专题04 复数（考点清单，10题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题04 复数 【考点题型一】复数的概念 1.复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. 全体复数构成的集合叫做复数集. 2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 3.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． 【特别提醒】 (1)复数的代数形式： 若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念. (3)虚数单位i的性质 ①i2＝－1. ②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律. ③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立. 例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小. 【例1】（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·陕西商洛·期中）设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【考点题型二】复数的相等 1.复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 2.复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件. 【总结提升】 复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解. 【例2】（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解． 【变式2-3】（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则 【考点题型三】复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔. (2)集合表示： 【例3】（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？ 【变式3-3】（23-24高一下·全国·课堂例题）指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【考点题型四】复数的加、减、乘、除的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) ＝＋i (z2≠0)． 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 【规律方法】 1.复数四则运算的解题策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． (3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z. 2．注意应用： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，＝－i. 【例4】（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-2】（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【变式4-3】（浙江省强基联盟2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题）若为纯虚数（为虚数单位），则实数 ． 【考点题型五】复数及其加、减法的几何意义 1．复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系． (2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是(a，b)，不是(a，bi)． (3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量O表示． 复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下： 3.复数加、减法的几何意义及运算律 z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线 加法 减法 几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 【规律方法】 复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离． 【例5】（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】（22-23高一·全国·课后作业）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【考点题型六】复数的模及其几何意义 1.复数的模 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝． 当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值． 2．复数模的几何意义 (1)复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． (2)复数形式的基本轨迹 ①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆； ②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线； 【例6】（2022·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【变式6-2】【多选题】（23-24高一下·安徽淮南·期中）设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则或 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 【变式6-3】（22-23高一下·浙江台州·期中）已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【考点题型七】共轭复数与复数模的运算性质 共轭与模的运算性质： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6). 【例7】（浙江省（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联考2024届高考数学模拟卷）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-1】（23-24高一下·湖南常德·期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】【多选题】（2022·高一单元测试）设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若|z1|＝|z2|，则 D．若|z1|＝|z2|，则 【变式7-3】（21-22高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【考点题型八】in(n∈N*)的性质 in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i， 从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N*，那么有 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 【例8】（22-23高二下·贵州安顺·期末）设是虚数单位，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式8-1】（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式8-2】（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ． 【变式8-3】（20-21高二下·陕西西安·期中）若是虚数单位，，则 . 【考点题型九】复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 【例9】（24-25高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【变式9-1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2023·全国·高一专题练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______． 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）求同时满足的复数z(用代数形式表示)． 【考点题型十】复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)= r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2) ＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【例10】（2024高一下·全国·专题练习）计算 . 【变式10-1】（2024高一下·全国·专题练习） . 【变式10-2】（2023·高一课时练习）计算下列各式，并给出几何解释． (1)； (2)． 【变式10-3】（2023·全国·高一专题练习）回答下面两题 (1)求证：； (2)写出下列复数z的倒数的模与辐角： ①；②；③． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 复数 【考点题型一】复数的概念 1.复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. 全体复数构成的集合叫做复数集. 2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 3.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． 【特别提醒】 (1)复数的代数形式： 若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念. (3)虚数单位i的性质 ①i2＝－1. ②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律. ③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立. 例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小. 【例1】（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 【变式1-1】（23-24高二下·陕西商洛·期中）设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由于，所以的虚部为1， 故选：A 【变式1-2】（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 【变式1-3】（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】化简复数，由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为，所以的实部与虚部之和为． 故选：B. 【考点题型二】复数的相等 1.复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 2.复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件. 【总结提升】 复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解. 【例2】（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 【变式2-1】（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复数相等求解作答 【详解】因为，所以 故选：D 【变式2-2】（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解． 【答案】4 【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可. 【详解】设，则， ∵, ∴, ∴,∴, ∴或或 或 ∴共有4组解. 故答案为：4. 【变式2-3】（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则 【答案】3 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】因为，， 所以 解得. 所以. 故答案为：3. 【考点题型三】复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔. (2)集合表示： 【例3】（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则复数是纯虚数，即充分性成立； 若复数是纯虚数，则且，即不一定成立， 利用，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？ 【答案】不存在 【分析】根据纯虚数定义列出关系式求解. 【详解】由是纯虚数， 得，解得. 即不存在实数，使是纯虚数． 【变式3-3】（23-24高一下·全国·课堂例题）指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【答案】实数为；虚数为； 纯虚数为 【分析】根据复数为实数、虚数和纯虚数的条件，判断出实数、虚数和纯虚数. 【详解】实数为； 虚数为； 纯虚数为. 【考点题型四】复数的加、减、乘、除的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) ＝＋i (z2≠0)． 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 【规律方法】 1.复数四则运算的解题策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． (3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z. 2．注意应用： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，＝－i. 【例4】（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 【变式4-1】（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 【变式4-2】（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 【变式4-3】（浙江省强基联盟2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题）若为纯虚数（为虚数单位），则实数 ． 【答案】2 【分析】由复数的乘法和纯虚数的定义求解. 【详解】因为，所以当时，为纯虚数． 故答案为：2 【考点题型五】复数及其加、减法的几何意义 1．复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系． (2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是(a，b)，不是(a，bi)． (3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量O表示． 复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下： 3.复数加、减法的几何意义及运算律 z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线 加法 减法 几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 【规律方法】 复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离． 【例5】（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限， 故选：A. 【变式5-1】（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 【变式5-2】（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 【变式5-3】（22-23高一·全国·课后作业）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】5 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求解． 【详解】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 【考点题型六】复数的模及其几何意义 1.复数的模 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝． 当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值． 2．复数模的几何意义 (1)复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． (2)复数形式的基本轨迹 ①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆； ②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线； 【例6】（2022·全国·高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出． 【详解】因为，所以，所以． 故选：D. 【变式6-1】（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 【变式6-2】【多选题】（23-24高一下·安徽淮南·期中）设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则或 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【分析】对于A，利用列举反例的方法，结合模长公式，可得答案； 对于B，根据复数的几何意义，写出点的轨迹方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离，可得答案； 对于C，根据复数的模长公式，可得答案； 对于D，根据模长的几何意义作图，结合圆的面积公式，可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设对应的点为，则其轨迹方程为， 由原点到的距离为，如下图： 易知当对应的点为时，取得最小值，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由题意可作图如下： 点的集合所构成图形为图中的阴影部分，面积，故D正确. 故选：BD. 【变式6-3】（22-23高一下·浙江台州·期中）已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    【考点题型七】共轭复数与复数模的运算性质 共轭与模的运算性质： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6). 【例7】（浙江省（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联考2024届高考数学模拟卷）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可. 【详解】由题意得，故， 故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确. 故选：D 【变式7-1】（23-24高一下·湖南常德·期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到其共轭复数，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的共轭复数的虚部为. 故选：B 【变式7-2】【多选题】（2022·高一单元测试）设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若|z1|＝|z2|，则 D．若|z1|＝|z2|，则 【答案】BC 【分析】根据共轭复数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A选项，设，满足，但不满足，A选项错误. 对于D选项，设，满足，但，D选项错误. 对于B选项，由于，故可设，则，则，B选项正确. 对于C选项，由于，且，所以，C选项正确. 故选：BC 【变式7-3】（21-22高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【答案】(1)-2-i，作图见解析 (2) 【分析】（1）利用复数的减法运算和复数的几何意义求解； （2）利用复数的模的运算求解. 【详解】（1）解：复数． 如图，． （2）． 【考点题型八】in(n∈N*)的性质 in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i， 从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N*，那么有 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 【例8】（22-23高二下·贵州安顺·期末）设是虚数单位，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用的性质化简，从而利用复数的模的公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式8-1】（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的乘方可以发现具有周期性，周期为，然后由周期性计算即可. 【详解】因为，，，，所以具有周期性，周期为， 所以，所以. 故选：A 【变式8-2】（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】利用的性质计算可得答案. 【详解】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 【变式8-3】（20-21高二下·陕西西安·期中）若是虚数单位，，则 . 【答案】/ 【分析】根据复数的运算性质与复数的模长公式计算即可. 【详解】化简原式，可得， 所以，所以. 故答案为： 【考点题型九】复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 【例9】（24-25高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式． 【详解】（1）因为，，，所以， 于是． （2）因为，，，所以， 于是． （3）因为，，，所以， 于是． 【变式9-1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 【变式9-2】（2023·全国·高一专题练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______． 【答案】 【分析】根据复数三角表示的定义求解即可. 【详解】由题可得，且在第三象限， 所以辐角的主值为， 所以， 故答案为：. 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）求同时满足的复数z(用代数形式表示)． 【答案】 【分析】由复数的三角形式化为代数形式，结合复数的四则运算即可求解. 【详解】由题可得， ∴. 【考点题型十】复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)= r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2) ＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【例10】（2024高一下·全国·专题练习）计算 . 【答案】 【分析】 利用复数的三角表示可得原式，计算可得结果. 【详解】 故答案为： 【变式10-1】（2024高一下·全国·专题练习） . 【答案】 【分析】 借助复数的三角表示的运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 【变式10-2】（2023·高一课时练习）计算下列各式，并给出几何解释． (1)； (2)． 【答案】(1)，几何解释见解析 (2)，几何解释见解析 【分析】先利用复数三角形式的乘除法运算求值，再利用复数的三角形式进行几何解释即可. 【详解】（1） ， 几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个模为、辐角为的，则即为所对应的向量． （2） ， 因为， 同理：， 所以原式， 几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的，则即为所对应的向量． 【变式10-3】（2023·全国·高一专题练习）回答下面两题 (1)求证：； (2)写出下列复数z的倒数的模与辐角： ①；②；③． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算； 证法2，等价转化为证明两个复数相乘； （2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出，再化为三角形式. 【详解】（1）证法1：左边右边 证法2： ， ∴原等式成立. （2）①时， ， 的模为，辐角为. ②时， . 的模为1，辐角为. ③时， ， 的模为1，辐角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$