2024年普通高等学校招生伯乐马押题数学考试（2）

娃 名 绝密★启用前 8.已知安数a6分别满足na+1=001,心=101，且c=高则 准考证号 A.a<bcc B.hCeca C.cC<a D.h<a<c 2024年普通高等学校招生新高考押题考试（二） 二，选择愿：本燃共3小题，每小题6分，共1然分。在每小题始出的选项中，有多项 数学 符合露目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得非分。 9.已知函数f(x》一Min(mr十学)(M>0,w>0,0<<)的部分图像如图所示，A,B为 注意事项： F(x)的图豫与x轴的交点，C为f(x)图像上的最高点·△AC是边长为1的等边三角 【,答爸前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在若题卡上。 形，On1一210A1,则 之.回答选择愿时，逃出每小题答案后，用笔把答延卡上对应题目的答案标号徐 里。如需改动。用像皮擦于净后，再选涂其他答案标号。可答丰法择恩时，将答案可在 Af0)- 答题卡上，写在本试参上无效 3,考试结桌后，将本试卷和答题卡一并交回 其直线工一是仁)调像的一条对称销 一、选择愿：本题共8小愿，每小题5分，共排分。在每小题给出的四个选项中，只 G/x)的单西超减区同为（合+2张，名+2）∈石 有一项是符合题目要求的。 D:)的单调遂增区间为(-一音+达x青+小∈刀 .已知集合M=1,2,3,V=0,1,2,3,4,7」，若M一A=N,则满是集合A的个数为 A.4 B.6 C.7 10,如图所示，长方体ABCD一EFGH的表面积为6，AE=1.则 D.8 A藏长方体不可能为正方体 2若士留为地虚数∈k,则4 且核长方体体积的最大值为1 A.3 B.4 C.-3 D.-4 C若长方体下寝面的一条边长为名，则三棱维H一A心的体职为写 3,已知函数f(x》为R上的闻函数，且当t>0时，f行)=0g,一1，划f(-2》 D,该长方体外接除表而积的最小值为3需 A-司 R一号 D 1门，已知数列(e,1端是@.-1一a:+2a.十A(m∈N”),其中A∈R,下列说法正确的有 4,生活中有很多常见的工具有独特的儿何体结构特证，例如垃圾备 A当0，=8a=时a.m+ 箕，其站构如图所示的五面体ADE一BCF,其中四边形ABFE与 CDEF都为等腰梯形，ACD为平行四边形，若AD⊥面ABFE 且当∈[片+✉)时，故列是造培数列 且EF=2AB=2AE=2BF.记三棱锥D-ABF的体积为V,用 C当a一一2时，若数列@，}是速增数列，期：E《一，一3)U(1,+0) 该五面体的休队为 A.8V B.5V C.IV D.3V, n当o=8=0时2叶2号 a,+23 5,班主任从甲.乙，丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一 位课代表，每位同学至多扣任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有 三、填空孤：本题共3小题，每小题5分，共15分。 A.0种 B.54种 C.48种 D.36种 12,已知向量a=(一1w8).b=(m.2).若(a+2b)⊥a,则实数w- 6.已知，e(o,艺，2ng= sin28 g+m期o(2++） 13.已知(1十62r)"十(62-x)”=a,十d1x十4x1十十az”,且ae,d,a4,…,aw∈R, 则满足：，<0(0∈N且0≤k99)的素的最大值为 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,e,点P为△ABC的垂心，若已知ab:e =45:i,记线段PA,PB,PC的长度分别为x,y,3,则xy:云= 7.已知图C,x2+y-2ar-2y十a2=0(a>0》与价线vr十3)+y=2wT十y有交 点，则的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 伯乐马新高考数学押题二)第1页（共4页） 的乐马新高考数学押题（二）第2页（共4页） 四，解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(17分) 15.(13分》 某市共有教师1网0名，为了解老师们的寒般研修情况，评志酥修先透个人，现随棍轴 已知a山为正实数，构壶数)一若南线y一)在点0，)处的切 数了10名教有利用“学习APP+学习的时长（单位：小时）135,43,0,83,50.45,82,75， 62,35,时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人“ 线方程为y=豆一) (1)现从该样本中随机拍取3名教排的学习时长，求这3名教师中恰有2名教0是研 修先进个人的概率。 (1)求u十b的值： (2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(“):其中？一0，性为 份求证/0，异 拾聚的10名歡师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题 D试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四会五入到整数）： ©若从该市机抽取的n名教师中恰有衣名教第的学习时长在50,70们内，则和为何 值时，P(e=10)的值最大？ 附：若随机变量X服从正态分布N(红㎡)，则P(g写X远H十a)0,6827, P(r-2aX十2a)=0.545.P(u-3aXw+3a)=0,9071. 16.(15分》 如据，在三棱桂ABC一A,B,C中，平面AA,CC⊥平面ABC,AB=AC=B= AA:=2AB=/6. I)设D为AC中点，正明：AC⊥平前A,DB: (2)求平面A,AB,与平面A℃A:夹角的余点值 19.(17分) 法数学家加撕前尔·蒙日是世纪著名的几何学家，使创立了面法几闻学，推动 了空间解析儿何学的独立发展，奠定了空间微分几句学的宽厚基础，根据挂的研究成果， 我们定义：给定精圆C,二+卡=1a>6>0)·则际鬨心在原点0.半径是v信+6的舞芳 ~椭周C的作随图”，已知特写+关=10>6>0的-个焦友为F6E,0,其短销的一 个端点到焦点F的距离为落， 《1)若点A为脑圆C的“作随圆”与x轴正半轴的交点，B,D是椭团C的两相异点， 17.(15分》 且D⊥r轴，求Ai·AD的取值冀围， 设数列{a.)的前0项和为S.41一1：25。一划十n∈N》, 《2)在前圆C的“作随圆”上任取一点P,过点P作直线I,4,使得1，L:与辉阔C都 (1)求数到a.}的通现公式， 只有一个交点，试判断，：是否垂直？并说明理由， (2)设数列b,)的前w项和为丁.：且b,- =,求Tm: Va.+vu 伯乐马新高考数学押题（二）第3页（共1页） 伯乐马新高考数学押题（二）第4页（共4页）2024年普通高等学校招生新高考押题考试（二） 6.容案B 因为2aa= 对n22 对n9+in月 数学试题答案及评分参考 所以2sin 2singeos8 2cos sing+sin 3 1+sing' 1.答紫：D 所以inu+*ing sing=coa3 因为M三AGN,所以A可以是1,2,311.2.34)，(1,2,3.01,1,2,3,71， 所以sinm一DUSDI3 sine sin9-cos(a十a), 1,2,3,0,41,1,2,3,0,7,1,2,3,7,41,1,2,3,0,4,7,共8个，故选D 所以o…侵-)-omsa+ 名容案：A 3+4≠0解得a=五 到为士a十2士D=如二十十为纯虔数，所以一月0 国为a∈(，)，所以受-∈(0，受》十e0m… 13 13 放寇： 所以受-4=0+8，所以2a+月= 3.答案：A 因为f《r)为偶函数.所以f（一)一f(r: s- 所以么++-ms-- 期f从-2)=f2)=bg,-l=og2t-1=g2时-1=}一1=-号故选A 故远：B 4.答案，C 7答案：A 因为ACD为平行四边形，断以S么购=Saa· 由V(e十3)+y-2√不+y,整理得到x一1)+y=4: 所以V-m-Vxam-V, 解C可化为标准方程C:(x一4)+(y一4)一：2(4>0). 记梯形ABFE的高为A,因为EF=2AB, 由题意可得周（一1）+y=4与例C::一#)十(y一4)■：(：>0)有交点， 所以5m一球有-号×2ABA-2S, 又因为(x一1十y一4的圆心为(1,0)，半径为r-2, 属C的阳心为(u,a),半径为R=a, 所以V6-a=2W-r=2V1, 所以2-4|场√(4一1》中uF2+4, 所以减五面体的体积V=V-世+V。r十V-m=2V十V十V=4V. 解得1函4运3+2,5，所以#的最小值为1， 放选：C 故选：A 5,答案：B 8.答案：C 第一种情况，甲，乙，丙三位同学那有安拥时， 由=.01，ln(a+1)=0,01,得b=lml.01.d=4一1. 先从3个人中透1个人·让他担任两门学科的课代表，有=3种结果， 设g(r)=一于一1.期'（红）■r-1, 然后从4门学科中选2门学得给同一个人，有一书种结果， 所以当xE(一0，D)时，'(x1<0,g(工)单明通或， 余下的两个学科给剩下的两个人，有A=2种结果， 当r∈(0，十0)时，g'r)>0,g红)单调递增，所以grg0)-,即2一1≥r 所以不同的安排方案共有3×6×2一36种， 同理可证n(z十1)z,所以ln(x十1xe一1， 第二种情况，甲，乙，丙三位同学中只有两人被安#时， 当x=0.01时，可得n1.01<e一1.即6<a, 先违两人出来，有C=3种结果， 设f)=lmr-是(r>ov.则x)= 再将四门不同学科分藏两堆，有气一3种结果。 所以当rE0,1)时，f广(x)<0,f(r》单翼递减 将学科分给学生，有A一2种结果， 背x∈(1，十时，(r)>0,f(x)单烈递增， 所以不同的安排方案共有意×3×2一18种， 综合得不同的安排方案共有36十18=54种. 所以了o)>fd).博1ol.o10>nl.修理得hlo1>高即> 放速：B 所以（发4 故选C, 224军伯乐马新高考押题（二》数学答案及开分参考第1页（其4页） 9.答案，C 对于八.由周可得：/)的最小正周期为2，所以红-2，即w= 易得M=停两以了)=受ner十g 三校维H一AFC的体积Va出n一V,-Ar一Vgw一Vnr一V。,m 圈为0n-2oA,陈A言小B货).C(合受》 吉×4-号：kC排误： 由五点作图肤可得，专十g=受：甲g=导所以f)=如十晋》。 对干D,长方体外接球的半经为R,2R一，+办+有，所以R-@士 2 所以f0)一三放A不正确： 所以长方体外提球表面积为S一4云R一(a2++Ix 对于于-+-停为大 因为6十@十6=3，所以g十6=3一6， 则y-4+6+1=(a+6)-2ah+1=(3-ub)1-2a4+1 所以直线工一是口)图象的一条对称轴，放B正确： -9+(ab)-6ah-2ab+1=ab)-8wh十10， 令t=ab.06≤1，所以y=1一81+10=（一+）1-6， 对于C,令2+营系知+营≤x+受∈.解得，官+2≤≤号+长 当t一1时y-3,所以S一3m,故D正确， 故选，BD. 所以单测递诚区间为号+2法，+2)kE,故C正确： I1.答案：ACD 对于D,令2一受长x十导≤a十受e,解得-音+2张≤x≤行+e. 5 对于A当-时-4.-+.+号-.+号广+1≥1>0， 又1=2，放0，>d,十1： 所以f0)的单薄递婚区间为(-音+张，号+2尘)∈0放D不正确。 所以a>@。-十1>e。-,十2>>2，十n一1一#十1，放A项正确， 1.1 放选： 对于品博为a-a,-a+a,+以-a,十号中以-且a∈[+小 10.答案：D 所以#+1一4.0， 设长方体的长，宽分别为：，， 因为长方体ACD一EFGH的表面积为6.所以2：6十2a+2b一6， 当一了0：“一豆时：一一豆0，t一“.一a,十宫)一03一0，北时数列 ab十a十6三3， a。)是常数列，故B项情误： 讨于A,若一m1,雨足b+g十b=3.所以该长方体可能为正方体，故A惟误： 对于C,由于数列a.1是递增数列，当u2时，故4，一a.>≥0，d,1一a,-(a十2a, 对于B,ab+4+b一33ah+2wah,当且仅当a一6时取等， -2)-(a-1+2m1-2)-(m.-4.)0m.十4，+2>0， 析以(wa6)+2a6-3≤0，解得：0<vab1,即心<ab运1， 所以长方体体积的最大值为V.=(@b·1)一=1，故B正确： 心2t2 故，+e-十2>0.所以“>0 对于C.若长方体下旅面的一条边长为2，设a一2. 解得>1或，<一3.放C项正确： 则2为+2+=3，解得：b=3 对于D,当A-0时0+t=a+24.-(u,+1)-1, 结合41-3，可知a1-4一1-15>44， 此时长方体的体积为V心=1X号×2=导 a-16-1>4“,结合4+14.-(4.4。-)(4，+0。-1十2) 可知a.1是递增数列，a.≥w1=3,期a。1十2=a.(a。十23(a.十2)， 若3所以号×会名 a*0,+2X…×t经 X,+23-1(m≥2. Vwm=35·BF=3·2· 81=g 5 即m,十2绘3+2=了×3《n会2 2024军伯乐马新高考押题（二》数学答案及开分参考第？页（共+页） 所以13 由题意可知曲线y=fx)在点1，/)处的切线方程为y=立@x一)， 1131 1 所以 ,解得年-6一1（负值俞去》，所以：十6一-2. 可1 -3,11 1- 33 31 <了，故D项正： a+62 2a,+23++…十3) 5 3 (2)由第1同可知.1x)- +1 故选：ACD 12.答案：8 美Eo品博要旺当 x+lr+l 由题意细(a+2b)·a-a+2a·b-0. 只精证1nr十--10， 闪为a-1十3-4，所以a·b一一2.即一m十23×5=一2，解得m=8. 13,答案：49 构造函数8)-lr+,则g')- 因为x‘的系数为4，-62*+C82+(一1-C%62[1+62-4(一1)‘]，其中点- 0,1,2,…,99,要使符a4<0,必须k是奇数且62-">1，所以99一2>0，即k<49.5, 当x∈(0,1)时：k°()<0，雨数g(.x)单测递诚： 当x∈1，十x)时，g'〔x)>0,,数g(红单调递增， 所以★的最大值为4. 11,答案：1239：2 所以g一g-:所以e1,所以u产异 由4十5>行，知是悦角三角形。 16,(I》证明：因为D为4C中点，且AB一AC一BC-2, 如图，记AD,BE,C下是△AC'的三条高，点D,E,F分划在线段BC, 所以在△4BC中，有BD⊥AC,且BD-,3 CA,AB上，则P是线段AD,BE:CF的交点 义平面ACCA,⊥平面ABC,且平面ACCA,∩平面ABC=AC,BDC平面ABC。 由于∠PBD-∠EBC-是-∠EB-专-∠ACB-登C 所以BD⊥平面A℃A,, 故PA-AD-PD 又ADC平面AC℃A1,则BD⊥AD: =AB+sinB-BD.·tnn∠PBD=AB·inB-AB+%且·an∠PBD 由A,B=v写，BD=,得A,D=厚， -AB,smB-AB·oo月·an(经-C）-anB-cwn,oG 因为AD=1.AA1=2.AD=3,所以由勾股定理，得AC⊥A,D, sinc 又AC⊥BD,A,D门BD-D,A,D,BDC平面A,DB,所以AC⊥平ADB: c(sinBsinc-cosBeosC)R(sinBsinC-cosBcosC) (2》如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系D一yc· sinC 可得A(1,0,D.A1(00w3),B0w8,0) --2R0s(B十C)-2R0xA, 谢AA-(-103),Ai-(-1.5.0), 这里R是△AC的外接圆半径，所以x一PA-2Rc四A, 同理y=2R0sB.x-2RcoC. 设平面A:AB的法向量为对=(x,yx。 放ry8x=wAtm%B:sC 后，4=-+8=0 -+c-a:+8-b 2:g+b- .令x=3,得y=1=1. 26 =a(b+c2-a)±6(e十-b) 2 2ab w.AB--r+3y-0 (a+6-)=45+6-4):5(6+-5)t6(4+5-6)=12t912. 所以w=5,1,1》· ar+6所以f广r1--arinr+b 15.1)因为fr-r h》知，BD⊥平面AC℃，A1 (r+6), 所以平面ACCA,的一个法向量为BD一(0，一√厚，0)， 义因为/广流中6- 记平面A,AB:与平面AC℃A,的夹角为a, 10.Bi5 所以找y=fx)在点，/D)处的切线方程为y=a中b红-1)=。十石一。十b 用cg w1IBi原×3F 2024军伯乐马新高考押意（二》数学客案及开分参考第3页（共4页） 新以平面AA,与平度AC,A夹角的余孩值为 19,(1》由题意知x一，2，由短轴的一个刻点到焦点的距离为5， 知a-√0+p-8,划6-a一2-1， 17.(1)闪为2S.-n十m①，当0≥2时，25。：-（对-1）十n一1②， 所以①-②得到2a.=n十n一(m一1)1一《n一1)=2m,即4.=： 放骑国C的方程为号+=1.其~作随国“方假为+y= 又1一1，涛足4。=对，所以4，=阳， 由题意，可设B(M,n),D(m,一》，（一3<<） 1 1 (2)肉为6.- a,十va,v知+m+T v干-a, 则有管+m=.又A2.0 所以Tn=61+b,+…+6m=、2-1+V8-√2++√/10而-√朗-w10函-1=9 故A店-《w一2，r),AD=《m-2,-m) (3因为、11、 2v@,2Nvw+T十v网 =√十厅一√0， 放店.花=m-2-=m2-m十4一-罗）=言w-m+3=者6一 十十 2vm2、a2vaw2T2 2v丽 又二次函数y一（一）的图象是开口向上，对称销为m一 3 2-1+3-√经+…+10所-0=√/1顾-1=9， 由-8<m<5,0一引eo7+45 1 2后2wa2w@ 所以AB,Ai的取值他围是[Q,7+4,3), 2van (2》对于桶圆C上的任意点P,都有⊥2，证明如下： 18.(1)设事件“抽取的3名数师中价有2名教师是研修先进个人为A. 设P(),期+1一4， 由避知样本中学习时长不低于0小时的人数为3，时长低于别小时的人数为7， 当3=士8时，=士1， 则P4-CC7 用1+红其中之一斜率不存在，另一斜率为0，是然有1上4 ,401 当≠士y3时，设过P(a,)且与精属有一个公共点的直线/的斜率为。 所以这多名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为司 则1的方程为y一t一k杠一s), 代人时国C方程可得z2+3[r+?一s)]'=3, (2)①由样木数据知4 35+43+90+3+50+45+82+7石+2+瓶-60g-10, 即(30+1)r2+60(1=kx1.r+3(1一s)-3-0, 10 由△=36k(1-ks)2一43k十1)[3(1一)-3J=0: 闪为PN360)-P(X≥M-o)-P2≤X≤十a2,1 0841a5, 可得3一，2+2论+1一=0，其中3-≠0， 设，的斜率分判为1，，期，k,是上述方程的两个根， 51以0,84135×1000841， 所以，学习时长不餐干0小时的餐师人数为8 放写=1甲 ②每名教师的学习时长在[50,70们内的餐率为P(一≤Xw+a)0,827, 综上可知，对于椭图C上的任意点P,都有1⊥1· 由题意可知一B(u,0.6827),则P(=10)=C×0.6827×0.317, 设/4m1=C型×0.6827×0.3173-(m≥101， 则/a+1)_C=X0.6827X0,31730.3173m+.317 (r)C×0.6827×0.3173m 4-9 令091得-山器所以当时a+1>o 04422 令0引7914.得>1器断以当>≥时，f+1< 对9 所以背双=14时，f(知)最大，即使P(传=10)最大的？的敛为14. 224军伯乐马新高考押题（二》数学答案及开分参考第4页（其4页）2024年普通高等学较招生新高考押题考试（二） 清直南程自菌害夏国城内作著，越出转附过框程灯国城销型家土效 博直青维组的言的家组内有害：整士鞋鞋信恒重立氨帽粉客室北袋 数学答题卡 15 名 准考证写 考场号 泽位号 8 片条形码区 国国 田国 (博刻结出线权外 缺考标记口 1南牌见用：候考有生由应专月陆条思的，非利门师笔南章三边缺写制记： 速样圆 非选择增 2 4 空白区域 请勿答题 博在身恒目行备醒区时内作湿，超生矩形边特尿超区域物答素无效 满生春程后钠面服夏情内作苦，植■好务道制保宠区满销看家无信 ■ ■ 请在朝鞋自所需租绿城有作言：得丝到形直国限定领能养写案大建 速在售程目销图程国减有作室，结出想形体相度建城的著室土进 通后餐理自的若道服厚内有程：因生班制值国里保植客室大直 18 19 清在春面的密日过内作围，组出耗利达框国雀运减的蓝重无效 博也香理口的备组区城内作源，酸止延制达班限老区城物否套无时 清在香程口钠看图区减内作备，组性州形在相源花返装防著重无维 ■ ■