黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期阶段考试（二）数学试题

大庆实验中学2024届高三下学期阶段考试（二） 数学试题 出题人：陈永志 审题人：刘仁 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 2或 5. 已知递减的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则（ ） A. 51 B. 48 C. 36 D. 33 6. 清华大学、北京大学、上海交通大学、复旦大学均有数学强基招生计划，若某班有4位学生每人从上述四所学校中任选一所报名，则恰有一所学校无人选报的不同方法数共有（ ） A. 96 B. 144 C. 168 D. 288 7. 已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则或 8. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12 B. 两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（，2，3，4），则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 若展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则 10. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B. 当的面积为时， C. 为钝角三角形 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，，则__________. 13. 圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与其外接球的表面积的比值为_________． 14. 对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为，求__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和． 16. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 某商场为庆祝开业十周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满200元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的2个黄球和2个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束． （1）现某消费者一次性消费200元，记其参加抽奖的次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，表示第天参加抽奖活动的人数，该商场对活动前5天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下： 第天 1 2 3 4 5 人数 经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系． （i）计算相关系数，并说明与的线性相关程度的强弱；（结果精确到0.01） （ii）请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计第10天参加抽奖的消费者人数． 附：①相关系数： 最小二乘估计分别为： ②参考数据：． 18. 设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l1交椭圆E于，两点，连接，，． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线PA，PB的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值． 19. 已知函数，其中． （1）若，证明：时，； （2）若函数在其定义域内单调递增，求实数的值； （3）已知数列的通项公式为，求证：． 大庆实验中学2024届高三下学期阶段考试（二） 数学试题 出题人：陈永志 审题人：刘仁 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2） 【16题答案】 【答案】（1） 取，的中点为，，连接，，， 由于侧面为矩形，所以，∵，∴， 由于底面为等边三角形，所以，，，平面， 所以平面， 由于，，故四边形为平行四边形， 故平面，故， 又是中点，所以， 由于，，所以，， 又，所以， 由于，，故为的平面角， 由于，所以， 故平面平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1）随机变量的分布列： 1 2 3 期望为. （2）（i），与线性相关程度很强； （ii）为，132名 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）2；（ii）1 【19题答案】 【答案】（1） 证明：由题意可知：等价于，其中． 构建， 则， 可知在上单调递减，则时，， 所以时，． （2） （3） 证明：由（2）知：在上单调递增， 所以时，，即， 由（1）知：时，， 则， 所以时，， 令得：， 即， 因为， 所以， 由知：，又因为， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $大庆实验中学2024届阶段考试2数学试题 参考答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 B D C A C B C & BC ACD ABD 12、2√5 13. 14、-3 15、解：(1)当n=1时，4S=cG+2a+1,即4a=aG+2a+1,(a-1=0, 所以a=1,同理b=1. 当n≥2时，a=S-S:=亿-公，)+a-4小化简得： a+aa-a-2)=0.因为a>0.所以aa=2 即a-a-1=2,故d=2,又4=1，所以a=2n-1. 同理，bn+bn1=0或b.-b-1=2, 因为{b}是等比数列，所以b,+b1=0,即q=-1,所以b=（-11 @a》ag=hr8n-(oi0=y气 2n a4+1 所以当n为奇数时，Hn=C+C++C m 数- 同理当加为偶数时，月，=1-2) 1-,1,为偶数 1 22n+1 所以H, ,n为奇数 2n+1 16、解：取BC,BC的中点为O,M,连接OM,AO,AO, 由于侧面BBCC为矩形，所以BB,⊥BC,,OMI/BB,∴.OM⊥BC, 由于底面ABC为等边三角形，所以AO IBC,AO∩OM=O,AO,MOC平面AOM,所以BCL平面AOM, 由于A4/1OM,AA,=|OM,故四边形AOM4为平行四边形，故AOC平面AOM,故BC⊥AO, 又O是BC中点，所以AB=AC, 由于AB=|BC=AC=2,A0 1BC,所以AO=V3,CO=|BO=1, 又AC⊥AB,所以A,C=AB=V2,AO=1 由于BC⊥AO,BC⊥AO,故∠AOA为A-BC-A的平面角， 由于Ao+A0-A4,所以∠AOA=分，放平面4BC1平面ABC: (2)由于OA,OA,OB两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， 4(0,0,1),AV3,0,0,B(0,10),C(0,-1,0),则C=(V3,1,0,4B=(0,1-1),C4=CA=(51,0） 设平面ABC的法向量为m=(x,y,),则 原。3 由于平面ABC的法向量为OA=(00,),故eonm,O网- m0A32 m0427 故平面ABC与平面4BC的夹角的余弦值为V 7 16. 解(1)5的所有可能取值为1,2,3 pg=0芒-8g-y》器立=)-1f- 兰的分布列： 1 2 3 P 6 3-4 31 12 412 回0进2+15-3，名-矿4+1401+410注也可习5行得） 2飞-(y-列 160 16 . ≈0.94 2(-刘y-或 V10×√289017 ∴.y与x线性相关程度很强， 多s-0g-列 160=16 2x-列 10 :2(0y--2片-5=4890-5=2890 ∴.y=20 .a=-b元=20-16×3=-28 ∴.经验回归方程为y=16x-28, 当x=10时，y=16×10-28=132,故估计第10天有132名消费者参与抽奖. 18. 4+=1 a b2 解(1)由题意知： -2 ，即a=V6,b=V5,所以椭圆E的方程为+号=1： 63 a 2 a=b2+c2 ②)易知T3,0,k=1,k=2,在当+1 七-2’ 设A(,),B(,),直线1的方程为x=3+y, 则房+元，=l+为+-204+(m+1+为)+2 1+m1+%3myy+m(y+y2)+1 …（*) 联立方程 +31,得m+2y+6wy+3=07 B 12 x=3+y 611m 3 ∴.y+y2= 那+2'为= …(1) m2+2 将(1)式代入(*)得：k+k2=2 (i)由(i)知，2yy3=-（片+y3) 1w:y=x-x+y即y=x-3+(1-m)y…(2) --21 眠立2.，2)得3+=m+x-2列即w5+25+09 :5+5=+2y+m04+3计m州=+5少+2以=4 y y2 即N为AM的中点，故N=1 AN x(x+2) 19解(0由题密W刻：国2g+0价(x)2引+ ,其中x>0. 贱c-ey0,G22-2 20r+0<0, 电G)在0，+O上竿速藏，则x>0时，G)GO)0,所以x0时，> ②题四+a,侧Fk0 ①若1≤a<2,则-1≤a2-2a<0,由F'(x)<0可得a2-2a<x<0, 可知F(x)在(a-2a,0)上单调递减，不合题意： ②若a=2,测F'(四(+1+2之0，可知()(0，+o)上为增函数：符合腿意： ③若a>2,则a2-2a>0,由F'(x)<0可得0<x<a2-2a,可知F(x在(0，a2-2a)上单调递减，不合题意： 综上所述：a=2. @)电②)如：Fy)=血(x+山x2在(0，+o上单调递量 0时.F国=x-小0o-0,n(x-小1. 自wo,ae0t -14(x+1) 以>0时.1食》(+1F x m- 令x=得：1<n+2 (n+1)le+ duL=(n+1)"n+I e nle T, 所以e圳*<1<1， n"√n 1+ <1知：a1<a,又因为型>e可， 由 a 1-1 3 3 所以a4突9e三e=g2a=所a>a心e