湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（5月）数学试题

南雅中学2024年上期第二次月考试题 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. 5 C. D. 2 4. 已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 6. 一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 7. 已知、，直线，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为16 B. 这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C. 这10年粮食年产量的平均数为33.7 D. 前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差 10. 如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为______. 13. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______. 14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角所对的边分别为，，．向量与平行． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 已知函数是定义域为的偶函数. （1）求a的值； （2）若，求函数的最小值. 17. 设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点．已知，． （1）求椭圆方程． （2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点．若，求直线的方程． 18. 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布． （1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？ （2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有． （i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：， 另，刻画回归效果的相关指数 19. 已知数列：的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为. （1）若数列：，且，，求数列和集合； （2）若是递增的等差数列，求的值（用表示），并说明理由； （3）请你判断是否存在最大值，并说明理由. 南雅中学2024年上期第二次月考试题 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】64 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 40 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）1.29%； （2）（i）， （ii）模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元），这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． 【19题答案】 【答案】（1）：，； （2），理由如下： 因为为递增的等差数列，设的公差为， 当时，，则， 所以. （3）存在，理由如下： 依题意，集合中的元素个数最多为个，即，取：，此时， 若存在，则，其中， 故，若， 不妨设， 则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 即有，，因此由：得到的彼此相异， 于是，即的最大值为，所以必有最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $