专题01 高二下期末真题精选（常考题 考题猜想，19种题型）-【期末大串讲】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题01 高二下期末真题精选（常考题 考题猜想，19种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 两个计数原理综合（共3小题） · 排列数与组合数的计算（共4小题） · 组合数的性质应用（共4小题） · 相邻与不相邻问题（共5小题） · 特殊元素（位置）优先（共5小题） · 间接法（共4小题） · 分配问题（共4小题） · 涂色问题（共4小题） · 二项展开式的第项（共4小题） · 二项式系数（和）（共4小题） · 系数和，系数最值（共8小题） · 两个二项展开式，三项展开式系数问题（共6小题） · 条件概率（共5小题） 全概率公式和贝叶斯公式（共6小题） 二项分布和超几何分布（共7小题） 正态分布（共9小题） 十七．一元线性回归模型（共6小题） 十八．相关系数（共6小题） 十九．独立性检验（共6小题） 一．两个计数原理综合（共3小题） 1．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 2．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 3．（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 二．排列数与组合数的计算（共4小题） 1．（23-24高二下·山东枣庄·期中）下列公式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东清远·期中）不等式的解集为 . 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）关于的方程的解是 ． 4．（20-21高二下·安徽滁州·期末）求解下列问题： （1）计算：； （2）解方程：. 三．组合数的性质应用（共4小题） 1．（23-24高二下·湖北·期中）已知，则（   ） A．3或9 B．9 C．3 D．6 2．（23-24高二下·河北·期中）若，则的值为（    ） A．35 B．34 C．56 D．55 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 4．（23-24高二下·湖北·期中）若，则正整数的值为 . 四．相邻与不相邻问题（共5小题） 1．（23-24高二下·湖南·期中）王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（    ） A．120种 B．72种 C．48种 D．36种 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（    ） A．480种 B．360种 C．240种 D．600种 3．（23-24高二下·河北石家庄·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有 种排法. 4．（23-24高二下·上海·期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 种 5．（23-24高二下·山东泰安·期中）从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答） (1)甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法? (2)甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法? (3)甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法? 五．特殊元素（位置）优先（共5小题） 1．（23-24高二下·河北张家口·期中）某天要排语文、数学、体育、计算机、物理、化学六节课，上午四节下午两节，其中体育不排在上午第一节和下午第一节，那么这天课程表的不同排法共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．480种 2．（23-24高二下·湖北武汉·期中）学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 3．（23-24高二上·天津滨海新·期中）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有 个. 4．（23-24高二下·四川南充·期中）分别从和中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有 个. 5．（23-24高二下·贵州遵义·期中）杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为 ． 六．间接法（共4小题） 1．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）为了迎接期中考试，某同学要在5月1日安排6个学科的复习任务，上午安排3科，下午安排2科，晚上安排1科，为了提高学习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且语文和英语两科的复习时间不连在一起（上午最后一节和下午第一节不算连在一起，下午最后一节和晚上也不算连在一起），那么6个学科复习的顺序安排总共有（    ）种. A．240 B．480 C．540 D．696 2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）截至目前，联合国共设5个常任理事国，10个非常任理事国，现从这15个国家中选取3个国家，且至少包含一个常任理事国，则共有的选法种数为（    ） A．120 B．410 C．335 D．455 3．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 4．（23-24高二下·上海·期中）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的选法有 种 七．分配问题（共4小题） 1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（    ） A．18 B．36 C．54 D．72 2．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东泰安·期中）为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（    ） A．1200 B．1560 C．2640 D．4800 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为 . 八．涂色问题（共4小题） 1．（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（    ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 2．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 3．（23-24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 九．二项展开式的第项（共4小题） 1．（22-23高三上·北京通州·期末）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（20-21高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 3．（23-24高三上·湖北·期中）的展开式中的常数项为 （用数字作答）， 4．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）的展开式中常数项为 . 十．二项式系数（和）（共4小题） 1．（多选）（22-23高二下·贵州安顺·期末）在的展开式中，则（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项 2．（22-23高二下·天津·期末）在的展开式中，二项式系数和是32，的系数为 . 3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为 . 4．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为 （用数字作答） 十一．系数和，系数最值（共8小题） 1．（多选）（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高二下·河北唐山·期末）关于的说法正确的是（    ）． A．展开式中二项式系数之和为1024 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中只有第6项的系数最小 D．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大 3．（23-24高二下·北京·期中）设，则 ； . 4．（23-24高二上·安徽亳州·期末）（1）求除以15的余数； （2）若，求的值； （3）求展开式中系数最大的项． 5．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）已知的展开式中倒数第三项的二项式系数为45. (1)求展开式的第7项； (2)求所有偶数项的系数和. 6．（22-23高二下·四川眉山·期中）设求； (1) (2). 7．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知的展开式中，所有项的系数之和是512. (1)求展开式中有理项有几项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 8．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知在的展开式中，第9项为常数项.求： (1)的值： (2)展开式中的系数； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 十二．两个二项展开式，三项展开式系数问题（共6小题） 1．（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．20 B．15 C．6 D．3 2．（23-24高二下·江苏无锡·期中）展开式中的系数为（   ） A．60 B． C．30 D． 3．（22-23高二下·山东青岛·期末）在的展开式中，含的系数为 . 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知的展开式中常数项为，则 ． 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）． 十三．条件概率（共5小题） 1．（23-24高二上·江西·期末）已知事件与事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.  在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西柳州·期中）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 5．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 十四．全概率公式和贝叶斯公式（共6小题） 1．（22-23高二上·江西南昌·期末）设某厂有甲､乙､丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的20%，30%，50%，并且各车间的次品率依次为5%，2%，3%，现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品是由乙车间生产的概率为多少？ 2．（22-23高二下·福建三明·期末）某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，这三个车间的产量分别占总产量的百分比及所生产产品的不合格率如下表所示： 车间 甲车间 乙车间 丙车间 产量占比 不合格率 设事件“从该厂产品中任取一件，恰好取到不合格品” (1)求事件的概率； (2)有一用户买了该厂一件产品，经检验是不合格品，但该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，判断该产品来自哪个车间的可能性最大，并说明理由． 3．（23-24高二下·湖北·期中）编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同） (1)现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子的条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？ (2)现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？ 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为． (1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率； (2)求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率． 6．（23-24高二下·河北张家口·期中）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”， (1)求，，2，3， (2)若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率.（用分数作答） 十五．二项分布和超几何分布（共7小题） 1．（21-22高二下·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 2．（20-21高三上·内蒙古赤峰·期中）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，. (1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率； (2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望. 3．（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 4．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： (1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 5．（22-23高二下·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 6．（23-24高二上·四川凉山·期中）某中学举行一次知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两道题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为. (1)若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率； (2)当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 7．（22-23高二下·山东临沂·期中）甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲､乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 十六．正态分布（共9小题） 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．（23-24高三上·浙江金华·期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（    ） 参考数据：若，则 A．3173 B．6346 C．6827 D．13654 3．（23-24高三上·海南·期末）若随机变量，且，则 ． 4．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）某学校考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为 ． 5．（23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 6．（22-23高三上·江苏无锡·期末）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立. 参考数据：，， (1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； (2)请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值. 7．（22-23高二下·山西大同·期末）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于千元的人数为，求. 附参考数据：， 若随机变量X服从正态分布，则 ， ， . 8．（23-24高二下·江苏泰州·期中）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 9．（23-24高三下·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 十七．一元线性回归模型（共6小题） 1．（23-24高二上·江西·期末）根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 3．（23-24高二上·江西南昌·期末）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 净利润（万元） 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述与关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出关于的回归方程； (3)已知该企业的产品合格率为，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？ 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 其中. 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为， ，. 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图． (1)求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表： 月份/2019（时间代码x） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入入y（元） 275 365 415 450 470 485 由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？     参考数据：；；线性回归方程中，，． 十八．相关系数（共6小题） 1．（22-23高二下·广东佛山·期末）已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数 . 2．（21-22高二下·广东广州·期末）已知变量与相对应的一组数据为，变量与相对应的一组数据为表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则和0三者之间的大小关系是 .（用符号“<”连接）. 3．（21-22高二下·上海浦东新·期末）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号 根部横截面积 材积量 则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 （精确到）. 4．（22-23高二下·云南保山·期末）某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第天的平均气温，表示第天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：. (1)根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系； (2)现有两个家庭参与套圈，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费30元，每个小白兔价值60元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？ 附：相关系数. 5．（22-23高二下·青海西宁·期末）华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.华容道游戏是通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走，不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.小华准备参加市里的华容道横刀立马项目大赛.赛前小华进行了15天的训练，经统计得30分钟的通关关数（道）与训练天数（天）有如下数据： （天） 3 6 9 12 15 （道） 61 82 91 104 112 通过分析发现30分钟的通关关数（道）与训练天数（天）线性相关. (1)求与的样本相关系数 （结果四舍五入到0.001）； (2)求30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程（的结果四舍五入到0.01）. 参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，，.参考数据：，，，. 6．（22-23高二下·湖北孝感·期末）（1）若成对样本数据都落在直线上，求样本相关系数． （2）现随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和乘客投诉次数进行调查．所得数据如下表所示： 航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 航班正点率 80 78 81 84 86 90 91 93 88 89 乘客投诉次数 26 33 24 20 18 10 9 7 12 11 根据表格的数据，试问乘客投诉次数与航班正点率之间是否呈现线性相关关系？它们之间的相关程度如何？ 参考数据：相关系数，当时两个变量之间具有很强的线性相关关系．取． 十九．独立性检验（共6小题） 1．（22-23高二下·海南·期末）某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表： 用药 未用药 症状明显减轻 37 33 症状没有减轻 8 22 根据表中数据，计算可得 （结果精确到0.001），依据小概率值 （填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．（22-23高二下·重庆·期末）某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是 %. 附：常用小概率值和临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 3．（21-22高二下·上海黄浦·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则女生至少有 人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，． 4．（23-24高三上·山东菏泽·期末）2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，． (1)根据已知条件，填写列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关? (2)现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 5．（22-23高二下·辽宁朝阳·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 (1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ (2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下： 中秋天气 元宵天气 合计 降水 无降水 降水 19 41 60 无降水 50 90 140 合计 69 131 200 (1)依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？ (2)从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求. 参考公式与数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 $$专题01 高二下期末真题精选（常考题 考题猜想，19种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 两个计数原理综合（共3小题） · 排列数与组合数的计算（共4小题） · 组合数的性质应用（共4小题） · 相邻与不相邻问题（共5小题） · 特殊元素（位置）优先（共5小题） · 间接法（共4小题） · 分配问题（共4小题） · 涂色问题（共4小题） · 二项展开式的第项（共4小题） · 二项式系数（和）（共4小题） · 系数和，系数最值（共8小题） · 两个二项展开式，三项展开式系数问题（共6小题） · 条件概率（共5小题） 全概率公式和贝叶斯公式（共6小题） 二项分布和超几何分布（共7小题） 正态分布（共9小题） 十七．一元线性回归模型（共6小题） 十八．相关系数（共6小题） 十九．独立性检验（共6小题） 一．两个计数原理综合（共3小题） 1．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】D 【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类， 上线路中有条，下线路中有条. 根据分类计数原理，不同的线路可以有条. 故选：D 2．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【答案】C 【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解. 【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法； 若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法． 故一共有种去法． 故选：C. 3．（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)720 (2)420 【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求； （2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求. 【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． （2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 二．排列数与组合数的计算（共4小题） 1．（23-24高二下·山东枣庄·期中）下列公式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数、组合数公式，逐项判断即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，， ， 所以 ， 即，故C正确； 对于D：，， 所以，故D错误 . 故选：D 2．（23-24高二下·广东清远·期中）不等式的解集为 . 【答案】/ 【分析】先根据排列数的定义得到且，再根据排列数的性质得到不等式求出解集，得到答案. 【详解】由题意得，解得且， 又，即， 即，解得， 综上可知，故解集为. 故答案为： 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）关于的方程的解是 ． 【答案】7 【分析】利用组合数和排列数公式求解. 【详解】解：因为，，且， 所以，注意到，解得， 故答案为：7 4．（20-21高二下·安徽滁州·期末）求解下列问题： （1）计算：； （2）解方程：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）首先由排列数性质得出应满足的条件，然后由排列数公式化简变形求解． 【详解】（1）； （2）根据原方程，应满足 解得，.根据排列数公式，原方程化为. 因为，两边同除以，得.即，解得或（因为为整数，所以应舍去）.所以原方程的解为. 三．组合数的性质应用（共4小题） 1．（23-24高二下·湖北·期中）已知，则（   ） A．3或9 B．9 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据组合数的性质列式计算. 【详解】因为， 所以或， 得. 故选：C. 2．（23-24高二下·河北·期中）若，则的值为（    ） A．35 B．34 C．56 D．55 【答案】D 【分析】由组合数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：D. 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知（），则 . 【答案】8 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得. 故答案为：8. 4．（23-24高二下·湖北·期中）若，则正整数的值为 . 【答案】5 【分析】利用组合数性质化简方程，根据组合数性质解方程即可. 【详解】由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或（舍）. 故答案为：5 四．相邻与不相邻问题（共5小题） 1．（23-24高二下·湖南·期中）王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（    ） A．120种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【分析】由捆绑法结合全排列知识可得答案. 【详解】将两只兔子捆绑，则2只兔子相邻走出房子共有种不同方法． 故选：C. 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（    ） A．480种 B．360种 C．240种 D．600种 【答案】A 【分析】根据不相邻问题插空法即可求解. 【详解】先排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有种． 故选：A 3．（23-24高二下·河北石家庄·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有 种排法. 【答案】 【分析】利用插空法结合排列数求解即可. 【详解】每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周共有种排法. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 种 【答案】480 【分析】思路一：不相邻问题采取插空法即可求解；思路二：先求出所有可能的排列数，再减去2位老人相邻的排列数，即可得到答案. 【详解】方法一：先将4名志愿者排列好，有种排法，再将两个老人进行插空有种排法， 所以满足题意的不同的排法共有种； 方法二：6个人如果自由排列，则排法有种； 而如果2位老人相邻，则相当于先将2位老人排列，再整体视为1人与其它4人共5人进行排列，故排法有种； 所以满足条件的排法有种. 故答案为：. 5．（23-24高二下·山东泰安·期中）从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答） (1)甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法? (2)甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法? (3)甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法? 【答案】(1)1440种 (2)240种 (3)216种 【分析】（1）甲、乙、丙3人中选2人，其余4人中选出3人，再全排列； （2）甲、乙、丙三人全在内，其余4人中选出2人，先排这两人，再排甲、乙、丙三人； （3）甲、乙、丙三人全在内，其余4人中选出2人，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法. 【详解】（1）由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分3步完成： 第1步，从3人中选中2人，有种选法. 第2步，从其余4人中选出3人，有种选法. 第3步，将选出的5个人全排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，不同的排法有种； （2）由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分3步完成： 第1步，从其余4人中选出2人，有种选法. 第2步，将2人安排到5个位置，有种方法. 第3步，剩余3个位置排甲、乙、丙三人，有2种方法 根据分步乘法计数原理，不同排法有种； （3）由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分3步完成： 第1步：从其余4人中选出2人，有种选法. 第2步：将甲、乙捆绑与选出的2人排列，有种方法. 第3步：将丙插空有3种方法. 根据分步乘法计数原理，不同排法共有种. 五．特殊元素（位置）优先（共5小题） 1．（23-24高二下·河北张家口·期中）某天要排语文、数学、体育、计算机、物理、化学六节课，上午四节下午两节，其中体育不排在上午第一节和下午第一节，那么这天课程表的不同排法共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．480种 【答案】D 【分析】先排体育课，剩余课程全排列，结合排列数运算求解即可. 【详解】由题意可知：体育课有4个位置可选，先排体育课，剩余课程全排列， 所以这天课程表的不同排法共有种. 故选：D. 2．（23-24高二下·湖北武汉·期中）学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 【答案】C 【分析】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得，结合分类加法原理计算． 【详解】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得． 因此所求方法数为， 故选：C． 3．（23-24高二上·天津滨海新·期中）从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有 个. 【答案】30 【分析】根据题意，分在个位与不在个位种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①在个位，在剩下的个数字中任选个，安排在百位、个位，有种选法， ②不在个位，需要在、中选个，个位有种选法，不能在首位，则首位有种选法， 则十位有种选法，此时有种选法， 则一共可以组成个无重复数字的三位偶数. 故答案为：30 4．（23-24高二下·四川南充·期中）分别从和中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有 个. 【答案】180 【分析】先分两类，含有0和不含0，利用两个原理和排列组合知识可得答案. 【详解】选取的4个数字不含0时，组成的四位数有个； 选取的4个数字含0时，此时0不能在首位上，组成的四位数有个， 共有个. 故答案为:180 5．（23-24高二下·贵州遵义·期中）杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为 ． 【答案】114 【分析】以第一棒完成人分类计数，当A完成第一棒时，最后一棒没有限制条件，从剩下5人中选2人， 再排中间三棒即可；当B完成第一棒时，最后一棒不能是AC完成，故最后一棒完成数为种，再排中间三棒即可． 【详解】当A完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当B完成第一棒时，有种不同的传递方案． 故共有种不同的传递方案． 故答案为：114. 六．间接法（共4小题） 1．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）为了迎接期中考试，某同学要在5月1日安排6个学科的复习任务，上午安排3科，下午安排2科，晚上安排1科，为了提高学习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且语文和英语两科的复习时间不连在一起（上午最后一节和下午第一节不算连在一起，下午最后一节和晚上也不算连在一起），那么6个学科复习的顺序安排总共有（    ）种. A．240 B．480 C．540 D．696 【答案】B 【分析】先排数学，其他科目任意排列的情况下减去语文和英语相连的情况即可. 【详解】数学排在上午第二科时，其他五科任意排有种， 其中语文和英语排在下午两科有种，所以此时共有种； 数学排在上午第三科时，其他五科任意排有种， 其中语文和英语排在下午两科或上午前两科有种， 所以此时共有种； 数学排在下午第一科时，其他五科任意排有种， 其中语文和英语排在上午连排有种， 所以此时共有种； 同理数学排在下午第二科时，有种； 数学排在晚上时，其他五科任意排有种， 其中语文和英语连排有种， 所以此时共有种； 所以总共有种. 故选：B 2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）截至目前，联合国共设5个常任理事国，10个非常任理事国，现从这15个国家中选取3个国家，且至少包含一个常任理事国，则共有的选法种数为（    ） A．120 B．410 C．335 D．455 【答案】C 【分析】由所有的选法总数减去不含常任理事国的选法数即可. 【详解】15个国家中选取3个国家，有种选法，其中没有常任理事国的选法有种， 所以从这15个国家中选取3个国家，至少包含一个常任理事国，共有种选法. 故选：C. 3．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【分析】利用间接法计算可得答案. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况， 甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况， 总共的情况有. 故选：C． 4．（23-24高二下·上海·期中）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的选法有 种 【答案】9 【分析】用全部的选法减去甲、乙都不选的选法即可. 【详解】从甲、乙等5名同学中随机选3名，全部的选法有种， 甲、乙都不选的选法有种， 则甲、乙至少一人入选的选法有种. 故答案为：9 七．分配问题（共4小题） 1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（    ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故选：B. 2．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 3．（23-24高二下·山东泰安·期中）为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（    ） A．1200 B．1560 C．2640 D．4800 【答案】B 【分析】先将将6名同学分为或的四组，再将四组分到书法、音乐、美术、体育社团，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】先将6名同学分为或的四组，共有种， 再将4组分到书法、音乐、美术、体育社团，共有种， 所以共有种. 故选：B. 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为 . 【答案】390 【分析】由题意分类讨论分组情况即①1，1，4型，②1，2，3型，③2，2，2型，求出每种情况的分配情况，由分类加法计数原理即可求得答案. 【详解】去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览， 则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为； ②1，2，3型，则不同种数为； ③2，2，2型，则不同种数为． 所以共有种. 故答案为：390 八．涂色问题（共4小题） 1．（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（    ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 【答案】C 【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 第二类，三条边用种颜色， 由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色， 先涂有种方法，再涂，，有种方法， 共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故选：C． 2．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】D 【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色 【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案， 当B，E不同色时，共有种不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案. 故选：D 3．（23-24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 【答案】72 【分析】根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同. 那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色. 由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和. 如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种. 综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种. 而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种. 故答案为：. 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 【答案】396 【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解. 【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情： 第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 按照分类加法计数原理得，共有种. 故答案为：396. 九．二项展开式的第项（共4小题） 1．（22-23高三上·北京通州·期末）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果. 【详解】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 2．（20-21高二下·江苏连云港·期末）若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令可得为常数项，可得，可得， 故选：C. 3．（23-24高三上·湖北·期中）的展开式中的常数项为 （用数字作答）， 【答案】135 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数为0即可确定常数项. 【详解】的展开式的通项为， 当，即时为常数项， 所以常数项为. 故答案为：135. 4．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）的展开式中常数项为 . 【答案】80 【分析】首先写出二项展开式，再根据常数项的特征，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为，, 令，得， 所以常数项为. 故答案为： 十．二项式系数（和）（共4小题） 1．（多选）（22-23高二下·贵州安顺·期末）在的展开式中，则（    ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．二项式系数最大的项为第3项 【答案】AB 【分析】由二项式系数可判断A；令可判断B；由二项式定理以及二项式系数的性质可判断CD. 【详解】对于A，所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，， 令，得所有项的系数和为，故B正确； 对于C，二项展开式通项为， 则常数项为，故C错误； 对于D，展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D错误． 故选：AB． 2．（22-23高二下·天津·期末）在的展开式中，二项式系数和是32，的系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数之和可得，进而结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 可得的展开式的通项为， 令，解得，则， 所以的系数为. 故答案为：. 3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为 . 【答案】270 【分析】根据展开式的二项式系数之和为，求得，然后利用通项公式求解. 【详解】由展开式的二项式系数之和为，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以含项的系数为. 故答案为：270. 4．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】1792 【分析】由题意首先得，根据二项展开式的通项求指定项的系数即可. 【详解】由，得．的通项公式为． 令，得，所以展开式中含的项为． 故答案为：1792. 十一．系数和，系数最值（共8小题） 1．（多选）（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对A，借助二项式的展开式的通项公式计算即可得，对B，可借助二项式的展开式的通项公式可求得各系数的值即可得，对C，由、、，、，借助赋值法计算即可得；对D，借助赋值法计算即可得. 【详解】对于A，对，有， 则，故A错误； 对于B，令，则有，即， 因为， 所以，，， ，， 故有，故B正确； 对于C，由、、，、， 则， 令，则有， 即，又， 故，故C正确； 对于D，令，则有，即， 又，故，故D正确. 故选：BCD. 2．（多选）（22-23高二下·河北唐山·期末）关于的说法正确的是（    ）． A．展开式中二项式系数之和为1024 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中只有第6项的系数最小 D．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大 【答案】ABC 【分析】由二项式直接求二项式系数之和及二项式系数最大的项，利用展开式通项分析并求出最小项，即可判断各项的正误. 【详解】A：展开式中二项式系数之和为，正确； 由题设，展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，B对，D错； C：由且，显然奇数项系数为正，偶数项系数为负， 所以，第6项系数最小为，正确. 故选：ABC 3．（23-24高二下·北京·期中）设，则 ； . 【答案】 121 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】， 当时， ①， 当时，②， 可得，， 故答案为： 4．（23-24高二上·安徽亳州·期末）（1）求除以15的余数； （2）若，求的值； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】（1）先把写成，再利用二项式定理展开，从而得到答案. （2）根据题意，分别代入列方程组，计算即可得到所求和； （3）设项的系数最大，则通过解不等式组得到答案. 【详解】（1） ， 除以15的余数为4.     （2）由已知得， 令，得，①       令，得，②          联立①②得，.        令，得，所以. （3）的展开式通项为， 则项的系数. 设项的系数最大，则由不等式组， 即，化简， 即，解得. 因为，所以. 因此，展开式中系数最大的项为. 5．（22-23高二下·湖南邵阳·期中）已知的展开式中倒数第三项的二项式系数为45. (1)求展开式的第7项； (2)求所有偶数项的系数和. 【答案】(1) (2)512 【分析】（1）根据已知有求n，再写出第7项即可； （2）由二项式形式，求出偶数项的二项式系数和即可. 【详解】（1）由题意，可得，则， 所以； （2）由已知二项式知，所有偶数项的系数和，即所有偶数项的二项式系数和，均为. 6．（22-23高二下·四川眉山·期中）设求； (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由赋值法得当与原式的值，再化简求解 【详解】（1）当时，； 当时，； （2） . 7．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知的展开式中，所有项的系数之和是512. (1)求展开式中有理项有几项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 【答案】(1)有4项 (2)第3项 【分析】（1）先借助赋值法求得，从而求出二项式的通项公式，然后利用求解即可； （2）设第项的系数绝对值最大，列出相应不等式组，解出即可得. 【详解】（1）所有项的系数之和是512. 令，得，， 展开式的通项：，， 令，，3，6，9， 展开式中有理项共有4项. （2）设第项系数的绝对值最大. 则，解得. ，， 展开式中系数绝对值最大的项为第3项. 8．（23-24高二下·安徽六安·期中）已知在的展开式中，第9项为常数项.求： (1)的值： (2)展开式中的系数； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据展开式的通项即可求出； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于，即可得解； （3）设第项的系数的绝对值最大，再利用不等式法求解即可. 【详解】（1）， 所以； （2）， 所以展开式中的系数是； （3）设第项的系数的绝对值最大， 则， 解得，所以， 所以展开式中系数绝对值最大的项是. 十二．两个二项展开式，三项展开式系数问题（共6小题） 1．（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．20 B．15 C．6 D．3 【答案】B 【分析】由，写出展开式的通项，再代入计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以， 即的展开式中的系数为. 故选：B 2．（23-24高二下·江苏无锡·期中）展开式中的系数为（   ） A．60 B． C．30 D． 【答案】B 【分析】把看做整体，则，从中找到含有的项即可. 【详解】，要找到展开式中含有的项， 需从中找到含有的项，即， 故的系数为. 故选：B. 3．（22-23高二下·山东青岛·期末）在的展开式中，含的系数为 . 【答案】360 【分析】把的展开式看成是5个因式的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含项的系数即可． 【详解】把的展开式看成是5个因式的乘积形式， 展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到： 第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取，有种取法； 第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取，有种取法； 第三步，把剩余的1个因式中取，有种取法； 根据分步相乘原理，得；含项的系数是 故答案为：. 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知的展开式中常数项为，则 ． 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，从而得到展开式中常数项，即可得解. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 则的展开式中常数项为，所以，解得. 故答案为： 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）． 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 十三．条件概率（共5小题） 1．（23-24高二上·江西·期末）已知事件与事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据事件与事件相互独立，得到，由条件概率公式求出答案. 【详解】因为事件与事件相互独立，所以， 又， 则． 故选：A． 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.  在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为； 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为. 3．（23-24高二下·广西柳州·期中）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出事件，利用条件概率求解公式计算. 【详解】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到， 所以，， 所以． 故选：B. 4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 【答案】 【分析】设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”，由古典概型公式求出、，再由条件概率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”， 将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有种安排方法， 甲被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 若甲、乙均被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率． 故答案为：． 5．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 【答案】(1)事件B与事件C相互独立，理由见解析； (2). 【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件B与事件C是否相互独立； （2）结合条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个， 故， 满足事件的有，，， ，，， ，，，共个， 所以， 所以事件与事件相互独立， （2）满足事件的有，，，，，，，共种， 所以， 所以， 十四．全概率公式和贝叶斯公式（共6小题） 1．（22-23高二上·江西南昌·期末）设某厂有甲､乙､丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的20%，30%，50%，并且各车间的次品率依次为5%，2%，3%，现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品是由乙车间生产的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用全概率公式求解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件 为“任取一件产品，恰好是次品”，事件为“取到甲车间生产的产品”，事件为“取到乙车间生产的产品”，事件为“取互丙车间生产的产品”，则 ，， 所以由全概率公式得 （2）由条件概率公式得 ， 所以若取到的是次品，则此次品是由乙车间生产的概率为. 2．（22-23高二下·福建三明·期末）某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，这三个车间的产量分别占总产量的百分比及所生产产品的不合格率如下表所示： 车间 甲车间 乙车间 丙车间 产量占比 不合格率 设事件“从该厂产品中任取一件，恰好取到不合格品” (1)求事件的概率； (2)有一用户买了该厂一件产品，经检验是不合格品，但该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，判断该产品来自哪个车间的可能性最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)该产品来自乙车间的概率最大，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式结合题意直接求解即可； （2）利用条件概率公式分别计算出不合格品来自三个车间的概率，然后进行比较即可. 【详解】（1）设事件“任取一件产品，生产于甲车间”， “任取一件产品，生产于乙车间”，“任取一件产品，生产于丙车间”， 那么， ． （2）该产品来自乙车间的可能性最大． 理由如下： 由（1）得，产品来自甲车间的概率为 ． 产品来自乙车间的概率为 产品来自丙车间的概率为 所以该产品来自乙车间的概率最大． 3．（23-24高二下·湖北·期中）编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同） (1)现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子的条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？ (2)现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率公式直接求解即可； （2）先利用全概率公式求解事件“摸出白球”的概率，然后再利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”， 则. （2）设“先选到第号盒子”“摸出白球”， 则．，，. ， ，即这个球来自2号盒子的概率为. 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ； （2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： . 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为． (1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率； (2)求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式与条件概率的乘法公式即可得解； （2）利用全概率公式求解. 【详解】（1）用，分别表示第一次、第二次借阅“期刊杂志”，用，表示第一次、第二次借阅“文献书籍”. 则，，，,. 记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”为事件，则 . （2）设第二次借阅“文献书籍”为事件，则： . 6．（23-24高二下·河北张家口·期中）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”， (1)求，，2，3， (2)若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率.（用分数作答） 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，直接求解即可； （2）根据全概率公式，求得，再根据贝叶斯公式，求得即可. 【详解】（1）根据题意，. （2）根据题意可得， 故； 则，故若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率为. 十五．二项分布和超几何分布（共7小题） 1．（21-22高二下·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)选手乙，理由见解析 【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可； （2）由题意得，，再根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可； （3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可. 【详解】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则． 故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为． （2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴． （3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴可以认为选手乙晋级的可能性更大． 2．（20-21高三上·内蒙古赤峰·期中）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，. (1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率； (2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由独立事件乘法公式，对立、互斥事件概率的关系即可得解. （2）由题意可得，由二项分布的概率计算公式、期望公式即可得解. 【详解】（1）记“，两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件. 通过招聘的概率为，通过招聘的概率为， ∴. 即，两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为. （2）随机变量可能的取值为0，1，2，3. 通过招聘的概率为， 由（1）得，两位毕业生通过招聘的概率均为. ∴，，三位毕业生通过招聘的人数. 则， ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 3．（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3),. 【分析】（1）依题意，运用古典概率公式即可求得其概率； （2）根据题意得到的可能值为0，1，2，3，利用超几何分布概率公式求得相关概率，列出分布列，计算出数学期望即可； （3）由分析可得，随机变量，利用二项分布概率的相关公式即可求得数学期望和方差. 【详解】（1）因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； （2）按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； （3）依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 4．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： (1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】(1)人 (2)分布列见解析； (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. 【详解】（1）， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； （2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； （3），理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 5．（22-23高二下·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 6．（23-24高二上·四川凉山·期中）某中学举行一次知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两道题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为. (1)若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率； (2)当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？ 【答案】(1) (2)理论上至少要进行19轮竞赛 【分析】（1）由题意可知：第一轮竞赛中他们获“优秀小组”有两种情况：答对题为3道或4道，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意结合二次函数可得，且每轮比赛获得“优秀小组”的概率为，令，结合二次函数可得每轮比赛获得“优秀小组”的概率的最大值，再根据二项分布的期望公式运算求解. 【详解】（1）第一轮竞赛中他们获“优秀小组”有两种情况：答对题为3道或4道， 则他们获“优秀小组”的概率为：. （2）因为，即， 可得，解得， 则， 当时，取到最大值；当或时，取到最小值； 所以， 则每轮比赛获得“优秀小组”的概率为， 令，则， 令，可知对称轴方程为，抛物线开口向下， 则函数在上单调递增，所以的最大值是， 设要进行轮竞赛，由题意可知：，解得：. 所以理论上至少要进行19轮竞赛. 7．（22-23高二下·山东临沂·期中）甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲､乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【答案】(1)答案见解析； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）根据题意得服从超几何分布，服从二项分布，分别求解概率及分布列即可. （2）由（1）分别求出期望和方差比较即可. 【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得的可能取值为：， 所以， ， 所以的分布列为 由题意随机变量的可能值为，可得， 所以， ， 所以的分布列为： （2）由（1）可得， ， ， ， ， 因为，， 所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 十六．正态分布（共9小题） 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质求解即可， 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以. 故选：A. 2．（23-24高三上·浙江金华·期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（    ） 参考数据：若，则 A．3173 B．6346 C．6827 D．13654 【答案】A 【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，又， 故， 则80分以上的人数大约是人. 故选：A. 3．（23-24高三上·海南·期末）若随机变量，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据对称性确定的值，然后由正态分布的性质可得. 【详解】因为， 所以，且， 所以. 故答案为： 4．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）某学校考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性求得结果. 【详解】因为，是对称轴， 所以， 综上. 故答案为：. 5．（23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 6．（22-23高三上·江苏无锡·期末）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立. 参考数据：，， (1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； (2)请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望； (2). 【分析】（1）根据题意，X的所有可能取值为1，2，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列以及期望； （2）根据题意，由正态分布可得，然后由二项分布的期望公式，即可得到结果. 【详解】（1）由题可知X的所有可能取值为1，2，3，4，则 ，， ， ∴X的分布列如下： X 1 2 3 4 P . （2）∵. ∴符合该项指标的学生人数为：人， 每个学生通过选拔的概率对， ∴最终通过学校选拔人数，， ∴. 7．（22-23高二下·山西大同·期末）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于千元的人数为，求. 附参考数据：， 若随机变量X服从正态分布，则 ， ， . 【答案】(1)17.40 (2)①14.77；②977.3 【分析】（1）根据频率分布直方图求平均值方法可得， （2）①根据原则可得，②根据原则先得每位农民年收入高于千元的概率，根据二项分布的期望公式可得. 【详解】（1） （千元）， 故估计50位农民的年平均收入为17.40千元. （2）由题意知， ①， 所以时，满足题意， 即最低年收入大约为千元. ②由， 每个农民的年收入高于千元的事件的概率为， 则，其中， 所以. 8．（23-24高二下·江苏泰州·期中）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)， (3)0.2056． 【分析】（1）由题意服从超几何分布，求出对应的概率即可得到分布列以及数学期望； （2）由二项分布的概率公式以及方差公式即可得解； （3）由正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】（1）由题知，的可能取值为0，1，2，． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望． （2）由题意可知，服从二项分布， 故， 技术攻坚成功的概率为 ， ． （3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以． 从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056． 9．（23-24高三下·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为. (2) 【分析】（1）因为，由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列，再由二项分布的均值公式求出； （2）康复的人数为随机变量，则，可得出，由正态分布的对称性结合原则求解即可. 【详解】（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则 ， 因此， ，， ， 则的分布列为： 的数学期望. （2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为， 记康复的人数为随机变量，则， 设，设， 所以整数的最大值为    十七．一元线性回归模型（共6小题） 1．（23-24高二上·江西·期末）根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】由回归方程比过样本中心点即可列方程求解. 【详解】由已知，得，，又经过点，所以，解得． 故选：B． 2．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 【答案】 【分析】根据经验回归方程必过样本点中心，代入数值后，即可求解. 【详解】由题意可得，， 则. 故答案为：185 3．（23-24高二上·江西南昌·期末）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 【答案】(1)，相关程度较高 (2)；投入至少亿元 【分析】（1）直接通过计算相关系数来进行判断； （2）先计算回归直线方程，然后再做出预测. 【详解】（1）， ， ， ， 所以，所以相关程度较高； （2）由（1）得，， 所以，， 所以，令， 得，所以研发投入至少亿元. 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 净利润（万元） 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述与关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出关于的回归方程； (3)已知该企业的产品合格率为，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？ 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 其中. 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为， ，. 【答案】(1) (2) (3)8件或9件 【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解， （2）利用最小二乘法即可求解方程， （3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值. 【详解】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择 （2）两边取对数，得， 设，，建立关于的回归方程， 则， ， 所以关于的回归方程为，所以. （3）设抽到的产品中有件合格品，则， 所以， ，即， ， 解得， 所以最有可能是8件或9件. 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2) 【分析】（1）根据相关系数的计算即可比较大小求解， （2）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，进而可求解. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得，， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为，可得，即， 可得，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为. 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图． (1)求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表： 月份/2019（时间代码x） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入入y（元） 275 365 415 450 470 485 由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？     参考数据：；；线性回归方程中，，． 【答案】(1)，4.72 (2)，630（元） 【分析】（1）利用频率分布直方图求解； （2）最小二乘法求回归直线方程,并利用回归方程估计. 【详解】（1）， 平均数 . （2），， ， ，， 所以回归直线方程为：， 当时，（元）。 十八．相关系数（共6小题） 1．（22-23高二下·广东佛山·期末）已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数 . 【答案】－1 【分析】由所有样本点都在一条直线上，结合相关系数的意义，可得出答案. 【详解】由题意，所有样本点都在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为. 故答案为：. 2．（21-22高二下·广东广州·期末）已知变量与相对应的一组数据为，变量与相对应的一组数据为表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则和0三者之间的大小关系是 .（用符号“<”连接）. 【答案】 【分析】根据已知分析两组数据中变量的相关关系，从而判断出相关系数的符号，即可得出的结论. 【详解】解：由已知中的数据可知， 第一组数据中变量与间呈正相关，相关系数， 第二组数据中变量与间呈负相关，相关系数， 所以. 故答案为：. 3．（21-22高二下·上海浦东新·期末）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号 根部横截面积 材积量 则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 （精确到）. 【答案】 【分析】根据数据计算各相关量，结合相关系数公式直接计算. 【详解】由已知得，，，，， 所以相关系数， 故答案为：. 4．（22-23高二下·云南保山·期末）某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设表示第天的平均气温，表示第天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：. (1)根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性回归模型拟合与的关系； (2)现有两个家庭参与套圈，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费30元，每个小白兔价值60元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？ 附：相关系数. 【答案】(1)相关系数;可用线性回归模型拟合 (2)家庭损失较大 【分析】（1）由相关系数的公式可直接代入求解，再通过相关系数即可判断是否可用线性回归模型拟合与的关系； （2）由于家庭套小白兔这个试验是独立重复则家庭套住小白兔的人数为且，可求，由家庭的盈利，利用期望的性质可得；由于家庭套小白兔这个试验是独立不重复，所以可用独立事件的概率公式求家庭套住小白兔的人数为得分布列，进而求出，由于家庭的盈利为，同样利用期望的性质可得，所以比较两者即可得出一轮结束后哪个家庭损失较大. 【详解】（1）， , 则根据相关系数，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）设家庭套住小白兔的人数为， 因为事件本身独立重复，则， ， 设家庭的盈利为， 则， 设家庭套住小白兔的人数为， 的可能取值分别为， 则， ， ， ， 设家庭的盈利为， ， 家庭损失较大. 5．（22-23高二下·青海西宁·期末）华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.华容道游戏是通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走，不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.小华准备参加市里的华容道横刀立马项目大赛.赛前小华进行了15天的训练，经统计得30分钟的通关关数（道）与训练天数（天）有如下数据： （天） 3 6 9 12 15 （道） 61 82 91 104 112 通过分析发现30分钟的通关关数（道）与训练天数（天）线性相关. (1)求与的样本相关系数 （结果四舍五入到0.001）； (2)求30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程（的结果四舍五入到0.01）. 参考公式：样本相关系数，回归直线方程中，，.参考数据：，，，. 【答案】(1)0.984 (2) 【分析】（1）首先求出，，再结合所给参考数据计算可得； （2）求出、即可得到回归直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以 . （2）因为， 所以， 所以关于的经验回归方程为， 即30分钟的通关关数关于训练天数的经验回归方程为. 6．（22-23高二下·湖北孝感·期末）（1）若成对样本数据都落在直线上，求样本相关系数． （2）现随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和乘客投诉次数进行调查．所得数据如下表所示： 航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 航班正点率 80 78 81 84 86 90 91 93 88 89 乘客投诉次数 26 33 24 20 18 10 9 7 12 11 根据表格的数据，试问乘客投诉次数与航班正点率之间是否呈现线性相关关系？它们之间的相关程度如何？ 参考数据：相关系数，当时两个变量之间具有很强的线性相关关系．取． 【答案】（1）-1 ；（2）是；具有很强的线性相关关系 ． 【分析】（1）利用相关系数与线性相关程度的关系得结果； （2）计算相关系数，由数据判断结论. 【详解】（1）因为样本数据都落在直线上，且直线的斜率为负数，所以相关系数为-1． （2）， ， ， ， ， ， 所以， 所以乘客投诉次数与航班正点率之间负相关，具有很强的线性相关关系． 十九．独立性检验（共6小题） 1．（22-23高二下·海南·期末）某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表： 用药 未用药 症状明显减轻 37 33 症状没有减轻 8 22 根据表中数据，计算可得 （结果精确到0.001），依据小概率值 （填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】 5.820 0.05 【分析】 根据给定数表，求出的观测值，再结合临界值表，求出符合条件的作答. 【详解】由列联表中数据得：， 因为，所以. 故答案为：； 2．（22-23高二下·重庆·期末）某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是 %. 附：常用小概率值和临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】 【分析】由，对照数表即可得出结论. 【详解】由， 对照数表知，市政府断言市民收入增减与旅游变有关系的可信程度是. 故答案为： 3．（21-22高二下·上海黄浦·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则女生至少有 人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，． 【答案】20 【分析】 设男生人数为x，可得列联表，由此计算的表达式，根据有的把握认为中学生追星与性别有关，可得不等式，结合，可求得答案. 【详解】设男生人数为x，则可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 女生 合计 则计算 ， 若有的把握认为中学生追星与性别有关，则需， 解得， 又，故x至少为60，则女生至少有20人， 即有 的把握认为中学生追星与性别有关时，女生至少有20人， 故答案为︰20． 4．（23-24高三上·山东菏泽·期末）2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，． (1)根据已知条件，填写列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关? (2)现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 【答案】(1)列联表见解析，不能 (2)分布列见解析， 【分析】 （1）根据条件，求出对杭州亚运会项目了解的女生数，了解亚运会项目的学生数，从而得出列联表，进而求出，从而得出结果； （2）采用分层抽样的方法求解出男女生数量的构成情况，根据超几何分布求解出分布列和数学期望． 【详解】（1）因为，， 所以对杭州亚运会项目了解的女生为 了解亚运会项目的学生为， 结合男生和女生各50名，填写列联表为： 了解 不了解 合计 男生 15 35 50 女生 30 20 50 合计 45 55 100 零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据 ， 依据的独立性检验，可以推断成立， 即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关． （2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生， 其中男生人数为（人）； 女生人数为（人）， 由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，． 随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 则． 5．（22-23高二下·辽宁朝阳·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 (1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ (2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关； (2)分布列见解析， 【分析】（1）由的公式可求值，根据表格可判断有关； （2）由分层抽样确定男女生人数，根据X的取值分别求得概率，列分布列求期望即可. 【详解】（1）依题意可得列联表如下： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 16 56 女 20 24 44 总计 60 40 100 零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联， 则，   我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关. （2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.   则X的可能取值为0、1、2、3， 所以，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以. 6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下： 中秋天气 元宵天气 合计 降水 无降水 降水 19 41 60 无降水 50 90 140 合计 69 131 200 (1)依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？ (2)从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求. 参考公式与数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)无关 (2) 【分析】 （1）计算的值，与临界值比较得出结论； （2）利用条件概率公式求解. 【详解】（1） 零假设为：元宵节的降水与中秋节的降水无关. ， 因为，所以没有充分证据推断不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关. （2） 中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为， 中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为， 故. $$