第五章 生活中的轴对称（单元测试）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

第五章单元测试 生活中的轴对称 七年级数学（北师大版） 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（　　） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正六边形 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形不一定是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（　　） A．32° B．58° C．74° D．106° 【解答】解：∵CA＝CB， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠CBA＝74°． 故选：C． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB，交AC于点D，交AB于点E，若∠A＝50°，则∠DBC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣50°）＝65°， ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝50°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝65°﹣50°＝15°， 故选：A． 5．在下列说法中，正确的是（　　） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形 D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 【解答】解：A、全等的三角形不一定对称，故错误； B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故正确； C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故错误； D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故错误， 故选：B． 6．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 7．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AC＝4，则AB的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF， ∵DE＝2， ∴DF＝DE＝2， 由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∵AC＝4， ∴4×2+×AB×2＝9， 解得AB＝5． 故选：D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝40°， ∴∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∵MN是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A＝40°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝10°， 故选：A． 9．如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，使点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM，将∠AEF对折，使点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若∠BEM＝64°30'，则∠AEN的度数是（　　） A．25°30' B．32°15' C．51° D．60° 【解答】解：由折叠的性质可得，∠BEM＝∠B'EM，∠AEN＝∠A'EN， ∵∠BEM+∠B'EM+∠AEN+∠A'EN＝180°， ∴2（∠BEM+∠AEN）＝180°， ∴∠BEM+∠AEN＝90°， ∵∠BEM＝64°30'， ∴∠AEN＝90°﹣64°30'＝25°30'， 故选：A． 10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（　　） A．1：8 B．1：4 C．1：2 D．2：5 【解答】解：连接AD， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC， 设等边三角形的边长为a， 则AB＝a，BD＝a， 根据勾股定理，得AD＝＝a， ∴△ABC的面积＝＝＝， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴∠BDE＝30°， ∴BE＝BD＝×a＝a， 根据勾股定理，DE＝＝， ∴△BED的面积＝＝＝， ∴△BDE的面积与△ABC的面积之比为＝1：8， 故选：A． 11．如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择？（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【解答】解：如图所示：M、N、G是三角形的三个外角平分线的三个交点，H为内角平分线的交点， 符合条件的地点有4个， 故选：D． 12．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：连接AD，AM， ∵AB＝AC，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18， 解得AD＝6， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴CM＝AM， ∴CM+DM＝AM+DM≥AD， ∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小， ∴CM+DM的最小值为6． 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共计16分） 13．如图，三角形纸片ABC，AB＝11cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为　10　cm． 【解答】解：根据折叠可知：CD＝DE、BE＝BC， ∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝6cm，AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝4cm， ∴C△AED＝AD+DE+AE＝6+4＝10cm． 故答案为：10． 14．已知等腰三角形的两边长为a、b，且满足|a﹣3|+（b﹣6）2＝0，则这个等腰三角形的周长是 　15　． 【解答】解：∵|a﹣3|+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣6＝0， ∴a＝3，b＝6， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时， ∴这个等腰三角形的周长＝6+6+3＝15； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长是15， 故答案为：15． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边BC上的A′处，折痕为CD，则∠BDC＝　103　°． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， 由折叠可知， ∠ACD＝． 又∵∠A＝58°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝103°． 故答案为：103． 16．如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN＝5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF⋯⋯若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接 　17　根． 【解答】解：∵添加的钢管长度都与CD相等，∠MAN＝5°， ∴∠DCE＝∠DEC＝10°， …， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是5°，第二个是10°，第三个是15°，第四个是20°，第五个是25°，第六个是30°，第七个是35°，第八个是40°，…，第十八个是90°就不存在了． 所以一共有17个． 故答案为：17． 三、解答题：（共计98分） 17．如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x，y． 【解答】解：∵两个四边形关于某直线对称， ∴∠F＝∠B＝70°，EF＝BC＝4， 即x＝70°，y＝4． 18．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．求BC的长． 【解答】解：∵DE是AB的垂直分线，AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm， ∴EA＝EB， ∵△BCE的周长＝BC+BE+EC ＝BC+AE+EC ＝BC+AC ＝24， ∴BC+AC＝24（cm）， ∴BC＝24﹣AC＝24﹣15＝9（cm）． 答：BC的长为9cm． 19．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE＝DF． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD是高， ∴∠BAD＝∠CAD，又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． 20．如图，直线m是线段AB的垂直平分线，与AB交于点C，以AC为边作等边三角形ACD，连接DB与直线m交于点E，连接AE．求证：∠EAC＝∠EDC． 【解答】证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝EB，AC＝BC， ∴∠EAC＝∠B． ∵三角形ACD是等边三角形， ∴AC＝CD， ∴BC＝CD， ∴∠EDC＝∠B， ∴∠EAC＝∠EDC． 21．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点， ∴AD垂直平分CE， ∴AC＝AE， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC； （2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°， ∴∠BAE＝∠B＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°， ∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°， ∵AC＝AE，AD⊥BC， ∴∠EAD＝∠CAD＝20°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAD+∠CAD＝75°． 22．如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同） 【解答】解：图形如图①②③所示： 23．在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示． （1）在如图中画由△ABC关于y轴对称的ΔA'B'C． （2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：A′　（2，6）　；ΔA'B'C的顶点关于x轴对称的点的坐标为B° 　（4，﹣3）　； （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C′即为所求； （2）由（1）知，A'（2，6），B'（4，3）关于x轴对称点B''（4，﹣3）， 故答案为：（2，6），（4，﹣3）； （3）S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×2×3﹣×4×6＝36﹣9﹣3﹣12＝12． 24．如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，AD，AD垂直平分EF． （1）求证：AD是∠BAC的平分线； （2）若△ABC的周长为18，△ABC的面积为24，BC＝6，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵AD垂直平分EF， ∴DE＝DF． 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线； （2）解：∵△ABC的周长为18，BC＝6， ∴AB+AC＝12， 又∵DF＝DE， ∴S△ABC＝AB•DE+AC•DF＝（AB+AC）•DE， 即， ∴DE＝4． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M． （1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 　50°　；若∠B＝80°，则∠NMA的度数是 　70°　； （2）你认为∠B与∠NMA有怎样的数量关系？请说明理由； （3）连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是16cm，求BC的长； （4）点Q是BC边上的中点，连接AQ，与直线MN相交于点P，点P到△ABC三个顶点的距离有怎样的关系？请说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵MN垂直平分AB， ∴∠ANM＝90°， ∴∠NMA＝90°﹣∠ANM＝50°； 若∠B＝80°，同理得出∠A＝20°， ∴∠NMA＝90°﹣∠ANM＝70°； 故答案为：50°；70°； （2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°． 理由：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠A＝180°﹣2∠B， 又∵MN垂直平分AB， ∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B） ＝2∠B﹣90°； （3）如图1：连接BM， ∵MN垂直平分AB． ∴MB＝MA， 又∵△MBC的周长是18cm， ∴AC+BC＝18cm， ∵AB＝10cm， ∴BC＝8cm； （4）结论：PA＝PB＝PC． 理由：连接PB， ∵MN垂直平分AB， ∴PA＝PB， ∵AB＝AC，BQ＝QC， ∴AQ⊥BC， ∴PB＝PC， ∴PA＝PB＝PC． 所以此时PB+PQ的和最小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章单元测试 生活中的轴对称 七年级数学（北师大版） 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（　　） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正六边形 3．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的大小为（　　） A．32° B．58° C．74° D．106° 4．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB，交AC于点D，交AB于点E，若∠A＝50°，则∠DBC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．在下列说法中，正确的是（　　） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以底边高线为对称轴的轴对称图形 D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 6．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 7．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AC＝4，则AB的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 9．如图，在长方形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对折，使点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM，将∠AEF对折，使点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若∠BEM＝64°30'，则∠AEN的度数是（　　） A．25°30' B．32°15' C．51° D．60° 10．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（　　） A．1：8 B．1：4 C．1：2 D．2：5 11．如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择？（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 12．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，，EF是AC的垂直平分线，分别交AC，AB于点E，F，点D是BC边的中点，点M是线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（每小题4分，共计16分） 13．如图，三角形纸片ABC，AB＝11cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为　 　cm． 14．已知等腰三角形的两边长为a、b，且满足|a﹣3|+（b﹣6）2＝0，则这个等腰三角形的周长是 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边BC上的A′处，折痕为CD，则∠BDC＝　 　°． 16．如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN＝5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF⋯⋯若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接 　 　根． 三、解答题：（共计98分） 17．（9分）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x，y． 18．（10分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm．求BC的长． 19．（10分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE＝DF． 20．（10分）如图，直线m是线段AB的垂直平分线，与AB交于点C，以AC为边作等边三角形ACD，连接DB与直线m交于点E，连接AE．求证：∠EAC＝∠EDC． 21．（10分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数． 22．（10分）如图是小正三角形组成的网格，每个网格里已经有3个涂上了阴影的小正三角形．在每个网格里，再将两个小正三角形涂上阴影，使得整个阴影部分构成轴对称图形．（每个网格里的阴影部分的图形不能相同） 23．（12分）在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示． （1）在如图中画由△ABC关于y轴对称的ΔA'B'C． （2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：A′　 　；ΔA'B'C的顶点关于x轴对称的点的坐标为B° 　 　； （3）求△ABC的面积． 24．（13分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，AD，AD垂直平分EF． （1）求证：AD是∠BAC的平分线； （2）若△ABC的周长为18，△ABC的面积为24，BC＝6，求DE的长． 25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M． （1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 　 　；若∠B＝80°，则∠NMA的度数是 　 　； （2）你认为∠B与∠NMA有怎样的数量关系？请说明理由； （3）连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是16cm，求BC的长； （4）点Q是BC边上的中点，连接AQ，与直线MN相交于点P，点P到△ABC三个顶点的距离有怎样的关系？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$