2024年中考数学复习-函数 交 点 及 交 点 个 数 问 题复习讲义

函数 交 点 及 交 点 个 数 问 题复习讲义 解题方法 函数交点个数问题主要是指一次函数、二次函数和反比例函数的交点个数，解决这类问题的主要方法是联立函数解析式进行计算. 1.解题步骤 直线 与抛物线 的交点. 联立 与 消去y，得到一元二次方程 (1)当此方程的. 直线与抛物线有两个交点； (2)当此方程的 直线与抛物线有一个交点； (3)当此方程的 直线与抛物线没有交点； 2.具体分类 (1)二次函数与一次函数交点问题. ①平移一次函数图像，考虑其与抛物线的交点； ②联立解方程. (2)二次函数图像沿直线翻折后与一次函数交点问题. 考虑翻折后的范围，确定好翻折后的图像. (3)二次函数绕点旋转后与一次函数交点问题. (4)二次函数与反比例函数交点问题. 实例分析 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点/ (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图像G (包含A，B 两点).若直线CD与图像G有公共点，结合函数图像，求点 D纵坐标t的取值范围. 解析 根据题意可知本题求函数解析式较为简单，主要考查的是一次函数和二次函数交点个数问题，需要运用数形结合的数学思想进行解答，本题的易错点是临界位置的判断，所以要求画图时一定要精准. 【解】(1) ∵抛物线. 经过点A 代入得 解得 ∴ 抛物线的表达式为 ∴对称轴为x=1. (2) 如图4-6-1所示, 由题意得, B(3,4), ( 二次函数 的顶点坐标为( 由图像可以看出 D 点坐标最小值即为- 最大值即 BC 的解析式 在x=1时的取值. 当x=1时, ∴点 D纵坐标t的取值范围为 典例精讲 例题1 已知二次函数 在x=0和x=2时的函数值相等. (1)求二次函数的解析式. (2)若一次函数y=kx+6的图像与二次函数的图像都经过点 求m和k的值. (3)设二次函数的图像与x轴交于点B，C (点 B 在点 C 的左侧)，将二次函数的图像在点 B，C间的部分 (含点 B和点 C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图像记为G，同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位.请结合图像回答：当平移后的直线与图像G有公共点时，n的取值范围. 思路点拨 本题的难点在第 (3)问，是已知有交点求取值范围的题目，难度偏大，需要先画出图形，另外部分抛物线与一次函数交点个数不能直接联立计算，要根据图像确定. 例题2 在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像与x轴交于A，B两点 (点 A 在点 B 的左侧),与y轴交于点 C. (1)求点A的坐标. (2) 当∠ABC=45°时, 求m的值. (3) 已知一次函数y=kx+b, 点 P(n,0) 是x轴上的一个动点, 在 (2) 的条件下, 过点P 垂直于x轴的直线交这个一次函数的图像于点 M，交二次函数. 的图像于点 N.若只有当-2<n<2时，点M 位于点 N的上方，求这个一次函数的解析式. 思路点拨 (1)求与x轴交点坐标直接用求根公式求解即可求出点A的坐标为 (-1，0).(2)数形结合即可算出m的值，但是要注意坐标转化为线段长度时候的正负问题.(3)属于给出临界位置再求取值的问题，一般给出临界位置要用临界位置进行分析. 针对训练 1.如图4-6-2 所示,等腰直角三角形 ABC 位于第一象限, ，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴和y轴，若双曲线 与 有交点，则k的取值范围是 ( ). A.1<k<2 B.1≤k≤3 C.1≤k≤4 D.1≤k<4 2.已知抛物线 (1) 若a=b=1, c=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标. (2) 若 试证明抛物线与x轴有两个交点. 3. 如图4-6-3所示，正比例函数y=kx和反比例函数 的图像都经过点A(3，3)，将直线y=kx向下平移后得直线l，设直线l与反比例函数的图像的一个分支交于点 B(6，n). (1) 求 n的值. (2)求直线l的解析式. 4.已知二次函数 (1)请求出该函数图像的对称轴. (2)在坐标系内作出该函数的图像. (3)有一条直线过点 P(1，5)，若该直线与二次函数 只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的解析式. 5.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求 k的取值范围. (2)当k取最小的整数时，求抛物线 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标. (3)将 (2)中求的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像.请画出这个新图像，并求出新图像与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值. 6.二次函数 经过点 (-1,0) 和点 (0,-3). (1)求二次函数的表达式； (2)如果一次函数y=4x+m的图像与二次函数图像有且只有一个公共点，求m的值和该公共点的坐标； (3)将二次函数图像y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图像与原图像剩余部分组成一个新的图像，该图像记为G，如果直线y=4x+n与图像G有3个公共点，求n的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$