2024届山东省德州市第一中学高三三模数学试题

2024届高三最后一卷 数学试题 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x|x²-4≤0}, B={x|2x+a≤0}, 且A∩B={x|-2≤x≤1}, 则a=( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 2.已知复数z满足：z-i(2+z)=0, 则z= ( ) A. -1-i B. -1+i C. 1+i D. 1-i 3.已知向量ā=(3,4),b=(1,0),c=ā+tb,若((a,c)=(b,c),则实数t=( ) A. -6 B. -5 C. 5 D. 6 4. 设 则a,b,c的大小关系为( ) A. b>a>c B. b>c>a C. a>b>c D. c>b>a 5.已知双曲线 直线y=-2x是双曲线C的一条渐近线，则该双曲线的离心率为( ) c. D. 6.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( ) A. [-1,1]U[3,+∞). B. [-3,-1]U[0,1] D. [-1,0]∪[1,3] 7. 已知 则 的值为( ) B. 8.过抛物线 上的一点P作圆(C: 的切线, 切点为A, B, 则|AB|·|PC|可能的取值是 ( ) A. 1 B. 4 c. D. 5 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 的部分图象如图所示，则( ) A. f(0)=1 B. f(x)在区间 单调递减 c. f(x)在区间 的值域为 D. f(x)在区间 有3个极值点 10. 已知甲组数据为: 1, 1, 3,3, 5, 7, 9, 乙组数据为: 1, 3, 5, 7, 9,则下列说法正确的是( ) A.这两组数据的第80百分位数相等 B.这两组数据的极差相等 C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变 D.甲组数据比乙组数据分散 11.已知正方体 的棱长为1，空间中一动点P满足 , M,N,Q分别为AA₁，AB，AD的中点，则下列选项正确的是( ) A. 存在点P, 使得A₁P∥平面MNQ B. 设AC₁与平面MNQ交于点K,则 C. 若∠PAC=30°, 则点P的轨迹为抛物线 D.三棱锥P-QMN的外接球半径最小值为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在 的展开式中，x°的系数是 . 13. 在△ABC中, 则△ABC的面积为 . 14. 已知函数 恰有两个零点x₁，x₂和一个极大值点 且x₁, x₀, x₂成等比数列，则 若f(x)>f(x₀)的解集为(5,+∞), 则f(x)的极大值为 . 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本题13分) 设Sₙ为数列{an}的前n项和, 已知 且 为等差数列. (1) 求{an}的通项公式: (2)若 求{bₙ}的前2n项和T₂ₙ. 16.(本题15分)已知椭圆的焦点分别是 点M在椭圆上，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 与椭圆交于A,B两点, 且OA⊥OB, 求实数k的值和△OAB的面积. 17(本题15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, 点M为PC中点, 平面PAB⊥平面PBC. (1) 证明: DM//平面PAB (2) 求证:平面PAD⊥平面PAB; (3)若 PD与平面PBC所成的角为30°，求平面PDC与平面ABD所成角的正弦值. 2 18.(本题17分)向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型 Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查 Sora 的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. (1)根据所给数据完成右表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为Sora 的应用与视频从业人员的减少有关?Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 70 75 没有应用 15 合计 100 120 (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展 Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. (i)求员工经过培训能应用Sora的概率. (ii)已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元； 开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora 培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门?附: 其中n=a+b+c+d. α 0.010 0.005 0.001 x。 6.635 7.879 10.828 19.(本题17分)设函数 .曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+2. (1)求a, b的值; (2)求证:方程f(x)=2仅有一个实根; (3) 对任意x∈(0,+∞), 有f(x)>ksinx+2, 求正数k的取值范围. 数学答案 一、选择题: BACAD DAD 二.多选题: 9 AD 10 BC 11. ABD 三. 填空题: 12. 160 13. 2 14. 4, 4. 四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1) 设等差数列 的公差为d，因为( 所以 即 所以 即 .3 当n≥2时, .5 当n=1时, 满足上式，所以 .6 (2) 由(1) 知 为偶数，奇数， 则 奇数项和： .8 偶数项 所以数列{bn}的前2n项和为 16.(1)设椭圆的标准方程为 由题意可知 解得 所以椭圆的标准方程为 45 3 6 3 (2) 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 联立方程 消去y，得 .6 则 9 7 则 从而 .9 因为 即 .10 所以 解得 或 经验证知△>0，所以k的值为 或 .12 若 则AB方程 原点O到直线AB 的距离 所以 14 若 由对称性可知 所以三角形OAB的面积为 15 17. (1) 取 PB中点N, 连结MN, AN 因为点M、N 分别为PC和PB 的中点,所以MN∥AD且 1 又底面ABCD是直角梯形，且 且AD=2,BC=4,则 所以MN∥AD,MN=AD, 即四边形ADMN 是平行四边形.. .3 所以DM ∥AN 因为DM⊄平面PAB,AN⊂平面PAB ,所以DM∥平面PAB.. 4 (2) 证明: 取PB的中点N, 连接AM, ∵AB=AP,∴AN⊥PB, 又平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, AN⊂PAB平面, 故AN⊥平面PBC, 而BC⊂平面PBC, 故AN⊥BC, .6 又底面ABCD是直角梯形，且 则AN⊥AD, 而AD⊥AB,AN∩AB=A,AN,AB⊂平面PAB, 故AD⊥平面PAB, AD⊂平面PAD, 故平面PAD⊥平面PAB; 8 (3)由(1)(2) 可知DM∥AN, AN⊥平面PBC, 所以DM⊥平面PBC则∠DPC为PD与平面PBC所成的角, 即∠DPC=30°,由于AD⊥平面PAB, AP⊂平面PAB, 故AD⊥AP, 故 在Rt△PDM 中, 则 在Rt△PBC中, 为等边三角形， .10 取AB中点O, CD的中点为Q, 连接OP,OQ, 则OP⊥AB,OQ⊥AB, 以点O为坐标原点，OA，OQ，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则 设平面PDC的一个法向量为 则 L 取y₁=1,则 13 平面ABD的一个法向量为 14 则 故平面PDC与平面ABD所成角的正弦值为 18.【详解】(1) 依题意, 2×2列联表如下: Sora 的应用的情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 70 5 75 没有应用 30 15 45 合计 100 20 120 2 零假设H₀：Sora 的应用与视频从业人员的减少无关， 由列联表中数据得， 5 根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H₀不成立，即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001. 6 2 (2)(i) 设4₁="员工第i轮获得优秀"(i=1,2,3), 且A₁相互独立. 设B=“员工经过培训能应用Sora”， 则 故员工经过培训能应用Sora的概率是¹/₂. 10 (ii) 设视频部调x人至其他部门，x∈N，X为培训后视频部能应用Sora的人数， 则 因此 13 调整后视频部的年利润为 (万元), .15 令700-7x≥100×6, 解得 又x∈N,所以. 因此，视频部最多可以调14人到其他部门. 17 19.(1) 解: 因为 所以. 又点(0,f(0))在切线y=x+2上, 所以f(0)=2, 所以a+b=2,又 即f'(0)=b=1, 所以a=b=1.. 4 (3) 证明: 欲证方程f(x)=2仅有一个实根, 只需证明e'+cosx-2=( 仅有一个零点，令 且 .5则 讨论: 当x>0时, e²>1且sin<1, 即: 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=0,即此时无零点;………………………7当x=0时, g(0)=0, 即此时有一个零点: 当x<0时, 所以, 当x<0时, g(x)<0, 即此时无零点.. ..9 综上可得， 仅有一个零点，得证. (3)当x∈(0,+∞)时, 即 恒成立， 令 则 由(Ⅱ) 可知, x∈(0,+∞)时( 所以 ,…11 讨论: 当0<k≤1时, 因为-1≤cosx≤1, 所以-k≤kcosx≤k, 即1-k≤1-kcosx≤1+k, 所以 即当0<k≤1时, F'(x)>0, 所以 在x∈(0,+∞)时单调递增, 所以F(x)>F(0)=0恒成立, 即满足条件( ………14 当k>1时, 由 可知 又 所以存在 使得 所以, 当x∈(0,x₀)时, F'(x)<0, F(x)单调递减, 当 时, F'(x)>0, F(x)单调递增, 所以 即不能保证 恒成立,………………………………………16………………………………… 17综上可知，正数k的取值范围是0<k≤1… 学科网（北京）股份有限公司 $$