专题02 高二下期末真题精选（压轴题 考题猜想，9种题型）-【期末大串讲】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题02 高二下期末真题精选（压轴题 考题猜想，9种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一．排列组合综合（共5小题） · 二．涂色问题（共5小题） · 三．杨辉三角形（共4小题） · 四．条件概率与全概率公式（共6小题） · 五．二项分布与超几何分布（共5小题） · 六．正态分布（共7小题） · 七．概率与数列，导数交汇（共5小题） · 八．非线性回归拟合（共5小题） · 九．独立性检验与概率统计综合（共5小题） · · · · 一．排列组合综合（共5小题） 1．（22-23高二下·上海浦东新·期中）将110表示成3的非负整数幂的和的形式，其中加数的不同排列视作同一种表示方法，共有（    ）种不同的方法． A．247 B．402 C．485 D．508 2．（多选）（22-23高二下·河北张家口·期末）如图，某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（    ） A B C D E F G H A．4辆车的停车方法共有1680种 B．4辆车恰好停在同一行的概率是 C．2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是 3．（多选）（23-24高二上·云南曲靖·期末）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（    ） A．“取出的鞋不成双”的概率等于 B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 C．“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于 D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于 4．（20-21高二下·浙江·期末）现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，两人也不相邻，而两人必须相邻，则不同的排法总数为 ．（用数字作答） 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，），已知，则集合A中的元素个数可表示为，又有且． (1)求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率； (2)求集合B中所有元素之和为奇数的概率． (3)取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意） 二．涂色问题（共5小题） 1．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 2．（2024·全国·模拟预测）斐波那契时钟是一种基于斐波那契数列设计的特殊时钟．钟面上是5个正方形方块，每个方块对应的数值分别是斐波那契数列里的前5个数：，方块的数值固定，颜色可变化，可呈现红色、蓝色、绿色、白色．人们根据方块对应的数值和颜色计算时间，规则如下：小时数红色方块数值蓝色方块数值；分钟数（绿色方块数值蓝色方块数值）；呈现白色时忽略．如图表示时间为，则当表示时间为时，数值为5的方块为白色的概率为 ． 3．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 . 4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法. 5．（20-21高三上·黑龙江牡丹江·期末）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案. 三．杨辉三角形（共4小题） 1．（多选）（23-24高二上·河南南阳·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 2．（多选）（23-24高二上·广东广州·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（    ） 第1行       1  1 第2行      1  2  1 第3行     1  3  3   1 第4行    1  4  6   4   1 第5行   1  5  10  10  5  1 第6行  1  6  15  20  15  6  1 ……             …… A．第9行中从左到右第6个数是126 B． C． D． 3．（多选）（22-23高二下·湖南益阳·期末）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有论述.在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是“肩上”两个数之和，例如第4行的6为第3行中的两个3的和.下列命题中正确的是（    ）      A． B．第2022行中，第1011个数最大 C．记“杨辉三角”第行第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 4．（22-23高二下·云南保山·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的第3个数6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第行的第个数为，请用组合数第行写出 ，则 .    5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）图是一个 11阶的杨辉三角： (1)求第22行中从左到右的第3 个数； (2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为1：3：5?若存在，试求出这三个数：若不存在，请说明理由. (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关.如：从第3行开始，除了1以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和；请尝试证明：当，，， 四．条件概率与全概率公式（共6小题） 1．（23-24高二下·河北·期中）小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）首届奥林匹克电竞周于2023年6月22日至25日在新加坡举行，这是国际奥委会旗下首个以“电子竞技（ESPORTS）”命名的线下赛事.首届奥林匹克电竞周的设项非常谨慎，十款官方竞赛游戏相当于虚拟的射箭、棒球、国际象棋、自行车、舞蹈、赛车、帆船、射击、跆拳道和网球比赛.然而，与英雄联盟、王者荣耀、和平精英等杭州亚运会电竞项目相比，这十款游戏由国际奥委会、国际单项体育联合会以及游戏开发商基于真实体育运动规则和场景开发，通过虚拟现实技术来获得沉浸式运动体验.以虚拟跆拳道比赛为例，我国跆拳道奥运冠军吴静钰也受邀参赛，她将通过头戴式VR设备以及身上的感应装置，与对手在虚拟世界进行一对一非接触式比赛，不必担心现实中的风险和伤害.已知该项赛事的后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下： 第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组. 第二轮：胜者组的两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组：第一轮落入败者组的两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组. 第三轮：败者组的两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）：获胜队伍成为败者组第一名. 第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军. 假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立.问： (1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？ (2)已知队伍B在上述赛事后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率. 5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束. 已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率. 五．二项分布与超几何分布（共5小题） 1．（22-23高二下·海南海口·期末）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格. (1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为X，求X的分布列； (2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值. 2．（21-22高二下·辽宁大连·期末）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率； (2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为可选作为“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 3．（21-22高二下·辽宁丹东·期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立. (1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）； (2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率； (3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望. 4．（22-23高二下·山东烟台·期中）某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 5．（23-24高三上·山西运城·期末）某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响. (1)若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列； (2)若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？ 6．（23-24高二下·辽宁大连·期中）清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题. (1)从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 7．（23-24高二下·浙江·期中）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 六．正态分布（共7小题） 1．（23-24高三上·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（    ） （附：若，则， A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 2．（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 3．（多选）（23-24高三上·山东聊城·期末）尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化.一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高（单位：）的情况，得出，则下列说法正确的是（    ） A．该地植被株高的均值为100 B．该地植被株高的方差为10 C．若，则 D．随机测量一株植被，其株高在以上的概率与株高在以下的概率一样 4．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 5．（22-23高二下·湖南长沙·期中）为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为，用样本的频率估计总体的概率. (1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率； (2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量的期望. 6．（22-23高二下·山东潍坊·期中）从传统旅游热点重现人山人海场面，到新兴旅游城市异军突起；从“特种兵式旅游”出圈，到“味蕾游”兴起；从文博演艺一票难求，到国风国潮热度不减……2023 年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息.这个“五一”假期，您在游玩时的满意度如何?您对景区在“吃住行游购娱”等方方面面有哪些评价和感受?为此，某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评（满分100分）. (1)本市一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计，得到如下频率分布表. 成绩 [0，20） [20，40） [40，60） [60，80） [80，100] 频率 0.1 0.1 0.3 0.35 0.15 按照分层抽样的方法，先从样本测评成绩在[0，20），[80，100]的游客中随机抽取5人，再从这5人中随机选取3人赠送纪念品，记这3人中成绩在[80，100]的人数为X，求X 的分布列及期望； (2)该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”，并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x与“好评”率y，如下表所示： x 32 41 54 68 74 80 92 y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据初步判断，可选用作为回归方程. （i）求该回归方程; （ii）根据以上统计分析，可以认为本市各景区满意度测评平均成绩x~N（μ，400），其中μ近似为样本平均数a，估计该市景区“好评”率不低于0.78的概率为多少? 参考公式与数据：若，则， 线性回归方程中， 若随机变量，则 7．（22-23高二下·江西景德镇·期中）为了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨（t）），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）； (2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于0.6t的亩数； (3)以直方图中的频率估计概率，在所有田地中随机抽取4亩，设这4亩中亩产量不低于1.0吨的亩数为，求随机变量的期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 七．概率与数列，导数交汇（共5小题） 1．（2024·辽宁·三模）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． (1)求随机变量X的分布列及数学期望； (2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 2．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)求的值． (2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率． (3)记． （i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式． （ii）求的分布列及数学期望．（用表示） 3．（2024·广西南宁·二模）2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练 (1)求抽到甲参与传球训练的概率； (2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望； (3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率． 4．（2024·浙江杭州·二模）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． 注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计． 具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 5．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 八．非线性回归拟合（共5小题） 1．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型 ①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；；； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程 ． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 2．（22-23高二下·四川资阳·期末）某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入（单位：亿元）与年份代码共10组数据，其中年份代码，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到下图所示的残差图．    根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 75 2.25 82.5 4.5 121.4 28.82 (1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据①中所选模型，求出关于的回归方程；根据该模型，求该公司2028年高科技研发投入的预报值．（回归系数精确到0.01） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 3．（22-23高二下·广东江门·期末）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下： x 2 3 4 6 8 10 13 y 13 22 31 42 50 56 58    根据散点图，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：；模型②： (1)求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； (2)比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1） 线性回归方程的系数： ，； 模型的决定系数：． 参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中． 4．（21-22高二下·江苏常州·期中）某校高中数学兴趣小组的同学们计划建立“LG”模型来模拟某种疾病的发展过程，“LG”模型如下：（x的单位：天，x∈N*），其中a，b是常数.同学们统计了某阶段连续10天的数据（xi，yi）（i=1，2，⋯，10），令为了便于研究，对数据作了处理，得到下面的统计量. 5.5 0.0000222 10.9 82.5 0.0003878 -16.5 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋯，（un，vn），其回归直线 参考数据：ln9≈2.197，ln10≈2.303. (1)根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)当y>0.9时，标志着已经初步遏制病情，估计x至少取多少天时，病情开始得到遏制. 5．（22-23高二下·山东德州·期中）在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策． 月份 1 2 3 4 5 销售量（万斤） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 3 7.2 11 81.1 374 该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：．表中：，． (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1，的值精确到整数位）； (2)已知该工厂的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 九．独立性检验与概率统计综合（共5小题） 1．（21-22高二下·福建福州·期末）《道路交通安全法实施条例》第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为．会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人． (1)完成下面的列联表，并由表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？ 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 (2)采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时使用手机的女性司机人数，求的分布列和数学期望． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 2．（23-24高三上·福建福州·期末）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8. (1)求王同学第2天去餐厅用餐的概率； (2)如果王同学第2天去餐厅用餐，求他第1天在餐厅用餐的概率； (3)餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升.改造提升后，餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）. 就餐满意程度 餐厅改造提升情况 合计 改造提升前 改造提升后 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计 40 60 100 依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于餐厅的就餐满意程度与餐厅的改造提升有关联？如果有关联，请分析两者的影响规律. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 30 10 40 乙校 20 20 40 合计 50 30 80 (1)依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因． (2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率． 附：临界值表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（23-24高二上·江西·期末）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级主播的学历层次 优秀 良好 合计 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 (1)是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ (2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势； (3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 5．（23-24高三上·河南周口·期末） 绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表： 喜欢旅游 不喜欢旅游 总计 男性 20 30 50 女性 30 20 50 总计 50 50 100 (1)利用以上数据，判断能否依据小概率值的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关？ (2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望． 附： ，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 $$专题02 高二下期末真题精选（压轴题 考题猜想，9种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一．排列组合综合（共5小题） · 二．涂色问题（共5小题） · 三．杨辉三角形（共4小题） · 四．条件概率与全概率公式（共6小题） · 五．二项分布与超几何分布（共5小题） · 六．正态分布（共7小题） · 七．概率与数列，导数交汇（共5小题） · 八．非线性回归拟合（共5小题） · 九．独立性检验与概率统计综合（共5小题） · · · · 一．排列组合综合（共5小题） 1．（22-23高二下·上海浦东新·期中）将110表示成3的非负整数幂的和的形式，其中加数的不同排列视作同一种表示方法，共有（    ）种不同的方法． A．247 B．402 C．485 D．508 【答案】D 【分析】设，当，设，则，求出的非负整数解；当时，同理求出方程的解的个数，两种情况相加即可得出答案. 【详解】设若， （i），则，设则， 方程（1）的非负整数解的个数为，方程（2）的非负整数解的个数为． 的非负整数解有：，，，，，， ，，，，，， 故方程的解的个数为： ； （ii）当，则，类似地有方程的解的个数为： ， 综上，共有种不同的方法. 故选：D. 2．（多选）（22-23高二下·河北张家口·期末）如图，某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（    ） A B C D E F G H A．4辆车的停车方法共有1680种 B．4辆车恰好停在同一行的概率是 C．2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是 【答案】ABD 【分析】 利用排列公式结合古典概型公式逐项分析即可. 【详解】对A，4辆车的停车方法共有(种)，A正确； 对B，4辆车恰好停在同一行的概率是，B正确； 对C，2辆黑色车相邻且停在同一行有6种，停在同一列有4种，黑色车的停车方法共有(6+4)种， 白色车的停车方法共有种，故共有(6+4)(种)方法，故C错误； 对D，相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，第一辆黑色车8个车位都可停车， 第二辆黑色车只能有3个车位可停车，黑色车共有种方法， 不妨设黑色车停在,两个车位，则两白色车只能停共7种选择， 白色车的停车方法共有种方法，故共有种方法， 其概率是，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题D选项首先分析出黑色车有24种方法，然后通过假设黑色车停在,两个车位，则两白色车有车中选择，则白色停车方法有14种，最后利用分步乘法和古典概型公式即可得到答案. 3．（多选）（23-24高二上·云南曲靖·期末）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（    ） A．“取出的鞋不成双”的概率等于 B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 C．“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于 D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于 【答案】ABC 【分析】对于A，求出取出的鞋不成双的可能，然后利用古典概型公式判断；对于B，求出取出的鞋都是左鞋的可能，然后利用古典概型公式判断；对于C，由B选项结论，以及加法公式可判断；对于D选项，求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双的可能，然后利用古典概型公式判断. 【详解】对于A，可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成双”的可能情况数， 所以“取出的鞋不成双”的概率为，故A正确； 对于B，从4只左鞋里面取两只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可能情况数， 所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正确； 对于C，由B选项可知，“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于， 所以“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于，故C正确； 对于D，可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚的，一只是右脚的，满足题意的可能情况数， 所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是熟练利用组合数公式的实际意义、古典概型公式还有加法、乘法计数原理等，从而即可顺利得解. 4．（20-21高二下·浙江·期末）现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，两人也不相邻，而两人必须相邻，则不同的排法总数为 ．（用数字作答） 【答案】240 【分析】把排列，产生4个空位，然后将看作一个整体与插入到中可求解. 【详解】解：因两人必须相邻，所以把看作一个整体有种排法. 又三人互不相邻，两人也不相邻，所以把排列，有种排法，产生了4个空位，再用插空法. （1）当分别插入到中间的两个空位时，有种排法，再把整体插入到此时产生的6个空位中，有6种排法. （2）当分别插入到中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有种排法，此时必须排在中间的两个空位的另一个空位，有1种排法. 所以共有. 【点睛】方法点睛：在排列组合中“相邻问题”用捆绑法策略处理；“不相邻问题”用插空法策略处理. 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，），已知，则集合A中的元素个数可表示为，又有且． (1)求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率； (2)求集合B中所有元素之和为奇数的概率． (3)取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意） 【答案】(1)1350，； (2)； (3)96种 【分析】（1）根据题意，得到必为偶数，得出连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数，得到数列奇偶项分布为1偶2奇，记A中奇数元素的个数为m，求得，结合集合C的非空子集共有种，进而求得相应的概率； （2）设事件N：B中所有元素之和为奇数，A中所有的偶数元素的集合为D，B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E，分别求得中的种数，进而求得相应的概率； （3）根据题意，得到不能连续排列，分，，，，，各自捆绑，2组捆绑，1组分散，1组捆绑，2组分散，以及3组均分散，四种情况，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】（1）解：对于数列中的连续3项，，，由， 可得，即必为偶数， 则连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数， 又由为偶数，可得与同奇同偶， 可知数列奇偶项分布为1偶2奇． 记A中奇数元素的个数为m，则， 集合B中所有元素之积为奇数，则B中所有元素为奇数， 设A中所有的奇数元素的集合为C，，且， 则集合B的元素组成情况，即集合C的非空子集共有种， 设事件M：B中所有元素之积为奇数， 则． （2）解：设事件N：B中所有元素之和为奇数，设A中所有的偶数元素的集合为D．B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E， 则，，， 其中，且为奇数， 则集合B中的偶数元素的组成情况，即F的情况有种， 则集合B中的奇数元素的组成情况，即E的情况有种， 所以． （3）解：由除以3的余数为1，记为，； 除以3的余数为2，记为，； 能被3整除，记为，， 由条件可知，不能连续排列， ①，，，，，各自捆绑，则有种排列方案； ②其中2组捆绑，1组分散，以，，，捆绑为例，则仅有或方案， 则有种方案； ③其中1组捆绑，2组分散，以，捆玤为例，在中插空，则必会出现连续， 即相邻3项和被3整除，不合题意； ④3组均分散，则必有连续排列，不合题意， 综上，共有种方案． 二．涂色问题（共5小题） 1．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【答案】A 【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可 【详解】满足条件的摆放方案可分为两类， 第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种， 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）斐波那契时钟是一种基于斐波那契数列设计的特殊时钟．钟面上是5个正方形方块，每个方块对应的数值分别是斐波那契数列里的前5个数：，方块的数值固定，颜色可变化，可呈现红色、蓝色、绿色、白色．人们根据方块对应的数值和颜色计算时间，规则如下：小时数红色方块数值蓝色方块数值；分钟数（绿色方块数值蓝色方块数值）；呈现白色时忽略．如图表示时间为，则当表示时间为时，数值为5的方块为白色的概率为 ． 【答案】/0.25 【分析】由题意：小时数红色方块数值蓝色方块数值；分钟数（绿色方块数值蓝色方块数值），可知蓝色方块数值可以既用来表示小时数，也可以用来表示分钟数，接下来就是对这五个区域着色，按数值为5的方块着色，分四类列举讨论即可得到结果. 【详解】 当表示时间为时，小时数为6，则红蓝；分钟数为30， 则（绿蓝）30，所以绿蓝．故红绿，则各方块的颜色情况如下． （1）如图1，当数值为5的方块为白色时，剩下方块的数值分别为， 若2，3为蓝色，1，1为一红一绿，则有2种情况；若为蓝色，另一个1为白色， 则有2种情况，（提醒：此时钟面上不出现红色和绿色的方块）总计4种情况． 图1 （2）如图2，当数值为5的方块为蓝色时，剩下方块的数值分别为， 若2，3为白色，1，1为一红一绿，则有2种情况；若2，3为白色，1，1为一蓝一白， 则有2种情况，总计4种情况． 图2 （3）如图3，当数值为5的方块为红色时，剩下方块的数值分别为， 若1，1为一蓝一白，2，3为绿，则有2种情况；若1，1为一红一绿，2，3为绿色， 则有2种情况，总计4种情况． 图3 （4）当数值为5的方块为绿色时，因为红绿，由（3）可知，也有4种情况． 综上，总计有16种情况，其中数值为5的方块为白色时有4种情况，所以． 故答案为：. 3．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 . 【答案】 【分析】根据题意，第一个的方格有种涂法，假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色，分类求得不同的涂色方法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】设四种颜色分别为，对于第一个的方格，共有种不同的涂法， 假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色， ①若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或， 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； ②若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或， 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 所以，共有类涂法，则共有种不同的涂色方法. 故答案为：. 4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法. 【答案】 【分析】根据题意，分类讨论，若、同色．若、不同色，由分类加法原理，计算可得答案. 【详解】图中区域分别为，，，，，则分类讨论， 若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、， 共有种不同方法． 若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有， 最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法， 综上，所有的涂法共有种. 故答案为： 5．（20-21高三上·黑龙江牡丹江·期末）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案. 【答案】96 【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和． 【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为种． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题． 三．杨辉三角形（共4小题） 1．（多选）（23-24高二上·河南南阳·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第12个数与第13个数之比为 【答案】AB 【分析】对于A：利用性质计算即可；对于B：利用的展开式的二项式系数计算；对于C：代入，利用二项式定理计算即可；对于D：利用的展开式的二项式系数计算 【详解】对于A： ，A错误； 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误； 对于C：第行的第个数为， 则，C正确； 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第12个数为，第13个数为， 则，D正确. 故选：AB. 2．（多选）（23-24高二上·广东广州·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（    ） 第1行       1  1 第2行      1  2  1 第3行     1  3  3   1 第4行    1  4  6   4   1 第5行   1  5  10  10  5  1 第6行  1  6  15  20  15  6  1 ……             …… A．第9行中从左到右第6个数是126 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C. 【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由二项式系数的性质，得，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：ABD 3．（多选）（22-23高二下·湖南益阳·期末）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有论述.在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是“肩上”两个数之和，例如第4行的6为第3行中的两个3的和.下列命题中正确的是（    ）      A． B．第2022行中，第1011个数最大 C．记“杨辉三角”第行第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 【答案】ACD 【分析】根据二项式系数的性质，组合数的定义与性质判断. 【详解】选项A， ，A正确； 选项B，第2022行的数是（），最大的是第1012个数，B错； 选项C，，，C正确； 选项D，第34行中，第15个数与第16个数分别是和，，D正确， 故选：ACD． 4．（22-23高二下·云南保山·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的第3个数6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第行的第个数为，请用组合数第行写出 ，则 .    【答案】 【分析】①根据题意，通过观察分析即可. ②当时，则有，结合二项式定理分析可得答案，并验证，即可. 【详解】①根据题意分析可得； ②由题意知，当时，. 当时，，也适合， 综上，. 故答案为：①；②. 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）图是一个 11阶的杨辉三角： (1)求第22行中从左到右的第3 个数； (2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为1：3：5?若存在，试求出这三个数：若不存在，请说明理由. (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关.如：从第3行开始，除了1以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和；请尝试证明：当，，， 【答案】(1)231 (2)7，21，35 (3)证明见解析 【分析】（1）直接利用二项式定理求解. （2）可设第行的第，，三个相邻的数之比为，列出方程，求出，的值，再求出这三个数. （3）先总结表达结论，结合，可得，再利用该结论证明原结论. 【详解】（1）第22行中从左到右的第3个数为：. （2）设第行的第，，三个相邻的数之比为，则 . 所以这3个数是：，，，即7，21，35. （3）当时，结论显然成立； 当时，，. 由题意：. 所以， 因此 【点睛】关键点点睛：本体的关键点时利用组合数的计算公式和组合数的性质进行计算.首先根据组合数公式得到，再结合组合数性质得到，再对目标式子进行化简整理. 四．条件概率与全概率公式（共6小题） 1．（23-24高二下·河北·期中）小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为. 2．（23-24高二下·福建·期中）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一：继续投掷之前抽取的那枚硬币；方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷．不管选择方案一还是方案二，如果掷出正面向上，则获奖 (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率； (2)若已知某顾客进入了最终挑战，求他抽到的硬币是正常硬币的概率； (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 【答案】(1) (2) (3)选择方案一的概率为，选择方案二的概率为，选择方案一获奖概率更高更合适. 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可求解； （3）根据两种不同的方案，结合题意，求出不同的概率，比较后即可判断. 【详解】（1）设第一次抽到正常硬币为事件，抽到双面都印着字的硬币为事件， 抽到双面都印着花的硬币为事件， 第一次投掷出正面向上为事件， 第二次投掷出正面向上为事件， 选择方案一进行第三次投掷并正面向上事件， 选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件， 由全概率公式可得，， ， （2）由题意知：连续两次都是正面的概率为： ， 所以， 所以； （3）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， 则 ， ，， 如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为元， 第三次投掷出正面向上为事件， ①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； ②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件， 第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件， 则 ； 所以，， ， 综上（一）（二）可得，，所以选择方案一的获奖概率更高更适合. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并正确使用条件概率公式和全概率公式，求解概率. 3．（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可； （2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. （2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， （i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为， （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为. 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）首届奥林匹克电竞周于2023年6月22日至25日在新加坡举行，这是国际奥委会旗下首个以“电子竞技（ESPORTS）”命名的线下赛事.首届奥林匹克电竞周的设项非常谨慎，十款官方竞赛游戏相当于虚拟的射箭、棒球、国际象棋、自行车、舞蹈、赛车、帆船、射击、跆拳道和网球比赛.然而，与英雄联盟、王者荣耀、和平精英等杭州亚运会电竞项目相比，这十款游戏由国际奥委会、国际单项体育联合会以及游戏开发商基于真实体育运动规则和场景开发，通过虚拟现实技术来获得沉浸式运动体验.以虚拟跆拳道比赛为例，我国跆拳道奥运冠军吴静钰也受邀参赛，她将通过头戴式VR设备以及身上的感应装置，与对手在虚拟世界进行一对一非接触式比赛，不必担心现实中的风险和伤害.已知该项赛事的后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下： 第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组. 第二轮：胜者组的两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组：第一轮落入败者组的两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组. 第三轮：败者组的两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）：获胜队伍成为败者组第一名. 第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军. 假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立.问： (1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？ (2)已知队伍B在上述赛事后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知得获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，再利用相互独立事件的概率公式计算即得. （2）用字母表示出相关事件，将所求概率的事件进行分拆并计算出概率，再利用条件概率公式进行求解. 【详解】（1）依题意，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利， 失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵， 所以所求的概率为. （2）设表示队伍在比赛中胜利，表示队伍在比赛中失败， 设事件：队伍获得亚军，事件：队伍所参加的所有比赛中败了两场， 则事件包括，且这五种情况彼此互斥， 于是 ， 事件包括，且这两种情况互斥， 则， 因此， 所以队伍在败两场的情况下获得亚军的概率为. 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束. 已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜,最多比赛四场结束且甲队获胜，对应如下应事件，利用独立事件和互斥事件的概率计算即可得出结果； （2）事件表示第一场甲获胜，则事件A表示甲以3：1获胜，即求条件概率，由，计算即可得出结果. 【详解】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜 （2）设事件表示第一场甲获胜，事件A表示甲以3：1获胜，则 . 所以A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为. 五．二项分布与超几何分布（共5小题） 1．（22-23高二下·海南海口·期末）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和.现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格. (1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为X，求X的分布列； (2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】 （1）先得到剂型与合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列； （2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，注意取值条件. 【详解】（1）剂型合格的概率为：；剂型合格的概率为：． 由题意知：X的所有可能取值为0，1，2．则， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 P （2）检测3人确定“感染高危户”的概率为， 检测4人确定“感染高危户”的概率为， 则． 令，因为，所以， 原函数可化为． 因为，当且仅当，即时等号成立． 此时，即． 【点睛】关键点点睛：第二问，首先求出检测3、4人确定“感染高危户”的概率，则为它们的概率之和，整理化简并构造，应用基本不等式研究最大值即可. 2．（21-22高二下·辽宁大连·期末）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率； (2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为可选作为“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)12轮 【分析】（1）根据已知条件结合条件概率的概率公式求解， （2）的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望， （3）根据题意，结合二项分布的概率公式求解 【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30， 其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个， 设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”，事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人” 则， ， 所以 （2）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校有4所，则的可能取值为0，1，2，3， , , , , 所以的分布列为 0 1 2 3 所以 （3）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为 ， 所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满足 ， 由，得， 所以理论上至少要进行12轮测试 3．（21-22高二下·辽宁丹东·期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立. (1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）； (2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率； (3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望. 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可. (2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果. (3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望. 【详解】（1）由题设, 服从参数为 的两点分布, . （2）记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”; 记 表示事件: “甲投中花球”, 则 于是 （3）由题设 值可取 , 则 于是 4．（22-23高二下·山东烟台·期中）某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响． (1)求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率； (2)若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合二项分步分析运算； （2）根据期望公式结合与之间的关系分析运算. 【详解】（1）设甲生产10件产品中合格品的件数为，则， 则， 所以甲只生产10件产品即结束考核的概率. （2）由（1）可知：，， 可得随机变量的期望， 故， 由题意可得：，或， 则 ， 故随机变量X的数学期望. 5．（23-24高三上·山西运城·期末）某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响. (1)若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列； (2)若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据得到方程，求出，求出X的所有可能值及对应的概率，得到分布列； （2）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，则，，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论. 【详解】（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为， 于是得，解得， X的所有可能值为0，2，3，5， ，， ，， 所以X的分布列为： 0 2 3 5 （2）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为， 则，， 则两人都选择方案A投篮得分和的均值为， 都选择方案B投篮得分和的均值为， 则， ， 若，即，解得； 若，即，解得； 若，即，解得. 所以当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大； 当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等； 当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大. 6．（23-24高二下·辽宁大连·期中）清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题. (1)从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望； (2)从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)，7. 【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列；由期望公式，即可求得数学期望. （2）人中只有1人两项都游览可得，再利用错位相减法求和即得答案. （3）利用二项分布的概率求出，再借助最大概率问题列出不等式组求解即得. 【详解】（1）的可能取值为，则， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 数学期望. （2）由人的合计得分为分，得其中只有1人两项都游览，则， 设， 则， 两式相减得， 所以. （3）依题意，， 设最大，则，即， 整理得，即，解得，而，因此， 所以当时，. 7．（23-24高二下·浙江·期中）19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 【答案】(1)①；②1250次； (2) 【分析】（1）①依题意可知，则，利用二项分布的概率公式计算可得；②由，即可得到、，结合切比雪夫不等式计算可得； （2）依题意可得，根据二项分布的概率公式计算，求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）①由题意， 所以. ； ②由题意，则，， 若，则， 所以， 又，解得，即发射次数至少为次. （2）依题意， 则， ， 又 ，解得， 又，所以当时，最大. 六．正态分布（共7小题） 1．（23-24高三上·河北保定·期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（    ） （附：若，则， A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865 【答案】B 【分析】正态随机变量的均值方差可由二项分布的均值方差公式来近似，根据题中所给数据运算即可得解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为， 则. 由题意，且， 因为，即， 所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为. 故选：B. 2．（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 3．（多选）（23-24高三上·山东聊城·期末）尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化.一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高（单位：）的情况，得出，则下列说法正确的是（    ） A．该地植被株高的均值为100 B．该地植被株高的方差为10 C．若，则 D．随机测量一株植被，其株高在以上的概率与株高在以下的概率一样 【答案】AC 【分析】由于，所以，从而可直接判断A，B，对于CD，利用正态分布的对称性分析判断. 【详解】解：因为，所以， 对于A，因为，所以均值为100，所以A正确; 对于B，因为，所以方差为100，所以B错误； 对于C，因为，所以，解得，所以C正确； 对于D，因为， ， 所以随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大， 所以D错误 故选：AC. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 【答案】 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】技术改造前，易知， 则其优品率为； 技术改造后，其中， 则其优品率为； 所以优品率之差为. 故答案为： 5．（22-23高二下·湖南长沙·期中）为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为，用样本的频率估计总体的概率. (1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率； (2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量的期望. 【答案】(1)0.65； (2)1.5. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及全概率公式求解作答. （2）由（1）的结论，结合正态分布的对称性求出该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率，再利用二项分布求出期望作答. 【详解】（1）记随机抽取1名学生分别来自高一、高二、高三的事件为，抽取的1 名学生每周运动总时间超过5小时的事件为， 于是，, 因此 ， 所以该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65. （2）该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），， 则有，由（1）知，，于是， 因此，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3， 依题意，，则, 所以随机变量的期望为1.5. 6．（22-23高二下·山东潍坊·期中）从传统旅游热点重现人山人海场面，到新兴旅游城市异军突起；从“特种兵式旅游”出圈，到“味蕾游”兴起；从文博演艺一票难求，到国风国潮热度不减……2023 年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息.这个“五一”假期，您在游玩时的满意度如何?您对景区在“吃住行游购娱”等方方面面有哪些评价和感受?为此，某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评（满分100分）. (1)本市一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计，得到如下频率分布表. 成绩 [0，20） [20，40） [40，60） [60，80） [80，100] 频率 0.1 0.1 0.3 0.35 0.15 按照分层抽样的方法，先从样本测评成绩在[0，20），[80，100]的游客中随机抽取5人，再从这5人中随机选取3人赠送纪念品，记这3人中成绩在[80，100]的人数为X，求X 的分布列及期望； (2)该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”，并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x与“好评”率y，如下表所示： x 32 41 54 68 74 80 92 y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据初步判断，可选用作为回归方程. （i）求该回归方程; （ii）根据以上统计分析，可以认为本市各景区满意度测评平均成绩x~N（μ，400），其中μ近似为样本平均数a，估计该市景区“好评”率不低于0.78的概率为多少? 参考公式与数据：若，则， 线性回归方程中， 若随机变量，则 【答案】(1)分布列见解析，1.8 (2)（i）；（ii）0.1585 【分析】（1） 根据分层抽样的性质可知X的取值范围是{1，2，3}，然后算出每一个值对应的概率，列出分布列，代入均值的计算公式即可求解； （2）（i）根据题中所给数据，利用最小二乘法即可求解方程； （ii）利用正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）按照分层抽样的方法，测评成绩在[0，20）的游客有2人，[80，100]的游客有3人，则X的取值范围是{1，2，3}， E（ X） = 1×0.3 +2 ×0.6 +3 ×0.1 =1.8. （2）（i）对两边取对数得，令，则 根据所给公式可得，    又因为   所以，即k≈0.15， 所以该回归方程为 （ii）由（i）及参考数据可得  μ≈=63，σ=20， 由y≥0.78即（可得 又μ+σ=83，P（μ-σ<x<μ+σ）≈0.683              由正态分布的性质得 估计该市景区“好评”率不低于0.78 的概率为0.1585. 7．（22-23高二下·江西景德镇·期中）为了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨（t）），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）； (2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于0.6t的亩数； (3)以直方图中的频率估计概率，在所有田地中随机抽取4亩，设这4亩中亩产量不低于1.0吨的亩数为，求随机变量的期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)； (2)万亩； (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图，求出亩产量在各分组区间内的频率，再估计平均亩产量作答. （2）利用（1）的结论，利用正态分布的对称性求出亩产量不低于0.6t的概率，再估计亩数作答. （3）用频率估计概率，求出亩产量不低于1.0吨的概率，利用二项分布的期望公式计算作答. 【详解】（1）由频率分布直方图知，亩产量在区间 的频率依次为， 由，得， ， 所以这100亩水稻平均亩产量的估计值为. （2）由（1）知，，而，则， ， 所以估计亩产量不低于0.6t的亩数是（万亩）. （3）由频率分布直方图及（1）知，亩产量不低于1.0吨的频率为，由频率估计概率， 则亩产量不低于1.0吨的概率为， 因此4亩中亩产量不低于1.0吨的亩数， 所以随机变量的期望. 七．概率与数列，导数交汇（共5小题） 1．（2024·辽宁·三模）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． (1)求随机变量X的分布列及数学期望； (2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；② 【分析】（1）列出随机变量的可能取值，并根据超几何分布计算每个可能取值的概率，并计算分布列和数学期望； （2）①根据第三次交流中甲被选择，第二次交流中甲未参与，计算概率即可； ②根据第次被选择的概率，第次未被选择的概率，得出数列递推公式，再通过数列计算通项即可. 【详解】（1）由题随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以随机变量的数学期望． （2）①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为． 其他三名同学被选择的概率相等． 比赛由甲同学起稿建立模型， 第三次交流中甲被选择， 所以第二次交流中甲未参与． 设“第三次交流中甲被选择”， 则． ②第次交流中甲被选择， 则第次交流中甲未被选择． 设第次交流中甲被选择的概率为． 则， 所以，且． 所以， 所以． 2．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)求的值． (2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率． (3)记． （i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式． （ii）求的分布列及数学期望．（用表示） 【答案】(1)， (2) (3)（i）证明见解析，；（ii）分布列见解析， 【分析】（1）根据题意，弄清楚，表示的事件，利用互斥事件和独立事件的乘法公式计算概率； （2）由（1）知，交换一次不会出现的情况，而，利用间接法求得答案； （3）根据题意，可得，，由此可得与的递推关系式，变换可证是等比数列；由题意得的所有可能取值为，求出对应概率得解. 【详解】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色卡片”的概率， 包含两种情况：第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片. 则． 所以； 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换银色卡片；第一次甲交换银色卡片， 第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，乙交换金色卡片. 则. （2）结合（1）的计算得，即交换一次不会出现的情况， 而，则操作两次就会首次出现0张，其概率为. （3）根据题意可得． ． （i）， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． （ii）由已知及（1）（2），得的所有可能取值为． 其分布列为 0 1 2 从而. 【点睛】关键点睛：本题的第三小问，解题的关键是根据题意分析得到，，由此得到与的递推关系式，得解. 3．（2024·广西南宁·二模）2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练 (1)求抽到甲参与传球训练的概率； (2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望； (3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用选取组合数公式，立即可得到； （2）其的可能取值为0，1，2，3，并且满足超几何分布列，利用超几何分布的概率公式求解即可； （3）解法一：假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，结合题意得到，从而构造成是等比数列，再用累加法可求得通项，即求得结果；解法二：利用递推数列思想，假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，从而可得递推关系，然后构造等比数列求出概率通项公式. 【详解】（1）设“抽到甲参与传球训练”记为事件，则. （2）由题意知的可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 即. （3）解法一：设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，， 易得：，， 当时，，，， 则， 由，得，， 代入，得， 则，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， 则时：，，， 由累加法得： ，可得， 又令时，，满足， 所以. 解法二：经过次传球后，排球被甲接到球的概率为． 则，即 而， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，则 【点睛】关键点点睛：第三问构造递推关系，即先假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，然后根据要传给某一个人，则必须由前一次球传给另两个人的事件概率，再利用全概率公式就可得到传给这个人的概率如：，，；如果是假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，则有，只有找到递推关系，再利用构造成等比数列来研究通项，还可以利用累加法来研究通项. 4．（2024·浙江杭州·二模）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． 注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计． 具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 【答案】(1)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）； (2)，答案见解析 【分析】（1）（ⅰ）分与计算即可得；（ⅱ）结合题意与所得表格即可得解； （2）求取函数的导数，借助导数得到函数的最大值点，即可得解. 【详解】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或； （ⅰ）当时，，， 当时，，， 表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）由上表可知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 所以； （2）由， 则， 令， 即， 故，即当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取函数取最大值时的，得到. 5．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 【答案】(1)见解析 (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）求出求的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式求出； （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，向下移动步，表示出，由组合数公式化简即可得出答案；（ii）利用题目条件可证明，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 【详解】（1）粒子在第秒可能运动到点或或的位置，的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： . （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步， 向下移动步，故 . 故. （ii）利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有：， 即为不超过的最大整数，则对任意常数，当时， ，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 【点睛】关键点睛：本题第二问（ii）的关键点在于利用可得，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 八．非线性回归拟合（共5小题） 1．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型 ①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；；； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程 ． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】 ① 【分析】由残差图可知模型①拟合度更高，由此可得第一空结果；令，利用最小二乘法可求得与温度的线性回归方程，由此可求得产卵数关于温度的回归方程即可. 【详解】第一空：应该选择模型①. 由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适. 第二空：令，与温度可以用线性回归方程来拟合，则. ，， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数关于温度的回归方程为. 故答案为：①； 2．（22-23高二下·四川资阳·期末）某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入（单位：亿元）与年份代码共10组数据，其中年份代码，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到下图所示的残差图．    根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 75 2.25 82.5 4.5 121.4 28.82 (1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据①中所选模型，求出关于的回归方程；根据该模型，求该公司2028年高科技研发投入的预报值．（回归系数精确到0.01） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)应该选择模型②，理由见解析 (2)，86.19（亿元）． 【分析】（1）根据残差图即可求解， （2）根据最小二乘法求解线性回归方程，即可换元得非线性回归方程，代入即可求解预测值. 【详解】（1）应该选择模型②． 由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适． （2）根据模型②，令，研发投入与可用线性回归来拟合，有． 则， 所以，则关于的线性回归方程为． 所以，关于的回归方程为． 2028年，即时，（亿元）． 所以，该公司2028年高科技研发投入的预报值为86.19（亿元）． 3．（22-23高二下·广东江门·期末）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下： x 2 3 4 6 8 10 13 y 13 22 31 42 50 56 58    根据散点图，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：；模型②： (1)求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； (2)比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1） 线性回归方程的系数： ，； 模型的决定系数：． 参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中． 【答案】(1) (2)模型①中的决定系数小于模型②的决定系数；模型②的拟合效果更好；人工投入增量至少需要20人. 【分析】（1），先求出关于的线性回归方程，进而可求y关于x的回归方程； （2）代入公式分别求出模型①和模型②的决定系数比较大小即可，进而可判断模型②的拟合效果更好；再通过解不等式即可得至少人工投入增量人数. 【详解】（1）令，则模型②为：， 由，，，， 得， ， 所以模型②中y关于x的回归方程是. （2）模型①中的决定系数， 模型②的决定系数， 因为，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数， 所以模型②的拟合效果更好. 在模型②下，年收益增量超过80万元， 则有，所以， 所以人工投入增量至少需要20人. 4．（21-22高二下·江苏常州·期中）某校高中数学兴趣小组的同学们计划建立“LG”模型来模拟某种疾病的发展过程，“LG”模型如下：（x的单位：天，x∈N*），其中a，b是常数.同学们统计了某阶段连续10天的数据（xi，yi）（i=1，2，⋯，10），令为了便于研究，对数据作了处理，得到下面的统计量. 5.5 0.0000222 10.9 82.5 0.0003878 -16.5 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋯，（un，vn），其回归直线 参考数据：ln9≈2.197，ln10≈2.303. (1)根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)当y>0.9时，标志着已经初步遏制病情，估计x至少取多少天时，病情开始得到遏制. 【答案】(1) (2)71天 【分析】（1）根据表中数据，套用线性回归方程公式求解即可； （2）对该线性回归方程化简整理，根据题意结合不等式的性质以及指数对数的运算即可求解． 【详解】（1）由题可知，z和x呈线性回归关系. 设线性回归方程为 则 . 故 又∵ ∴y与x线性回归方程为 （2）∵ ∵，即 当9时.，即， ∴，即 又∵， ∴ 故x至少取71天时，病情开始得到遏制. 5．（22-23高二下·山东德州·期中）在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策． 月份 1 2 3 4 5 销售量（万斤） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 3 7.2 11 81.1 374 该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：．表中：，． (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1，的值精确到整数位）； (2)已知该工厂的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】(1) (2)6月份的月利润最小 【分析】（1）根据最小二乘法公式分别求得，即可. （2）利用基本不等式求函数最值. 【详解】（1）由题意，，令得 所以， ， 所以y关于x的回归方程为 （2）由（1）知，故 当且仅当即时等号成立． 所以该工厂6月份的月利润最小． 九．独立性检验与概率统计综合（共5小题） 1．（21-22高二下·福建福州·期末）《道路交通安全法实施条例》第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为．会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人． (1)完成下面的列联表，并由表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？ 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 (2)采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为开车时使用手机的女性司机人数，求的分布列和数学期望． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1)列联表见解析；依据小概率值的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关． (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）先完成列联表，计算出，再与进行大小比较，进而得到开车时使用手机与司机的性别是否有关； （2）先求得随机变量的所有可能取值及其相对应的概率，进而得到的分布列，再利用随机变量期望公式即可求得的数学期望. 【详解】（1）由已知数据可得列联表如下： 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 25 20 45 女性司机人数 15 40 55 合计 40 60 100 提出假设：开车时使用手机与司机的性别无关， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关． （2）采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人， 其中的男性司机人数为：人；女性司机人数为：人． 由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3， 因为；； ；． 则的分布列为： 0 1 2 3 则． 2．（23-24高三上·福建福州·期末）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8. (1)求王同学第2天去餐厅用餐的概率； (2)如果王同学第2天去餐厅用餐，求他第1天在餐厅用餐的概率； (3)餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升.改造提升后，餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）. 就餐满意程度 餐厅改造提升情况 合计 改造提升前 改造提升后 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计 40 60 100 依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于餐厅的就餐满意程度与餐厅的改造提升有关联？如果有关联，请分析两者的影响规律. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)； (2)； (3)有关联，答案见解析. 【分析】（1）设事件：第天去餐厅用餐，事件：第天餐厅用餐，其中，，利用全概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用条件概率公式可计算出所求事件的概率； （3）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论，分别计算出改造提升前后满意率与不满意率进行对比，即可得到结论. 【详解】（1）设事件：第天去餐厅用餐，事件：第天餐厅用餐，其中，, 王同学第2天去餐厅用餐的概率为：； （2）如果王同学第2天去餐厅用餐，那么他第1天在餐厅用餐的概率为：; （3）提出零假设：学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联. 由题可得： 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联. 从表中的数据计算：改造提升前满意率与不满意率分别为，改造提升后满意率与不满意率分别，；由，可见被调查中，改造提升前不满意率的频率是改造提升后不满意率的频率的6倍.所以根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为餐厅改造提升后学生不满意率明显下降，所以学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 30 10 40 乙校 20 20 40 合计 50 30 80 (1)依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因． (2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率． 附：临界值表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由卡方公式进行求解即可； （2）利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系， 所有数据都扩大10倍后： 这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系， 所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样， 主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高. （2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为： ， 记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”， 则， ， 所以 ， 所以从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为： . 4．（23-24高二上·江西·期末）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级主播的学历层次 优秀 良好 合计 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 (1)是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ (2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势； (3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有 (2)，在事件条件下发生有优势 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据公式可求的值，结合临界值表可判断是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联． （2）根据条件概率公式可求，据此值可判断在事件条件下发生有优势. （3）利用超几何分布可求的分布列，根据公式可求其期望. 【详解】（1）由题意得． 由于，所以有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联． （2）， 因为，所以认为在事件条件下发生有优势． （3）按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人， 随机变量的可能取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 P 所以数学期望． 5．（23-24高三上·河南周口·期末） 绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表： 喜欢旅游 不喜欢旅游 总计 男性 20 30 50 女性 30 20 50 总计 50 50 100 (1)利用以上数据，判断能否依据小概率值的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关？ (2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望． 附： ，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢旅游与性别有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果； （2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求. 【详解】（1）因为， 所以依据小概率值的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关； （2）任取一人喜欢旅游的概率， 由题意可知：，的可能取值为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列为： 所以（或者）. $$