山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 2023—2024学年第二学期高一年级第三次月考 数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 1、 单选题（共8小题，每小题5分） 1. 若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　) A. 3，－2 B. 3,2 C. 3，－3 D. －1,4 2. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A. a－b B. a＋b C. a＋b D. a－b 3. 在矩形 中，设 ， ，则 的模为(  ) A. B. C. 12 D. 6 4. 一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是(  ) A. B. C. D. 5．已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，下列选项中能推出 的是(  ) A. ， B. ， C. ， ， D. ， 6. 已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　) A. 9 B. 18 C. 9 D. 18 7. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 8. 若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为(　　) A. (12－12)π B. 12π C. (12＋3)π D. 16π 二、多选题（共4小题，每小题5分） 9. 若直线a平行于平面α，则(　　) A. 平面α内有且只有一条直线与a平行 B. 平面α内有无数条直线与a平行 C. 平面α内存在无数条与a不平行的直线 D. 平面α内任意一条直线与a平行 10．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列结论正确的是(　　) A. MA∥BD B. MA与BD异面 C. MA与BD相交 D. MA⊥BD 11.已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为(　　) A. B. C. π D. 12. 如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法正确的是(　　) A. 当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形 B. 当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形 C. 当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形 D. 当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形 三、填空题（共4小题，每小题5分） 13.已知i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限. 14. 已知向量{　　}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝________. 15 . 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线A′A，B′B，C′C交于同一点O，且＝＝＝，则＝________. 16．四棱台 中， ， ， ，则该棱台的体积      ． 四、解答题（共6小题） 17.（10分） 如图，在四面体P-ABC中，D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．求证： (1)DE∥平面BCP； (2)四边形DEFG为平行四边形． 18.（12分）(1)设向量 ， ，求 ； (2)已知向量 ， 不共线，且 ， .若 ，则 的值. 19. （12分）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3. (1)求该圆柱的体积和表面积； (2)直角三角形 绕 旋转一周，求所得圆锥的侧面积. 20.（12分）已知 为z的共轭复数,若 ,求z. 21. （12分） 已知||＝2，||＝3，与的夹角为120°. (1)求(2－)·(＋3)与|＋|的值； (2)若x－与＋3的夹角为钝角，求x的取值范围． 22.（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos C＋c＝2a. (1)求角B的大小； (2)若cos A＝，求的值. 高一数学答案 1．【答案】B 【解析】由题可知，(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi， 即3＋2i＝a＋bi， 所以a＝3，b＝2. 2.【答案】D 【解析】因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 3.【答案】A 【解析】已知在矩形 中， ， ， 因为 ， 根据勾股定理 ， 4. 【答案】D 【解析】一个正三棱锥 的每一个面都是边长是1的正三角形， 所以一个面为 ， 故三棱锥的表面积为 . 故选：D. 5. 【答案】D 【解析】对于A，由 ， ，显然不能得到 ，故A错误； 对于B，由 ， ，可以得到 或 异面或 相交，故B错误； 对于C，由 ， ， ，得 或 异面，故C错误； 对于D，由 ， ，可以推出 ，故D正确. 故选：D. 6.【答案】C 【解析】由三角形内角和定理，得C＝30°，所以AB＝BC＝6， 所以△ABC的面积S＝AB·BC·sin B＝×6×6×＝9. 7. 【答案】D 【解析】方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy. 如图②所示，建立平面直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，应有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a. 过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a. 所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2. 方法二　S△ABC＝a2， 又S△A′B′C′＝S△ABC，∴S△A′B′C′＝×a2＝a2. 8.【答案】A 【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr2＋2πrh＝12π，则h＝－r. 设该圆柱的外接球的半径为R， 则R2＝r2＋2＝r2＋2＝r2＋－3≥2－3＝3－3， 当且仅当r2＝，即r4＝时，等号成立． 故该圆柱的外接球的表面积的最小值为4π(3－3)＝(12－12)π. 9. 【答案】BC 【解析】过直线a可作无数个平面与α相交，由线面平行的性质定理可知，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面α内存在与a不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确． 10. 【答案】BD 【解析】由异面直线的判定方法可知MA与BD异面，连接AC(图略)， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD. 又MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥MC. 又MC∩AC＝C，MC，AC⊂平面AMC， ∴BD⊥平面AMC. 又MA⊂平面AMC，∴MA⊥BD. 11. 【答案】ACD 【解析】由题意得cos α＝－cos 2α， ∴2cos2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或. ∵0<α<2π，∴α＝π或或. 12. 【答案】ACD 【解析】当AE⊥PB时，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AE⊥BC，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF一定为直角三角形，A说法正确；当AF⊥PC时，无法得出△AEF一定为直角三角形，因此B说法错误；当EF∥平面ABC时，平面PBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，∴EF⊥AE，则△AEF一定为直角三角形，故C说法正确；当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，易知BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF一定为直角三角形，故D说法正确． 13. 【答案】A 【解析】因为z＝＝＝＝＝－， 所以其共轭复数＝＋， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限． 14. 【答案】3 【解析】因为{a，b}是一个基底， 所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得解得 所以x－y＝3. 15. 【答案】 【解析】如题图，＝＝＝， 可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′. 由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴＝，∴＝×＝. 16. 【答案】 【解析】由 为正四棱台可知四边形 为等腰梯形， 且 ， ， 所以 ， 所以四棱台的体积 . 故答案为： . 17. 【答案】证明　(1)因为D，E，F，G分别是AP，AC，BC，PB的中点， 所以DEPC，GFPC， 所以DEGF. 又DE⊄平面BCP，GF⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP. (2)由(1)知，DEGF，所以四边形DEFG为平行四边形． 18. 【答案】解：(1) ． （2）【答案】 【解析】由于 ，所以存在 ，使得 ， 即 ， 所以 ，解得 . 故答案为： . 19. 【答案】解：(1)圆柱的底面半径 ，母线长 ，即高 ， 体积 ， 表面积 . (2)由题意，圆锥母线 ， 所得圆锥的侧面积为 . 20. 【答案】解　设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi(a,b∈R), 由题意得,(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i, 则有 解得 故z=-1或z=-1+3i. 21.【答案】解　(1)因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°， 所以a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3. (2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2×4－15－3×9＝－34. |a＋b|＝＝＝＝. (2)因为xa－b与a＋3b的夹角为钝角， 所以(xa－b)·(a＋3b)＝xa2＋(3x－1)a·b－3b2＝4x－9x＋3－27<0， 即x>－.又当x＝－时，xa－b与a＋3b反向， 所以若xa－b与a＋3b的夹角为钝角，x的取值范围是∪. 22. 【答案】解　(1)∵2bcos C＋c＝2a， 由正弦定理，得2sin Bcos C＋sin C＝2sin A， 又∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴2sin Bcos C＋sin C＝2(sin Bcos C＋cos Bsin C)， 即sin C＝2cos Bsin C. ∵0<C<π，∴sin C≠0.∴cos B＝. ∵0<B<π，∴B＝. (2)在△ABC中，B＝，cos A＝， ∴sin A＝， ∴sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝. ∴＝＝. 答案第2页 总2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$