河北省秦皇岛市卢龙县2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册 和集合与常用逻辑用语。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若集合A={x4-x≤x},B={x|2-x≤2}，则A∩B= A.[-2,0] B.[2,+o∞) C.[0,+∞) D.[0,2] 2.命题“Hx∈(0,1)，x2>lnx”的否定是 A.Hx∈(0,1)，x2<lnx B.Vx(0,1),x2>Inx C.3xt(0,1),x2≤lnx D.3x∈(0,1)，x2≤1nx 3.曲线f(x)=一x2+3在点(1，f1)处的切线方程为 A.5x+y-7=0 B.5x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 4.已知函数f(x)=x2一ax,其导函数为f(x),集合A={xf(x)≤0}，B={xf(x)≤1}，若AB,则 a的取值范围为 A.[-1,1] B.(-∞，1] C.(-oo,-1] D.[0,1] 5.已知由样本数据(x,y)(i=1,2,3,…,10)组成的一个样本，变量x,y具有线性相关关系，其 经验回归方程为5=6x+a,并计算出变量xy之间的相关系数为一0.96，公，=-8，艺 一15，则经验回归直线经过 A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 6.有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三 人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通 日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为 A.32 B.36 C.48 D.56 7.已知函数f(x)=号x+x2十ax+2,则“f(x)有极值”是“a<1"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.一次知识竞赛中，共有A,B,C,D,E五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： A B D E 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对A 题的概率为}，答对B,C,D题的概率均为2，答对E题的概率为，则甲能获奖的概率为 A品 B影 D是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若f(x)=(2一x)20=a十a1x十a2x2十…十a2ox20,则下列说法正确的是 A.(2一x)20的展开式中奇数项的二项式系数之和为210 B.a1十a2++a20=1-220 C.a19=-40 D.f(一1)除以10的余数为9 10.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的千扰，发 送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为0.1，收到0 的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.3，收到1的概率为0.7.下列说法正确的是 A假设发送信号0和1是等可能的，收到0的概率为0.6 B.假设发送信号0和1是等可能的，收到11的概率为0.16 C.若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为0.147 D.假设发送信号0和1是等可能的，已知收到的信号是11，则发送的信号也是11的概率 为器 11.已知函数f(x)=msin x十x,则下列说法正确的是 A.存在m∈R,使得f(x)在R上单调递减 B.对任意m∈[一1,1门，f(x)在R上单调递增 C.对任意m∈[-1,0]，f(x)≥0在[0，”]上恒成立 D,存在m∈[-1，十oo),使得f(x)≤2x2在R上恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12设随机变量X一B(3,p),若PX2I)-票则b=△ ,E(2X+1)= 13.用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜 色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 ▲种. 14.已知函数f(x)在R上连续且存在导函数∫(x),对任意实数x满足 f(2-x)=f(x)+2x-2,当x∈(1，+∞)时，f(x)>-1.若f(a+1) ≥f(a)-1,则a的取值范围是▲. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛， 满分100分.随机抽取的8人的得分为84,78,81,84,85.84,85,91. (1)计算样本平均数x和样本方差s2; (2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N(4,o2),其中a和。2的估计值分别为样 本平均数x和样本方差s2,若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者 的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定 各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据：2√3≈3.46） 附：若随机变量X服从正态分布N(4,d2),则P(u一o≤X≤十o)≈0.6826，P(u-2o≤ X≤u+2c)≈0.9544，P(μ-3o≤X≤4+3o)≈0.9974， 16.(15分) 某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本 数据进行统计，制作了如下2×2列联表： 合格品 不合格品 合计 升级前 120 80 200 升级后 150 50 200 合计 270 130 400 (1)根据上表，依据小概率值α=0.005的×独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升 级有关？ (②)在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然 后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有X件，属于升级后生产的 有Y件，求X>Y的概率 n(ad-bc)2 附：X=(a+b)(c十d)(a+c)(b+d 0.005 0.001 a 0.1 0.05 0.01 7.879 10.828 Xa 2.706 3.841 6.635 17.(15分) 已知函数f(x)=alnx一x2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a≠0，f(x)≤8ln2-4恒成立，求a的取值范围. 18.(17分) 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次 随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球：若 抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过n(n∈N+)次抽取后，袋中红球的个数为X.: (1)求X2的分布列与期望； (2)证明{E(Xnm)一5}为等比数列，并求E(Xn)关于n的表达式. 19.(17分) 若函数y=f(x)存在零点a,函数y=g(x)存在零点b,使得a-b≤1，则称f(x)与g(x)互 为亲密函数 (1)判断函数了(zx)=2十x一2与g(x)=xn(2x)-x一是否为亲密函数，并说明理由： (2)若h(x)=c1一x与k(x)=x+mx2+(2m+1)z十m+2互为亲密函数，求m的取值 范围. 附：ln3≈1.1.1/5 高二数学考试参考答案 1.B依题意得A={x|4一x≤x}=[2,十∞)，B={x|2-x≤2}=[0，十∞)，则A∩B=[2, 十o∞). 2.D命题“Hx∈(0,1)，x2>lnx”的否定是“3x∈(0,1)，x2≤lnx”. 3.A由题可知f(x)=-2x-是，所以f1)=-2-3=-5,又f1)=-1+3=2,所以所求 的切线方程为y一2=一5(x一1)，即5x+y一7=0. 4Af(x)=2x-a<1,解得x<,放B=(-o,1又fx)=-ax=x(x-a)<0, 且A至B,所以 解得-1≤a≤1. 5.B由相关系数为-0,96，知x,y负相关，所以6<0.又号=-8，，=-15，即点(-0.8， =1 一1.5)在经验回归直线上，且在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限， 6.B周六分配一名精通日语的志愿者有C×C×C=18种不同的分配方法，周六分配两名 精通日语的志愿者有C×C号×C=18种不同的分配方法，故分配方法的总数为36. 7.Cf(x)=x2+2x+a,若f(x)有极值，则4-4a>0,解得a<1,所以“f(x)有极值”是“a< 1”的充要条件 8,A若从B,CD中只选择了-题，则甲能获奖的概率A-号×子×号×品： 若从B.CD中选择了两题则甲能获奖的概率P,-得×号×号×=高： 3 若从BC,D中法择了三题，则甲能获奖的概率卫一晨×号×号×号-动 故甲能获奖的概率P=P,十P,+R=品 9.BC(2-x)”的展开式中奇数项的二项式系数之和为20-1=2°，故A错误； 令x=0,可得ao=20,令x=1,a0十a1十a2十…十a0=(2-1)0=1,则a1十a2十…十a0=1 -220,故B正确：a19=C821(-1)19=一40，故C正确：f(-1)=30=90=(10-1)10=100- C。10°+一C。10十C8,故f(一1)除以10的余数为1，故D错误， 10.ABD对于A,收到0的概率为0.5×0.9+0.5×0.3=0.6，故A正确； 对于B,收到1的概率为0.5×0.1十0.5×0.7=0.4，所以收到11的概率为0.4×0.4= 0.16,故B正确：对于C,若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为C× 0.7×0.3=0.441,故C错误： 对于D,设收到的信号是11为事件M,发送的信号是11为事件N, 则PWIM=PMN_ 1×0.7×0.7 P(M 0.16 得放D正确， 11.BCDf(x)=mcos x十1，因为f()=1>0,所以不存在m∈R,使得f(x)在R上单调递 减，故A错误；f(x)=mcos x十1，因为m∈[-1,1]，cosx∈[-1,1]，所以mcos x∈[-1， 1],即f(x)≥0，故B正确；当m∈[-1,0]，x∈[0，]时，f(x)=msin x-十x≥x-sinx,设 g(x)=x-sinx,x∈[0，]，则g(x)=1-cosx≥0，所以g(x)在[0，]上单调递增，所以 g(x)≥g(0),即x-sinx≥0，故C正确； 当m=-1时，令h(x)=2x2-fx)=2x2-x十sinx,则N'(x)=x-1十cosx,令g(x)= x-1十cosx,则0'(x)=1-sinx≥0，又p(0)=0,所以h(x)在（一∞，0]上单调递减，在[0， +∞)上单调递增，即h(x)≥h(0)=0,故D正确. 12.号5P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p-器，则1-p3=7,因为0<p<1,所以p =号，故E(X)=3×号=2，E(2X+1)=2E(X)+1=5. 13.721,2,3三个区域有A种涂法，当1和5区域同色时，有A×2=48种涂法，当1和5区 域不同色时，有A×1×1=24种涂法.综上，共有72种涂法。 14.[2,+∞)由f2-x)=fx)+2x-2,可得f2-x)+(2-x)=f(x)+x. 令g(x)=f(x)十x,则f(x)=g(x)一x,g(2-x)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=1 对称.当x∈(1，十∞)时，f(x)>-1,所以g(x)=f(x)十1>0，又f(x)在R上连续，所 以g(x)在[1，十∞)上单调递增. 由f(a+1)≥f(a)-1,可得g(a+1)-(a十1)≥g(a)-a-1,即g(a+l)≥g(a), 所以a+1-1川≥a-1,解得a≥2 15.解：(1)2=号×(84+78+81+84+85+84+85+91)=84，…3分 2=号×(0+36+9+0+1+0+1+49)=12.… …6分 (2)该市所有参赛者的成绩X近似服从正态分布N(84,12).…7分 设竞赛成绩达到a及以上为特等奖，成绩达到b但小于a为一等奖，成绩达到c但小于b为 二等奖，成绩未达到c为参与奖，则P(X≥a)=2.28%,P(b≤X<a)=13.59%,P(c≤X< b)=68.26%,P(X<c)=15.87%. 因为-PL-20今X≤L+2a2≈2.28%，所以a≈4十2o≥90.92.…9分 2 因为PL-2≤X≤+2o）,-PL≤X≤L+o2≈13.59%，所以cu十87.46. …10分 因为P(u-g≤X≤u十g）≈0.6826，所以c≈μ-o≈80.54.…11分 综上，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数 大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖。 …13分 16.解：(1)零假设为H。:产品的合格率与技术升级无关 =400X20X50-150X80=400>10>7.879=as…✉ 270×130X200×200 4分 根据小概率值a=0.005的X独立性检验，推断H。不成立， 即认为产品的合格率与技术升级有关………7分 (2)升级前后合格品的比例为4：5，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，有5件属于 升级后生产的。… …9分 当X=4,Y=0时，B是- …11分 当X=3,Y-1时，P,=C3C=19 C63' …13分 则X>Y的概率P=P十P=, 15分 17.解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x)=g-2x=4-2x …2分 当a≤0时，f(x)<0恒成立，f(x)在(0，十∞)上单调递减；…4分 当>0时，由f(x)>0,得0<<，由fx)<0,得x>@ …5分 所以f)在(0，)上单调递增，在(，+)上单调递减。 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减： 当a>0时，fx)在0，受)上单调递增，在（受，十∞）上单调递减。 …7分 (2)由题可知a>0, …8分 故fxa=f2)=ah要-号-受h号-号<8n2-4 11分 令1=号，则g()=tlnt-t,g(x)=lnt,所以g(t)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增 又t∈(0，e)时，g(t)<0,且g(4)=4ln4-4=81n2-4>0,…13分 所以ht一t≤8ln2-4的解集为(0,4]，所以0<号≤4，即0<a≤8，故a的取值范围为(0， 8] 15分 18.解：(1)X2的可能取值为2,3,4. P(X=2)-号×号-务， 1分 PX=3)=号×号+×号- 2分 5 P(X=0=是×号-易 3分 则X2的分布列为 X2 2 3 4 P …4分 故EX,)-2×会+3x号+4×号-器 6分 (2)①若第n十1次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，则这种情况发生的 概率是X,此时红球的个数为E(X)；…8分 5 ②若第十1次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是1-EX),此时红球的个数为 5 E(Xn)十1.…10分 故EX)=EX2).EX,)+[1-EX2][E(X,)+1]=号E(X,)+1, 5 5 E(X1)=号E(X)十l, 12分 则E(X+1)-5=号[E(X)-5],所以{E(X.)-5}为等比数列.…14分 故EX)-5=[E(X)-5]X(停)=一袋×（停=-3X(停r,即E(X)=-3X …17分 19.解：(1)记a是函数y=f(x)的零点，b是函数y=g(x)的零点. 因为f(x)=2+x-2在R上单调递增，且f(号)=厄+号-2<0，f(1)=2+1-2>0,所 以a∈(,1.… …2分 因为gx)=xlh(2x)-x-品=[n(2x)-1门-0，所以当0<r<号时，g)<0. 又g(x)=ln(2.),所以g(x)在(0，之)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增。 因为g1)=n2-1-0<0,g号)=2n3-是->0，所以6e1,号》， …5分 所以a一b川≤1，故f(x)与g(x)互为亲密函数.…7分 (2)h'(x)=-1一1，则h(x)在（一o∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以h(x)m=h(1)=0,故h(x)有唯一的零点1.… …10分 因为h(x)=e1一x与k(x)=x3十mx2+(2m十1)x十m十2互为亲密函数， 所以k(x)=0在[0,2]上有解。……11分 由k(x)=0,可得-m= ++2=x++2=t2=x+1+xA一3.… x2+2x+1 (x+1)2 x+1 …15分 因为x∈[0,2]，所以x十1[1,3]，则x+1十气一3[1,2]，故m的取值范围为[-2， -1]. …17分