恒成立，结合基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 由题意可知：在上恒成立， 整理可知对恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式可得答案. 【详解】若乙射进1次，则他赢的概率为； 若乙射进2次，则他赢的概率为； 若乙射进3次，则他赢的概率为； 故乙赢的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列． （1）求数列的公差； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质得到方程，求解公差即可. （2）得到所需求和的数列，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，则 因为是等差数列，所以为常数， 所以解得，即公差为. 【小问2详解】 因为所以 可得， 故 16. 在多项式中，求： （1）和的值； （2）的值； （3）的值； （4）展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 【答案】（1）， （2） （3） （4）系数最大的项为，二项式系数最大的项为 【解析】 【分析】（1）令代入可求； （2）令和解方程组分别求出，可得； （3）由与的系数之和相等，可令可求； （4）在通项中令时比较可得系数最大的项；（中间项）二项式系数最大可得二项式系数最大的项. 【小问1详解】 令，可得，所以； 因为， 所以由通项可得. 【小问2详解】 令，则，① 令，则，② 由①②解得， 所以. 【小问3详解】 与展开式的系数之和相等， 令，可得. 【小问4详解】 展开式的通项为，， 因为为奇数时为系数为负数， 所以当时，； 当时，， 当时，， 所以展开式中系数最大的项为； 展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过原点，求a的值； （2）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值； （2）利用导数研究的单调性并求出上的最大值，由二次函数性质求在上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围. 【小问1详解】 由，可得． 因为，， 所以切点坐标为，切线方程为：， 因为切线经过，所以，解得． 【小问2详解】 由题知的定义域为，， 令，解得或， 因为所以，所以， 令，即，解得：， 令，即，解得：或， 所以增区间为，减区间为． 因为，所以函数在区间的最大值为， 函数在上单调递增，故在区间上， 所以，即，故， 所以的取值范围是. 18. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联. （2）的分布列为： 0 1 2 3 （3）【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解； （2）求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列； （2）根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解. 【小问1详解】 解：零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 所以在的独立性检验中，可以推断不成立， 即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联. 【小问2详解】 从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人， 其中男生的人数为人，女生的人数为人， 从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为， 可得， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为， 所以随机变量服从二项分布，即，所以. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 【答案】（1）增区间，减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求导，然后确定单调性即可； （2）求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围． 【小问1详解】 当时，，， 则， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 ， 所以， 设，令，由于有两个极值点， 所以，解得． 由，， 得 ， 即，令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以，故a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年5月山东省淄博市高二（下）期中数学—淄博六中 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 等比数列满足：，，则等于（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 2. 乘积展开后的项数为（ ） A. 6 B. 7 C. 13 D. 42 3. 已知数列为等差数列，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1 6. 的展开式中有理项的项数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式恰有1个非负整数解，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 数列是等比数列 C. 若数列的前n项和，则 D. 若首项，公比，则数列是递减数列 10. 下列命题中，正确的是（ ）． A. 随机变量X服从二项分布，若，，则 B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为 C. 从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布， D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大 11. 下列说法正确的是( ) A. 的展开式中，的系数为30 B. 将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种 C. 已知，则 D. 记，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知各项都为正数的等比数列，若，则__________. 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________. 14. 甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列． （1）求数列的公差； （2）若，求数列的前n项和． 16. 在多项式中，求： （1）和的值； （2）的值； （3）的值； （4）展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过原点，求a的值； （2）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围． 18. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $