江苏省淮安市洪泽中学，金湖中学，清河中学，清浦中学等学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年第二学期高二年级第三次联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程必过点（     ） A．(0.5，3) B．(1.5，0) C．(1，2) D．(1.5，4) 4．由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A．42个 B．48个 C．54 D．120个 5．的展开式中的系数为（ ） A． 15 B． C． 5 D． 6．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A． 0.155 B． 0.175 C． 0.01 D． 0.096 7. 在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ） A. B. C. D. 8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（    ） A．若随机变量满足，则 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C．已知，若，则事件M，N相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与相互独立 C. D. 11.已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ） A. 平面平面 B. 侧面内存在无穷多个点，使得平面 C. 在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为 D. 动点分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有_________种. 13. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为__________. 14.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为，乙箱中产品的合格率为从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为__________. 四、解答题：本题共5题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分） 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 0.1 005 0.01 2.706 3.841 6.635 16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. （15分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 18.（17分） 已知． （1）当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； （2）设．①求的系数（用表示）. ②求（用表示）． 19.（17分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，点在线段上，且，分别是，的中点. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小？ （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页，共 4 页 2023-2024 学年第二学期高二年级第三次联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知空间向量 ，空间向量 满足 且 ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 2．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.已知 x与 y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y与 x的线性回归方程 必过点（ ） A．(0.5，3) B．(1.5，0) C．(1，2) D．(1.5，4) 4．由 0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A．42个 B．48个 C．54 D．120个 5． 的展开式中 的系数为（ ） A． 15 B． C． 5 D． 6．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料 表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为 0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保 险人中“谨慎的”被保险人占 ，“一般的”被保险人占 ，“冒失的”被保险人 占 ，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A． 0.155 B． 0.175 C． 0.01 D． 0.096 7. 在四棱锥 中，底面 是边长为 3的正方形， 底面 ， 点 在侧棱 上，且满足 ，则异面直线 和 的距离为（ ） A. B. C. D. 8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它 以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 是只取非负值的随机变 量，则对 ，都有 .某市去年的人均年收入为 10万元，记“从该 市任意选取 3名市民，则恰有 1名市民去年的年收入超过 100万元”为事件 A，其概率为 .则 的最大值为（ ）  1,2,3m  n //m n ur r 7 m n n 1 3 ,1, 2 2       1 3 , 1, 2 2         3 1 , 1, 2 2         3 1 ,1, 2 2       X  21,N   0 0.2P X    1 2P X   0.2 0.3 0.6 0.8 ˆˆ ˆy bx a  5 2 1 (1 )(1 )x x   2x -15 -5 20% 50% 30% P ABCD ABCD PA  , 6ABCD PA  G PB 2PG GB PC DG 3 77 77 3 15 15 3 21 7 3 14 14  0a     E P a a      P A  P A 第 2 页，共 4 页 A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列命题正确的是（ ） A．若随机变量 , 满足 3 2   ，则    3 2D D   B．以模型 kxy ce 去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设 lnz y ，求得线性 回归方程为 2 1z x  ，则 c，k 的值分别是 e和 2 C．已知  0 1P M  ，若     1P M N P M  ，则事件 M，N 相互独立 D．根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到 2 4.712 ，根据小概率值 0.05  的独立性检验（ 0.05 3.841x  ），可判断 X 与 Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05 10. 若 ， ， 则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件 与 相互独立 C. D. 11.已知正四棱锥 的所有棱长均相等， 为顶点 在底面内的射影，则下列说 法正确的有（ ） A. 平面 平面 B. 侧面 内存在无穷多个点 ，使得 平面 C. 在正方形 的边上存在点 ，使得直线 与底面所成角大小为 D. 动点 分别在棱 和 上（不含端点），则二面角 的范围是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 参加实践活动的 1 名教师和 A，B，C，D，E 5 名志愿者站成一排合影留念，其中教师 不站在两端，且 A，B 相邻的方法有_________种. 13. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个 圆台，圆台的上、下底面半径之比为 ，母线长为 ，其母线与底面所成的角为 ， 则这个圆台的体积为__________. 14.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为 ，乙箱中产品的合格率为 从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则 该件产品合格的概率为__________. 27 1000 243 1000 4 27 4 9   1 3 P A    1 2 P B    3 4 P B A    1 4 P AB  A B   7 12 P A B    3 8 P B A  S ABCD O S SAD  SBC SBC P / /OP SAD ABCD Q SQ π 3 ,M N AB BC S MN O  π π , 4 2       5 :3 8cm 60 第 3 页，共 4 页 四、解答题：本题共 5 题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文 字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 某学校号召学生参加“每天锻炼 1 小时”活动，为了解学生参加活动的情况， 统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了 60 名同学在某一周参加锻炼 的数据，整理如下 列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于 3 小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素 与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为 0 小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的 60 名同学中有 5 人“极度 缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取 20 名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为 X， 求 X 的数学期望 和方差 ； （3）将一周参加锻炼 6 小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的 60 名同学中有 10 名“运动爱好者”，其中有 7 名男生，3 名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在 10 名“运 动爱好者”中，随机抽取 3 人进行访谈，设抽取的 3 人中男生人数为 Y，求 Y的分布列和数 学期望． 16.（15分）如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD是菱形，平面 ABCD 平面 PAD ，点M 在 DP上，且 ． （1）求证：BD 平面 ACM ； （2）若 60ADC  ，求平面 ACM 与平面 ABP 夹角的余弦值． 2 2 2 2 0.1   E X  D X        2 2 n ad bc a b c d a c b d        n a b c d    0.1 0 05 0.01 2.706 3.841 6.635  .x 第 4 页，共 4 页 17. （15 分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送 0 和 1 中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信 号 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为 ， ；发送信号 1 时，接收为 1 和 0 的概率分别为 ．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为 0 时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 ，求 的最小值； （2）当连续四次发送信号均为 1 时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 ， 记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 （ 中任意相邻的数字 均不相同时，令 ），若 ，求 的分布列和数学期望． 18.（17 分） 已知 ． （1）当 时，若 的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，求展开式中 的 系数； （2）设 ．①求 的系数（用 表示）. ②求 （用 表示）． 19.（17 分）如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱与底面垂直，点 P 在线段 1 1A B 上， 且 1 1 1A P A B ， 1 2, 2 2, ,AA AB AC BC M N    分别是 1CC ，BC 的中点. （1）证明： AM PN ； （2）当取何值时，直线PN 与平面 AMN 所成角 最小？ （3）是否存在点 P ，使得平面PMN 与平面 ABC 所成的二面角的正弦值为 30 6 ，若存 在，试确定点 P 的位置，若不存在，请说明理由.  0 1   1  (0 1),1      f   f  1 2 3 4, , ,x x x x X 1 2 3 4, , ,x x x x 1X  2 3   X    *1 n nA x n  N 7n  nA 3x 1 0 n n j i j i j A a x     2x n 1 n j j ja   n 去量o二下o (户遍考号 2023-2024学年第二学期高二年级第三次联考数 题 学答题卡 。 16 考场/座位号。 魁名: 班梁: n ] (。) 三可宫 [] : 1 1 1 0) 二高 1: 阳口5 。 7 。 三三 & ) ) 三三 高 。 1 , , , 1位 正确 ■考记 1 , , 7 , 11 10 。 客题0-8为法题:0-311为这题 1An]C]] BA][可[c]n] 3n e1] iB in π ][][][p aA]n]c]] 1e1] 5A加CD lnnC]n] s(B0p) 填息 □□ □□■ 17 18 #。 ## □■□ □■□ 2023-2024学年第二学期高二年级第三次联考 数学参考答案及评分标准 一、单选题 A B D A C B D B 二、多选题 9.BCD 10. ACD 11. BD 三、填空题 12. 144 13. 14.   四、解答题 15.（1） 根据题意可得列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 ………2分 假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．………4分 (2) 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得， 故，． ………8分 (3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3， 且Y服从超几何分布： ， ， ， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 ………13分 16.（1）， ， 由余弦定理得， 在中， ………2分 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， ………5分 四边形是菱形，，又， 且平面平面平面． ………7分 （2）在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面，又四边形是菱形，， 均为等边三角形， ………9分 以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面， 为平面的一个法向量， ………11分 设平面的法向量为， 则即 令，可得， ………13分 ， 平面与平面的夹角的余弦值为． ………15分 17. （1）由题可知， 因为，所以当时，的最小值为． ………5分 （2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， ………7分 ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此， ………9分 ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， ………11分 ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． ………13分 所以的分布列为 1 2 3 4 ………14分 因此，的数学期望 ………15分 18. （1）由题，所以，所以，所以， 由，即展开式中的系数为； ………5分 (2) 由题意得，， ① ； ………10分 ②，对等式两边同时求导， 得， 即， 令，得， 即， ………13分 则， 则， 所以． ………17分 19.（1）证明：如图，，即以为原点建立空间直角坐标系，则， ， 即，又， 所以无论取何值， ………5分 （2），设平面的一个法向量为 则，取，则………7分 ， ………9分 令 当.即时，取得最小值，此时. ………11分 （3）假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，设是平面的一个法向量. 则，，取， ………13分 ，化简得， 解得或 存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. ………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2023-2024 学年第二学期高二年级第三次联考 数学参考答案及评分标准 一、单选题 A B D A C B D B 二、多选题 9.BCD 10. ACD 11. BD 三、填空题 12. 144 13. 14. 四、解答题 15.（1） 根据题意可得 2 2 列联表如下； ………2 分 假设为 0H ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得     2 2 2 0.1 60 7 16 23 14 60 7 30 140 3.590 2.706 21 39 30 30 21 39 30 30 39 x                  ， 根据小概率值 0.1  的独立性检验，推断 0H 不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过 0.1．………4 分 (2) 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 X 近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 5 1 60 12 P   ，即可得 1 ~ 20, 12 X B       ， 故   1 5 20 12 3 E X    ，   1 11 55 20 12 12 36 D X     ． ………8 分 3784 3 πcm 3 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 2 (3)易知 10 名“运动爱好者”有 7 名男生，3 名女生，所以 Y 的所有可能取值为 0，1，2，3， 且 Y 服从超几何分布：   0 3 7 3 3 10 C C 1 0 C 120 P Y    ，   1 2 7 3 3 10 C C 21 7 1 C 120 40 P Y     ，   2 1 7 3 3 10 C C 21 3 21 2 C 120 40 P Y      ，   3 0 7 1 3 10 C C 35 7 3 C 120 24 P Y     故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 1 120 7 40 21 40 7 24 可得   1 7 21 7 3 7 0 1 2 3 2.1 120 40 40 24 10 E Y            ………13 分 16.（1） 3, 120 , 2AD AP PAD DM MP      ， 3 3, 2 3, 3DP DM PM    ， 由余弦定理得 2 2 2 cos30 3AM AP MP AP MP      ， 在 ADM△ 中， 2 2 2,AD AM DM MA AD    ………2 分 平面 ABCD 平面PAD ，平面 ABCD平面 ,PAD AD MA 平面PAD ， MA 平面 ABCD． BDQ 平面 ,ABCD MA BD  ， ………5 分 四边形 ABCD是菱形， AC BD  ，又 AC MA A ， 且 AC 平面 ,ACM MA平面 ,ACM BD 平面 ACM ． ………7 分 （2）在平面 ABCD内，过点 B作 AD 的垂线，垂足为 N ， 平面 ABCD 平面PAD ，平面 ABCD平面 PAD AD ， BN 平面 ADP，又 四边形 ABCD是菱形， 60 , 30ADC BDA    ， 3 ,ACD ABC△ △ 均为等边三角形， ………9 分 以点 A 为坐标原点， ,AD AM 及过点 A 平行于 NB的直线分别为 , ,x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则     3 3 3 3 3 3 0,0,0 , ,0, , 3,0,0 , , ,0 2 2 2 2 A B D P                 ， 由（1）BD 平面 ACM ， 9 3 3 ,0, 2 2 BD          为平面 ACM 的一个法向量， ………11 分 设平面 ABP 的法向量为  , ,m x y z ， 则 0, 0, AB m AP m       即 3 3 3 0 2 2 3 3 3 0 2 2 x z x y            令 3x  ，可得  3,1,1m  ， ………13 分 3 3 5 cos , 55 3 3 BD m    ， 平面 ACM 与平面 ABP 的夹角的余弦值为 5 5 ． ………15 分 17. （1）由题可知   2 3 3 2 1 1(1 ) 3 3 1 3 2 4 f                     ， 因为0 1  ，所以当 1 2   时，  f  的最小值为 1 4 ． ………5 分 （2）由题设知， X 的可能取值为 1，2，3，4． ①当 1X  时，相应四次接收到的信号数字依次为 0101 或 1010． 4 因此，   2 1 2 1 1 2 1 2 8 1 3 3 3 3 3 3 3 3 81 P X           ， ………7 分 ②当 2X  时，相应四次接收到的信号数字依次为 0010，或 0100，或 1101，或 1011，或 1001，或 0110，或 1100，或 0011． 因此   2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 36 4 2 2 2 4 3 3 3 3 3 3 3 3 81 9 P X                                      ， ………9 分 ③当 3X  时，相应四次接收到的信号数字依次为 1110，或 0111，或 0001，或 1000． 因此，   3 3 1 2 1 2 20 3 2 2 3 3 3 3 81 P X                    ， ………11 分 ④当 4X  时，相应四次接收到的信号数字依次为 0000，或 1111． 因此，   4 4 1 2 17 4 3 3 81 P X                ． ………13 分 所以 X 的分布列为 ………14 分 因此， X 的数学期望   8 3 20 17 208 1 2 3 4 81 8 81 81 81 E X          ………15 分 18. （1）由题 2 7C Cn n ，所以 9n  ，所以   9 9 1A x  ，所以 1 9C r r rT x  ， 由 3 9C 84 ，即展开式中 3x 的系数为84； ………5 分 (2) 由题意得，       1 2 2 0 1 21 1 1 n n nx x x a a x a x a x           ， X 1 2 3 4 P 8 81 4 9 20 81 17 81 5 ① 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 4 3 3 4C C C C C C C Cn na           3 2 2 33 2 4 4 1C C C C C Cn n n n       ； ………10 分 ② 1 2 3 1 2 3 n j n j ja a a a na       ，对等式两边同时求导， 得         1 2 2 0 1 21 1 1 n n nx x x a a x a x a x                 ， 即       2 1 2 1 1 2 31 2 1 3 1 1 2 3 n n nx x n x a a x a x na x              ， 令 1x  ，得 2 3 1 1 2 31 2 2 3 2 4 2 2 2 3 n nn a a a na              ， 即 2 3 1 1 1 2 2 3 2 4 2 2 n n j j ja n             ， ………13 分 则 2 3 4 1 2 2 2 2 3 2 4 2 2 n n j j ja n            ， 则  2 3 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 nn n n n n j j ja n n n                     ， 所以   1 1 2 1 n n j j ja n      ． ………17 分 19.（1）证明：如图， 2 2 22, 2 2AB AC BC AB AC BC      ，即 AB AC 以 A 为原点建立空间直角坐标系，则        1 10,0,2 , 2,0,2 , 0,2,1 , 1,1,0A B M N ，        1 1 1 1 12 ,0,0 , 0,0,2 2 ,0,0 2 ,0,2A P A B AP AA A P          ， 6 即    2 ,0,2 , 1 2 ,1, 2P PN    ，又  0,2,1 , 0AM AM PN    ， 所以无论取何值， AM PN ………5 分 （2）    0,2,1 , 1,1,0AM AN  ，设平面 AMN 的一个法向量为  , ,m x y z 则 2 0 2 , 0 y z z y x y x y            ，取 1y  ，则  1, 2, 1,1, 2x z m        ………7 分   2 2 2 sin cos , 6 (1 2 ) 5 PN m PN m PN m            ， ………9 分 令  2, 2,3t t   2 2 2 1 1 1 sin 15 102 10 153 3 2 t t t t t        当 2t  .即 0  时， 取得最小值，此时 2 sin 3   . ………11 分 （3）假设存在，易知平面 ABC 的一个法向量为  0,0,1u  因为    1, 1, 1 , 1 2 ,1, 2MN PN       ，设  , ,n x y z 是平面PMN 的一个法向量. 则，   0 1 2 2 0 x y z x y z         ，取  3, 2 2 , 1 2 , 3,1 2 ,2 2x z y n            ， ………13 分 2 2 2 2 6 cos , 69 (1 2 ) (2 2 ) u n            ，化简得 28 22 5 0    ， 解得 1 4   或   5 1 , 0,1 2 4       存在点 P 使平面PMN 与平面 ABC 所成二面角正弦值为 30 6 ，点 P 为 1 1A B 上靠近 1A 的四等分点. ………17 分