第二章 一元二次方程 期末复习课（二）（课件）2023-2024学年北师大版数学九年级上册

总复习 期末复习课 期末复习课(二) (第二章 一元二次方程) 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 知识梳理 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 知识梳理 1. 一元二次方程的相关定义. (1)一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的最 高次数为 的整式方程叫做一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式: . (3)一元二次方程 ax2+ bx + c =0( a ≠0)的求根公式是 . 2 ax2+ bx + c =0( a ≠0) x = 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 一元二次方程的四种常见解法. (1)直接开平方法;(2)配方法;(3)公式法;(4)因式 分解法. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 3. 一元二次方程的根的判别式. 一元二次方程 ax2+ bx + c =0( a ≠0)的根的判别式是 = . (1)当 0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当 0时,方程有两个相等的实数根; (3)当 0时,方程有(两个)实数根; (4)当 0时,方程没有实数根. b2 -4 ac > = ≥ < 数学 九年级上册 BS版 返回目录 4. 一元二次方程的根与系数的关系. 如果一元二次方程 ax2+ bx + c =0( a ≠0)有两个实数根 x1, x2,那么 x1+ x2= - , x1 x2= . - 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一 解一元二次方程 解下列方程: (1)2( x +1)2- =0; (2)( x +1)( x -3)=-2; (3) x ( x +3)=5( x +3); (4)( x +1)(4 x -1)=2 x . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】观察方程的形式,用恰当的方法解方程即可. 解:(1)移项,得2( x +1)2= . 两边同除以2,得( x +1)2= . 两边开平方,得 x +1= , 即 x +1= 或 x +1=- . ∴ x1= , x2=- . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2) 原方程整理,得 x2-2 x =1. 配方,得 x2-2 x +1=1+1, 即( x -1)2=2. 两边开平方,得 x -1= , 即 x -1= 或 x -1=- . ∴ x1=1+ , x2=1- . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (3) 移项,得 x ( x +3)-5( x +3)=0, 即( x +3)( x -5)=0. ∴ x +3=0或 x -5=0. ∴ x1=-3, x2=5. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (4)原方程整理,得4 x2+ x -1=0. 这里 a =4, b =1, c =-1. ∵ b2-4 ac =12-4 4 (-1)=17, ∴ x = , 即 x1= , x2= . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】对于解一元二次方程的计算类问题,通过观察方程的 结构从所学的直接开平方法、配方法、因式分解法(十字相乘 法)、公式法(平方差公式、完全平方公式)中选择合适的方 法进行求解,确保用最简捷合理的方法进行求解,从而达到减 小运算量,准确又高效的目的. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 根据要求解下列方程: (1) x2+( + ) x + =0(因式分解法); 解:(1) x1=- , x2=- . (2)5 x2+2 x -1=0(公式法); 解:(2) x1= , x2= . (3)9( x -2)2=121( x +1)2(直接开平方法); 解:(3) x1=- , x2=- . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (4) - =1(换元法). 解:(4) x1=1, x2=- (注意检验). 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二 根的判别式的综合运用 已知关于 x 的一元二次方程 mx2-4 x -5=0( m ≠0). (1)求证:当 m >0时,方程一定有两个不相等的实数根; (2)已知 x = n 是原一元二次方程的一个实数根,且 mn2-4 n + m =3+ m2,求 m 的值. 【思路导航】(1)根据关于 x 的一元二次方程 mx2-4 x -5=0 的根的判别式与0的关系来判断该方程的根的情况;(2)由已 知条件列出关于 m 的方程,通过解方程即可求得 m 的值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)解:∵ x = n 是原一元二次方程的一个实数根, ∴ mn2-4 n -5=0, ∴ mn2-4 n =5. 又∵ mn2-4 n + m =3+ m2, ∴5+ m =3+ m2. 整理,得 m2- m -2=0. (1)证明: = b2-4 ac =(-4)2-4 m (-5)=16+20 m . 当 m >0时,16+20 m >0. ∴当 m >0时,方程一定有两个不相等的实数根. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解得 m =2或 m =-1. ∵ =(-4)2-4 m (-5)=16+20 m ≥0, ∴ m ≥- . ∴ m =2. 【点拨】 >0 方程有两个不相等的实数根; =0 方程有两 个相等的实数根; <0 方程没有实数根.若题目已知一个根, 解决代数式问题时,可直接将根代入方程中进行变形,然后寻 找变形后的方程与题中所给的方程之间的关系,从而解决问题. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 已知关于 x 的方程2 kx2+(8 k +1) x =-8 k 有两个不相等的 实数根,则 k 的取值范围是 . 【解析】方程可化简为2 kx2+(8 k +1) x +8 k =0.由题意,得 解得∴ k >- 且 k ≠0.故答案为 k >- 且 k ≠0. k >- 且 k ≠0 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 已知关于 x 的一元二次方程( a + c ) x2+2 bx +( a - c )= 0,其中 a , b , c 分别为 ABC 三边的长. (1)若 x =-1是方程的根,试判断 ABC 的形状,并说明 理由; 解:(1) ABC 为等腰三角形.理由如下: 把 x =-1代入方程,得 a + c -2 b + a - c =0, ∴ a = b . ∴ ABC 为等腰三角形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)若方程有两个相等的实数根,试判断 ABC 的形状,并说 明理由; 解:(2) ABC 为直角三角形.理由如下: 根据题意,得 =(2 b )2-4( a + c )( a - c )=0, 即 b2+ c2= a2. ∴ ABC 为直角三角形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (3)若 ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根. 解:(3)∵ ABC 为等边三角形, ∴ a = b = c . ∴原方程化为 x2+ x =0. 解得 x1=0, x2=-1. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型三 根与系数的关系的综合运用 (1)已知 x =1是方程 x2- kx -2=0的一个根,则该方程的 另一个根为 , k 的值为 . 【思路导航】此题可用两种方法求解,方法一:由根与系数的 关系求出另一个根;方法二:由根的定义,先求出 k 的值,再解 方程. x =-2 -1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】(方法一)设方程的另一个根为 x2.由根与系数的关 系,得1+ x2= k , x2=-2,则 k =-1.∴方程的另一个根为 x = -2, k 的值为-1.故答案为 x =-2, -1. (方法二)∵方程 x2- kx -2=0的一个根是 x =1,∴1- k -2 =0.解得 k =-1.∴方程为 x2+ x -2=0.解得 x1=1, x2=-2. ∴方程的另一个根为 x =-2, k 的值为-1.故答案为 x =-2, -1. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】已知一元二次方程的一个根求另一个根及字母系数的 方法有两种,方法一(利用根与系数的关系):(1)若字母系 数在一次项中,先用两根积的关系求出另一个根,再用两根和 的关系求字母系数的值;(2)若字母系数在常数项中,先用两 根和的关系求出另一个根,再用两根积的关系求字母系数的值. 方法二(利用根的定义):先把已知根代入一元二次方程中, 求出字母系数的值,再解一元二次方程,求出另一个根. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)已知 , 是方程 x2+4 x +2=0的两个实数根,则 3+14 +2 072= . 【思路导航】根据根与系数的关系和方程的根的定义列式并代 入求解即可. 2 024 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】 ∵ , 是 x2+4 x +2=0的两个实数根, ∴ + =-4, 2+4 +2=0.∴ 2=-4 -2. ∴ 3=-4 2-2 =-4(-4 -2)-2 =14 +8. ∴ 3+14 +2 072=14 +8+14 +2 072=14( + )+2 080= 14 (-4)+2 080=-56+2 080=2 024. 故答案为2 024. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解决此类问题首先根据题干告知的根的情况找出相应 的根与系数的关系,然后对所求的代数式进行合理降次或拆分 处理,再结合方程根的定义和根与系数的关系,运用整体思想 进行求解.注意求代数式的值时,不仅要考虑根与系数之间的关 系,还要考虑方程根的意义. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 已知实数 a , b 满足 a2-8 a +5=0, b2-8 b +5=0,则 + 的值为 . 2. 已知关于 x 的方程 x2+(2 k -1) x + k2-1=0有两个实数根 x1, x2,且 x1, x2满足 x1 x2+ x1+ x2=3,求 k 的值. -20或2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解:∵关于 x 的方程 x2+(2 k -1) x + k2-1=0有两个实数根 x1, x2,∴ =(2 k -1)2-4( k2-1)=-4 k +5≥0.解得 k ≤ .∵ x1+ x2=1-2 k , x1 x2= k2-1,∴ k2-1+1-2 k =3,即 k2 -2 k -3=0,解得 k1=-1, k2=3.∵ k ≤ ,∴ k =-1. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型四 一元二次方程的实际应用 某工厂引进了一条口罩生产线生产口罩,开工第一天生产3 万个,第三天生产4.32万个.已知每天生产口罩个数增长的百分 率相同,请解答下列问题: (1)每天增长的百分率是多少? (2)经调查发现,一条生产线最大产能是9万个/天,若每增加 一条生产线,每条生产线的最大产能将减少0.3万个/天. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ①现该厂要保证每天生产口罩39万个,在增加产能的同时又要 节省投入的条件下(生产线越多,投入越大),应该增加几条 生产线? ②是否能通过增加生产线,使得该厂每天生产口罩90万个?若 能,应该增加几条生产线?若不能,请说明理由. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】(1)设每天增长的百分率为 x ,根据开工第一天 及第三天的产量,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其正 值即可得出结果;(2)①设应该增加 m 条生产线,根据每天生 产口罩39万个,即可得出关于 m 的一元二次方程,解之取其较 小值即可得出结果;②先假设能,再列方程,由方程是否有解 进行判断. 解:(1)设每天增长的百分率为 x .由题意,得3(1+ x )2 =4.32.解得 x1=0.2=20%, x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴每天增长的百分率为20%. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)①设应该增加 m 条生产线,则每条生产线的最大产能为 (9-0.3 m )万个/天. 由题意,得(1+ m )(9-0.3 m )=39. 整理,得 m2-29 m +100=0. 解得 m1=4, m2=25. 又∵在增加产能的同时又要节省投入,∴ m =4. 即应该增加4条生产线. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②不能.理由如下: 假设增加 a 条生产线,则每条生产线的最大产能为(9-0.3 a ) 万个/天. 由题意,得(1+ a )(9-0.3 a )=90. 化简,得 a2-29 a +270=0. ∵ =(-29)2-4 1 270=-239<0,∴方程无解. ∴不能通过增加生产线,使得每天生产口罩90万个. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】解决一元二次方程类应用题通常都会运用到 a (1 x )2= b 这类公式,所以一定要根据题意弄清楚“增长”还是 “减少”,经过几次“增长(减少)”.注意在一元二次方程的 应用题中解方程之后一定要进行检验:(1)检验计算结果是否 正确;(2)检验计算结果是否符合题意. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”.已知小伟的家 乡每年大约产“留香瓜”600 t,利用网络平台进行销售前,人 们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购,本地自产自 销的价格为每千克10元,水果商贩上门收购的价格为每千克8 元.利用网络平台进行销售后,因受网上销售火爆的影响,网上 每销售100 t “留香瓜”,水果商贩每千克的收购价将提高1元. 假设网上销售价格为每千克20元,本地自产自销的价格仍然为 每千克10元. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (1)若利用网络平台进行销售前,小伟的家乡每年本地自产自 销的总收入不超过卖给水果商贩收入的 ,则每年至少有多少吨 “留香瓜”卖给了水果商贩? 解:(1)设每年有 x t“留香瓜”卖给了水果商贩,则每年有 (600- x )t“留香瓜”在本地自产自销. 由题意,得10(600- x )≤ 8 x . 解得 x ≥500. ∴每年至少有500 t“留香瓜”卖给了水果商贩. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)利用网络平台进行销售后,小伟家乡每年销售“留香瓜” 的总收入大约为920万元,其中本地自产自销“留香瓜”的销量 按(1)问中的最大值计算,则每年在网络平台上销售了多少吨 “留香瓜”? 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解:(2)设每年在网络平台上销售了 y t“留香瓜”,则水 果商贩的收购价为每千克 元,卖给了水果商贩 (500- y )t. 由题意,得10 1 000 100+20 1 000 y +(8+ ) 1 000(500- y )=9 200 000. 整理,得 y2-1 700 y +420 000=0. 解得 y1=300, y2=1 400.又∵ y <500,∴ y =300. 即每年在网络平台上销售了300 t“留香瓜”. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型五 一元二次方程与几何图形的综合 如图,在矩形 ABCD 中, BC =20 cm,点 P , Q , M , N 分 别从点 A , B , C , D 出发,沿 AD , BC , CB , DA 方向在矩 形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端 点时即停止.已知在相同时间内,若 BQ = x cm( x ≠0),则 AP =2 x cm, CM =3 x cm, DN = x2 cm. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (1)当 x 为何值时,点 P 与点 N 重合? (2)当 x 为何值时,以点 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平 行四边形? 【思路导航】(1)由题意表示出 AP , DN 的长,利用 AP , DN 的长度和为20 cm列出方程,解方程即可;(2)易知 PN ∥ QM ,要使以点 P , Q , M , N 为顶点的四边形为平行四边形, 则 PN = QM ,由题意列出方程,解方程即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解:(1)∵ AP =2 x cm, DN = x2 cm,点 P , N 重合. ∴ AP + DN = AD ,即2 x + x2=20. 解得 x1= -1, x2=- -1(舍去). ∴当 x = -1时,点 P , N 重合. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)∵当点 N 到达点 A 时, x =2 , 此时 BQ + CM =8 <20,即点 M 和点 Q 还未相遇, ∴点 Q 只能在点 M 的左侧. ∵ PN ∥ QM ,∴当 PN = QM 时, 以点 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平行四边形. ①当点 P 在点 N 的左侧时,如图1所示. 由题意,得20-( x +3 x )=20-(2 x + x2). 解得 x1=0(舍去), x2=2. ∴当 x =2时,四边形 PQMN 是平行四边形. 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②当点 P 在点 N 的右侧时,如图2所示. 由题意,得20-( x +3 x )=(2 x + x2)-20. 解得 x1=-10(舍去), x2=4. ∴当 x =4时,四边形 NQMP 是平行四边形. 综上所述,当 x =2或 x =4时,以点 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平行四边形. 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 图2 【点拨】此类问题是涉及一元二次方程与几何的综合问题.对于 动点的分析,一般情况下是找到点运动的关键拐点,再根据具 体几何图形构造方程进行求解.注意:在解题过程中,不要遗漏 动点运动的任何一种情况,确保分析问题的完整性. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图,已知在数轴上有 A , B 两点,点 A 表示的数为4,点 B 在 点 A 的左边,且 AB =12.若有一动点 P 从数轴上的点 A 出发,以 每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点 Q 从点 B 出 发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时 间为 t S . 图1 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (1)解:由题意,得点 B 表示的数为-8,点 P 表示的数为4 - t ,点 Q 表示的数为-8+2 t . ①当点 P 在点 Q 右侧时,(4- t )-(-8+2 t )=3, 解得 t =3; ②当点 P 在点 Q 左侧时,(-8+2 t )-(4- t )=3, 解得 t =5. 综上所述,点 P 运动3 s或5 s时与点 Q 相距3个单位长度. (1)若点 P , Q 分别从 A , B 两点同时出发,问:点 P 运动多 少秒与点 Q 相距3个单位长度? 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)若点 P , Q 分别从 A , B 两点同时出发,分别以 BQ 和 AP 为边,在数轴上方作正方形 BQCD 和正方形 PAFE ,如图2所示. 当 t = 时,两个正方形重叠部分的面积是正方形 PAFE 面积的一半. 图2 4.8或24 数学 九年级上册 BS版 返回目录 (2)【解析】①如图1,点 P , Q 均在线段 AB 上. ∵两个正方形有重叠部分,∴点 P 在点 Q 的左侧, PQ =(-8+2 t )-(4- t )=3 t -12. ∵ PE = PA = t ,∴重叠部分的面积 S = PQ PE =(3 t -12) t . ∵重叠部分的面积为正方形PA FE 面积 的一半,∴(3 t -12) t = t2. 解得 t1=0(舍去), t2=4.8. 图1 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②如图2,点 P , Q 均在线段 AB 外. 图2 图2 由题意知, AB =12, AF = AP = t . ∴重叠部分的面积 S = AB AF =12 t . ∴12 t = t2.解得 t1=0(舍去), t2=24. 综上所述,当 t =4.8或24时, 两个正方形重叠部分的面积是正方形 PAFE 面积的一半. 故答案为4.8或24. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$