广东省清远市南阳中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（期中）数学试题

南阳中学2023-2024学年春季学期第2次月考高一级数学科试卷 满分150分，时间120分钟 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．已知平面向量，且，则（ ） A． B． C． D．1 4．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A． B． C． D． 6. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 7．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2016年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（ ） A． B． C． D． 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 10.在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 11.在中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．周长的最大值为 D．面积的最大值12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，其中是实数，则__________. 13．设实数，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据，，的方差为____． 14．在中，已知向量与满足，且， 则角____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知向量. （1）求和的值； （2）若向量与互相垂直，求的值. 16.（本题满分15分） 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 17.（本题满分15分） 已知的内角所对的边分别为，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，，点D在边上，且，求的长. 18.（本题满分17分） 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点． （1）判断多面体是否为棱柱并说明理由； （2）求多面体的体积； （3）求证：平面平面AB1D． 19． （本题满分17分） 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. （1）证明：平面； （2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024 学年春季学期第 2次月考高一级数学科试卷参考答案 1.D ，对应的点位于第四象限，故选D. 2.B根据分层抽样的方法，讲师应抽取的人数为，故选B． 3.B由向量，因为，可得，解得，故选B. 4. A设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，由 ，则，则圆锥的体积为 .故选：A 5.B ，，，， 6.D.，即：，解得.故选：D. 7.D.由可得，即，， 可得在上的投影向量为．故选：D 8.C取的中点为，连接， 因为平面，而平面，故，故.同理，而，平面， 故平面，而平面，故，故，综上，为三棱锥外接球的球心，而，故外接球的半径为3，故球的表面积为，故选：C 9. BD 10.ABD对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D， ，故D正确.故选：ABD. 11.AC 对A：由正弦定理可得：，故A正确；对B：由余弦定理可得：， 又，所以，故B错误；对C：由余弦定理，所以，又.所以（当且仅当时取“”）.此时周长的最大值为.故C正确；对D：由余弦定理（当且仅当时取“”），此时，故D错误.故选：AC 12.0 13.根据题意，数据的平均数为，数据的分位数为，∴ ，即，代入数据，即为，此组数据的平均数为，∴ 数据的方差为. 14.设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以.故答案为： 15. （1）由题意得， ；..............................5分 （2） ，因为向量与互相垂直， 所以， 所以，解得...............13分 16.（1）由每组小矩形的面积之和为1得，...3分 （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84.......7分 （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.......15分 17.（1）因为, 由余弦定理得，整理可得,所以，又，所以.............5分 （2）因为所以由正弦定理可得,由,可得A为锐角，可得， 由余弦定理得故整理可得解得或(舍去),又点D在边AC上, 且所以所以在中，由余弦定理可得 ....15分 18.（1）多面体不是棱柱．理由如下： 因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱...............4分 （2）易知三棱柱的体积， 三棱锥的体积，易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，故多面体的体...10分 （3）因为D，E分别是，AC的中点，所以， 所以四边形为平行四边形。所以．又平面，平面，所以平面．易知，得四边形为平行四边形．所以，又平面，平面，所以平面． 而，BE，平面，所以平面平面．...17分 19.（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，由侧面底面，侧面底面平面，得平面，又平面，则，又侧面是正三角形，是的中点，则，又平面，所以平面.．...7分 （2）如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然，由侧面底面，交线为，得底面，底面，则，过作，垂足为，连接，显然，平面，则平面，而平面，因此，则即为二面角的平面角，其大小为，在中，，则，由，得四边形为平行四边形，则，由，得（或其补角）为异面直线与所成角，由（1）知平面，则为直角三角形，，所以异面直线与所成角的正切值为.．...17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$