精品解析：2024年山东省泰安市宁阳县中考二模数学试题

九年级第二次模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. ． 3. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5. 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别与相切于点，，为上一点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 我区某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解八年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了八年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示下列说法正确的是（　　） 自主学习时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5 人数/人 1 2 4 2 1 A. 本次调查学生自主学习时间的方差是0.3 B. 本次调查学生自主学习时间的平均数是1 C. 本次调查学生自主学习时间的中位数是4 D. 本次调查学生自主学习时间的众数是2 8. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线交于K点．以K为圆心，为半径画弧交射线于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线交于G，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 10. 《九章算术》有题如下：“仅有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重、燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相同．5只雀、6只燕重量为1斤．问燕雀每只各重多少？（注：古代1斤16两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12. 如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径所作的弧经过点，并与边交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 15. 化简分式得______． 16. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，把沿着折叠得到，点的对应点为，当垂直于菱形的一边时，的长为___________． 17. 直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线与轴一定有两个交点； ③关于的方程有两个根； ④若，当或时，； 其中正确的结论是______．（填序号） 18. 如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，则的坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 慧明楼是宁阳县复圣公园的地标性建筑和至高点，位于复圣公园中轴线上．为新中式三层阁式建筑，四面临水，绿树环绕，古朴典雅，气势恢宏．某数学兴趣小组用无人机测量慧明楼的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面米的点，测得慧明楼顶端的俯角为；再将无人机沿慧明楼的方向水平飞行到达点，测得慧明楼底端的俯角为，求慧明楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 20. 为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该校参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人： （2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”， 请估计全校可评为“运动之星”的人数是 人： （3）根据扇形统计图，体育锻炼的动力是“学校要求”的部分所对应的圆心角的度数是 度； （4）若从七年级（2）班的4名运动之星（3名男生，1名女生）中任选2名参与县级运动之星评选，请用列表或画树状图的方法，求恰有一名女生的概率． 21. 如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F． （1）求m和k的值． （2）求点D的坐标． （3）连接，求的面积． 22. 随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 23. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点. （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当，，求的长. 24. 如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上的点，求满足的点的坐标； （3）点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 25. 【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点，取边上任意一点F（不与重合），连接，将沿折叠，点的对应点为．然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点，连接．探究点在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论． （2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点，交于点，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为，若给出和的长，则可以求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 4. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图有圆，有三角形，由此可判断该几何体是圆锥；从图可看出该圆锥的底面圆的直径为12，圆锥的高为8，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：该几何体为圆锥，且该圆锥的底面圆的直径为12，圆锥的高为8，则该圆锥的母线长为，所以该几何体的侧面积为； 故选C． 【点睛】本题主要考查三视图及圆锥的侧面积，熟练掌握三视图及圆锥的侧面积公式是解题的关键． 5. 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：数据“”用科学记数法表示为． 故选：B． 6. 如图，分别与相切于点，，为上一点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而在的优弧上找一点，连接，根据圆周角及内接圆的性质即可解答． 【详解】解：连接，所在的优弧上找一点，连接， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了四边形的内角和，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 7. 我区某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解八年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了八年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示下列说法正确的是（　　） 自主学习时间/h 0.5 1 1.5 2 2.5 人数/人 1 2 4 2 1 A. 本次调查学生自主学习时间的方差是0.3 B. 本次调查学生自主学习时间的平均数是1 C. 本次调查学生自主学习时间的中位数是4 D. 本次调查学生自主学习时间的众数是2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数据的收集与整理，平均数、方差、众数的求法．根据中位数、平均数、方差、众数的求法直接求解即可． 【详解】解：本次调查学生自主学习时间的平均数是：，故B不符合题意； 本次调查学生自主学习时间的方差是：，故A符合题意； 本次调查学生自主学习时间的中位数是；故C不符合题意； 本次调查学生自主学习时间的众数是1.5；故D不符合题意； 故选：A． 8. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析整个运动过程，进而求出，，，再根据勾股定理求出，然后根据面积相等得出答案． 【详解】点P从点A沿着匀速运动，y随着x的增大而增大，当时，；点P在上运动时，y随着x的增大而减小，当时，，，继续运动，y随着x的增大而增大，当时y最大，即，；当点P在上运动时，y随着x的增大而减小，最后与点A重合． 在中，， ∴， ∴， 即， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，勾股定理，求三角形的面积等，从图象中获取信息时解题的关键． 9. 在中，，以C为圆心，适当长为半径画弧交，于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧交于M点，作射线交于K点．以K为圆心，为半径画弧交射线于H点，分别以C，H为圆心，大于为半径画弧交于N，L，作直线交于G，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图得到为的角平分线，垂直平分，即可证得，根据相似三角形对应边成比例求出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：根据题意得为的角平分线，垂直平分， ∴，, ∴， ∴, ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查尺规作图、相似三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是根据作图方法得到为的角平分线，垂直平分． 10. 《九章算术》有题如下：“仅有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重、燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相同．5只雀、6只燕重量为1斤．问燕雀每只各重多少？（注：古代1斤16两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系是解题关键．根据有5只雀、6只燕分别聚集，将1只雀、1只燕交换位置而放重量相同；再根据 5只雀、6只燕重量为16两，两个等量关系建立方程组即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 故选：A． 11. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 12. 如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果方程的两个实数根是，那么，；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．利用一元二次方程根与系数的关系得到，代入原式计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， ∴． 故答案为：2024． 14. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径所作的弧经过点，并与边交于点，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积与四边形综合，将阴影部分面积转化为常规图形的面积和差是解题关键．本题利用平行四边形性质得出，再求出和，最后利用求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点为圆心，长为半径所作的弧经过点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 化简分式得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，分式加减的本质是通分，分式乘除的本质是约分，解题的关键是熟知其运算法则． 先括号内进行通分，同时进行分解因式，除以一个式子等于乘以这个式子的倒数，然后进行约分即可． 【详解】 ； 16. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，把沿着折叠得到，点的对应点为，当垂直于菱形的一边时，的长为___________． 【答案】或##或##或##或 【解析】 【分析】分情况和两种情况讨论即可． 【详解】解：①当时，作图如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，， ∴ 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴ ∴ ②当时，作图如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质可知：， ∴． ∵，，， ∴， 综上所述：的长为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意正确作图和分类讨论是解题的关键． 17. 直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线与轴一定有两个交点； ③关于的方程有两个根； ④若，当或时，； 其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键． ①由直线经过点可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解． 【详解】解：①直线经过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 故①正确； ②， 由①得， ， ， ， 抛物线与x轴一定有两个交点， 故②正确； ③当时， ， 抛物线也过， 由得 方程， 方程的一个根为， 抛物线， ， 抛物线的对称轴为直线， 与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线与轴的另一个交点为， 关于x的方程有两个根，， 故③正确； ④当，当时，， 故④错误； 故答案为：①②③． 18. 如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的规律，找到点的坐标的变化规律是解题的关键． 根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点，，在第一象限，点，，在x轴上，，然后寻找规律，即可完成解答． 【详解】根据题意得：每滚动3次为一个周期，点，，在第一象限，点，，在x轴上， ，，， 点的横坐标为， 同理得出的横坐标为， 的横坐标为，， 的横坐标为（n为正整数）， 坐标为， 的坐标为． 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 慧明楼是宁阳县复圣公园的地标性建筑和至高点，位于复圣公园中轴线上．为新中式三层阁式建筑，四面临水，绿树环绕，古朴典雅，气势恢宏．某数学兴趣小组用无人机测量慧明楼的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面米的点，测得慧明楼顶端的俯角为；再将无人机沿慧明楼的方向水平飞行到达点，测得慧明楼底端的俯角为，求慧明楼的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】慧明楼的高度约为． 【解析】 【分析】此题主要考查仰角俯角解三角形的应用，理解题意，正确作出辅助线是解题的关键． 延长，交的延长线于点，根据题意得，，在中，，则，所以，在中，，故，所以，即慧明楼的高度约为． 【详解】解：延长，交的延长线于点， 则， 由题意得，，， 在中，， 则， ， 在中，， 解得：， ∴， 慧明楼的高度约为． 20. 为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该校参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人： （2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”， 请估计全校可评为“运动之星”的人数是 人： （3）根据扇形统计图，体育锻炼的动力是“学校要求”的部分所对应的圆心角的度数是 度； （4）若从七年级（2）班的4名运动之星（3名男生，1名女生）中任选2名参与县级运动之星评选，请用列表或画树状图的方法，求恰有一名女生的概率． 【答案】（1）200，122； （2）442； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，应用列表或树状图法求概率，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先根据条形统计图求出参与调查的人数，再用参与调查的人数乘以选择“自己主动”体育锻炼的学生人数占比即可得到答案； （2）用2600乘以样本中每周体育锻炼8小时以上的人数占比即可得到答案； （3）用360度乘以“学校要求F”的部分所占的百分比即可； （4）列表或画树状图，表示出12种等可能得结果，找出恰有一名女生的结果数，然后根据概率公式求解； 【小问1详解】 （人） 参与本次调查的学生共有200人， 选择“自己主动”体育锻炼的学生有（人）， 故答案为：200，122； 【小问2详解】 解：（人）， 估计全校可评为“运动之星”的人数为442人； 故答案为：442； 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中有女生的结果有6种． 恰有一名女生的概率为． 21. 如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F． （1）求m和k的值． （2）求点D的坐标． （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数的解析式、正方形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线间的距离相等等知识点，灵活运用相关判定和性质是解题的关 键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图：过点A作轴于点G，易证可得， ，即可求得点D的坐标； （3）利用中心对称求得B点的坐标，然后根据同底等高的三角形面积相等可知的面积的面积，据此即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：如图：过点A作轴于点G， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴.， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵直线与反比例函数的图像交于点和点B， ∴点B的坐标为， ∵， ∴. 22. 随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元 （2）购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元， 由题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元． 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需总费用为万元， 由题意得： ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点. （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当，，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5. 【解析】 【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ； （2）只要证明△BPE∽△EPQ，可得∠BEP＝∠EQP，且∠BEP＝∠CQE，可得结论； （3）由相似三角形的性质可求BE＝3＝EC，可求AP＝4，AQ＝3，即可求PQ的长． 【详解】解：（1）和是两个等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， （2）， , ， ， , ， ，且, ， 平分 （3） ，且，， ， ， ， ， ，， . 【点睛】本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 24. 如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上的点，求满足的点的坐标； （3）点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点坐标为 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （）分两种情况进行讨论：当点位于直线下方时，当点位于直线上方时，分别画出图形求出结果即可； （）在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于，过点作轴，垂足为，设点，则，，求出直线的解析式为，得出，根据，得出，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图， ①当点位于直线下方时，过点作，垂足为，设满足条件的点在抛物线上，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； ②当点位于直线上方时，过点作直线，垂足为，设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在． 如图，在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴，设点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，三角函数，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25. 【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点，取边上任意一点F（不与重合），连接，将沿折叠，点的对应点为．然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点，连接．探究点在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论． （2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点，交于点，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为，若给出和的长，则可以求出的长． 【答案】 （1）证明：正方形 ， 将沿折叠， 为中点， ， ， 在和中 ， ， ， ， （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用证明得， 可得，即可求证； （2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以，继而可知，再由，E为中点，即可求证； （3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”证明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二种情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可． 【详解】（1）略 （2），，选择图2进行证明． 将沿折叠， 则， ， ， ， ， ，而为中点， ， （3）第一种情况，当点在点左侧，如图2， ，为中点， ，而 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 第二种情况，当点在点右侧，如图3， 同理可求，此时， ， ， 同理可得， ， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等角三角函数值相等，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $