2024年中考数学复习-与 函 数 新 定 义 相 关 的 问 题复习讲义

与 函 数 新 定 义 相 关 的 问 题复习讲义 解题方法 所谓“新定义型问题”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识和能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义型问题”成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在学习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. “新定义型问题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移. 实例分析 对某一个函数给出如下定义：若存在实数. 对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，图4-10-1 中所示的函数是有界函数，其边界值是 1. (1)分别判断函数 和 x≤2)是不是有界函数?若是有界函数，求其边界值. (2) 若函数y=-x+1 (a≤x≤b, b>a) |的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围. (3)将函数 的图像向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足 解析 本题考查叫作有界函数的新定义问题，首先需要理解边界值M 的定义，然后根据具体的函数图像进行分析. 【解】 不是； y=x+1 (-4<x≤2) 是, 边界值为3. (2) ∵y=-x+1是一个y随x增大而减小的一次函数, 当x=a时, y取得最大值为y=-a+1=2, a=-1; 当x=b时, y取得最小值为y=-b+1. ∵ 函数 的边界值是2， 解得-1<b≤3. ∴b的取值范围是-1<b≤3. (3) 若 函数图像向下平移m个单位， )时，函数的值小于 此时函数的边界t>1，与题意不符，故 当x=-1时, 经过 当x=0时, 将函数 的图像向下平移m个单位， 或 解得， 或 即 或 时，满足 典例精讲 例题1 对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点. 的坐标为 (其中k为常数，且k≠0), 则称点 P'为点 P的“k属派生点”. 例如, P(1,4) 的“2属派生点”为 即 (1) ①点P(-1,-2) 的“2属派生点”P'的坐标为 . ②若点P的“k属派生点”P'的坐标为 (3,3), 请写出一个符合条件的点 P 的坐标 . (2) 若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点, 且△OPP'为等腰直角三角形, 则 k 的值为 . (3) 如图 4-10-2 所示, 点 Q 的坐标为 点A在函数 的图像上，且点A是点 B的 属派生点”，当线段BQ 最短时，求 B 点坐标. 思路点拨 “k属派生点”这个新定义是偏重于计算的一道新定义题目，要求用具体的数值代替题目中的α，b，另外第 (3)问需要利用数形结合的思想，画出一次函数图像，利用点到直线的距离进行求解. 例题2 如图4-10-3 (a) 所示，点 P为∠MON的平分线上一点，以 P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点, 如果∠APB 绕点 P 旋转时始终满足 我们就把∠APB 叫作∠MON的智慧角. (1) 如图4-10-3 (b) 所示, 已知∠MON=90°, 点P为 的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且 求证： 是 的智慧角. (2) 如图4-10-3 (a) 所示, 已知 若 是 的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积. (3) 如图4-10-3 (c) 所示, C 是函数 图像上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点, 且满足 BC=2CA, 请求出∠AOB的智慧角 的顶点 P 的坐标. 思路点拨 (1)由角平分线求出 再证出∠OAP=∠OPB, 证明△AOP∽△POB, 得出对应边成比例, 即 得出 即可得出结论. (2) 由∠APB是∠MON的智慧角, 得出 证出△AOP∽△POB, 得出对应角相等, 即∠OAP=∠OPB, 即可得出 过点A 作AH⊥OB 于H, 由三角形的面积公式得， 即可得出 (3) 设点C(a,b), 则ab=3, 过点C作CH⊥OA于H, 分两种情况: ①当点B在y轴正半轴上，点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA 不可能； 当得A在x轴的正半轴上时；先求出 由平行线得出△ACH∽△ABO, 得出比例式: 得出 求出 根据∠APB是∠AOB的智慧角, 得出OP, 即可得出点P的坐标； ②当点B在y轴的负半轴上时, 由题意得, AB=CA, 由AAS证明. 得出 得出 求出OP，即可得出点P的坐标. 针对训练 1. 如图4-10-4所示, 在平面直角坐标系xOy中, A,B为x轴上两点,C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分 与经过点 A，D，B的抛物线的一部分 C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点 C的坐标为 点 M 是抛物线 3m (m<0) 的顶点. (1) 求A, B两点的坐标. (2) “蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得 的面积最大?若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3) 当△BDM为直角三角形时, 求m的值. 2.我们规定：形如 (a,b,k为常数, 且k≠ab) 的函数叫作“奇特函数”. 当( =0时, “奇特函数” 就是反比例函数 (1)若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”. (2)如图4-10-5所示,在平面直角坐标系中,点 O 为原点, 矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为 (9,0),(0,3). 点D是OA的中点, 连接OB,CD交于点E, “奇特函数” 的图像经过B，E 两点. ①求这个“奇特函数”的解析式. ②把反比例函数 的图像向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图像.线段 BE 中点 M 的一条直线l与这个“奇特函数”的图像交于P，Q两点，若以B，E，P，Q 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点 P的坐标. 3.如果一条抛物线 与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”. (1)“抛物线三角形”一定是 三角形. (2) 如图4-10-6所示, △OAB是抛物线 的 “抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD?若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由. (3)在 (2)的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围. 4.设p，q都是实数，且p<q.我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫作“闭区间”，表示为 [p，q].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时, 有p≤y≤q, 我们就称此函数是闭区间 [p,q] 上的“闭函数”. (1)反比例函数 是闭区间 [1，2014]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由； (2) 若一次函数y=kx+b (k≠0) 是闭区间 [m,n] 上的“闭函数”, 求此函数的解析式； (3) 若实数c,d满足c<d, 且d>2, 当二次函数 是闭区间 [c,d]上的“闭函数”, 求实数c, d的值. 5. 在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点 B及⊙A 外一点 P，我们定义：若直线PB与x轴有公共点 (记作M)，则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作 (1) 已知⊙O 是以原点为圆心, 1为半径的圆, 点 P(0,2), ①直线l₁: y=2, 直线l₂: y=x+2, 直线 直线 都经过点 P，则直线l₁, l₂, l₃, l₄中, ⊙O的“x关联直线” 是 . ②若直线lpBM是⊙O的“x关联直线”，则点 M的横坐标xM的最大值是 . (2) 点A(2,0), ⊙A的半径为1, ①若P(-1,2), ⊙A的“x关联直线” 点 M的横坐标为xM， 当xM最 大时，求k的值. ②若P 是y轴上的一个动点，且点 P 的纵坐标 ⊙A 的两条“x关联直线”lPCM,lpnN是⊙A 的两条切线，切点分别是C，D，作直线 CD与x轴交于点 E，当点 P 的位置发生变化时，AE 的长度是否发生改变?说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$