河南省豫北名校联考2023-2024学年高二下学期阶段测试（四）（5月）数学试题

试卷类型：A 河南省豫北名校5月份联考考试 2023一2024学年高二年级阶段性测试（四） 数学 考生注意： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异，运用2×2列联表进行检验，经计算 得X=3.526,参考下表，则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率 不超过 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A.10% B.5% C.1% D.0.1% 2-动 的展开式中x的系数为 A- c- D.S 3.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=10a1-S2,则公比q= A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知直线l:y=x+a与圆x2+y2=2和圆(x-4)2+y2=m2(m>0)都相切，则实数m的 值为 A.√2 B.22 C.32 D.2或32 5.已知曲线八)=了-2-x的切线中有且只有一条与直线m-y-1=0平行，则该切线 的方程为 A.6x-3y-11=0 B.2x+y=0 C.6x+3y-1=0 D.6x-3y-1=0 数学(A卷)试颗第1而（共4页） 6.某医院急救科在端午3天假期中每天选出2名医生值班，已知该科室有5名医生，每名医 生至少值班1天，则不同的值班方案的种数为 A.210 B.180 C.150 D.120 7.在研究变量x与y之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1,少，)，(，2y2),…, (x6,6),(6,27),利用此样本数据求得的经验回归方程为)=-1.5x+a,现发现数据 (6,27)误差较大，别除这对数据后，求得的经验回归方程为=-6c+21,且名，=36，则á A13.5 B.14 C.14.5 D.15 8已知离心率为)的椭圆C:。+1(>6>0)的左右焦点分别为，上，上顶点为M,丝 段MF2的中点为N,射线F,N与C交于点A,若IAFI=2√3，则IAF2I= A.103-6 B83-6 c.103-12 3 3 D.85-12 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(2,-1,4),b=(-1,5,入)，c=(1,4,),若a,b,c三个向量共面，则实数入4 的取值可能分别为 A.-2,2 B.2,2 C.-5,1 D.1,5 10.无人机在农业领域的应用对提高农业生产效率，促进农业产业的发展有着极为重要的意 义，某地统计了该地近5年的农业无人机保有量，其中用了两种记录方式： 年份代码x 1 2 3 4 5 无人机数量y(架)》 490 510 550 570 580 无人机数量z(百架) 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表中的数据，可得y关于x的经验回归方程为=24x+a,则 A.z与x的样本相关系数r<0 B.a=468 C.预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架 D.z关于x的经验回归方程为2=0.24x+468 山.已知双曲线C:名-=1(@>0，b>0)的右顶点为A,左、有焦点分别为上，F2,离心率为 e,点P,Q都在C上（均不与点A重合），且关于y轴对称，则下列说法正确的是 A.IIPF I-IOF II =2a B.若存在点P,Q满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，则1<e<2 C.若e=√2，则PA⊥QA D.若b=V2a,则IkpA-koAI>2V2(kpA,koa分别表示直线PA,QA的斜率) 数学(A卷)试颗第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若随机变量X~N(u,o2),且P(X<-1)=P(X>7)=0.14,则P(u-4≤X≤)= 13.如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，E为棱CD的中点，则点A1到平面AEC, 的距离为 D 14.若函数f(x)=(e+x)[ln(-x)+x]有2个不同的零点，则实数k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1) (I)若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x+m,求a+m的值； (Ⅱ)若f'(x)为f(x)的导函数，讨论f'(x)的单调性. 16.(15分) 已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=3n-1,设bn=a2n (I)求数列{b.}的通项公式； (Ⅱ)记{bn}的前n项和为Tn,若存在n∈N"使得T。+15<n·入成立，求实数入的取值 范围。 数学(A卷)试颗第3页（共4页） 17.(15分)》 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题 分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于 70分即可获奖，已知甲答对第一、二、三题的概率均为)，乙答对第一、二、三题的概率分别 为号，号，号，且甲，乙每次答对与否互不影南 (I)求甲的累计得分X的分布列和期望： (Ⅱ)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的边长为3，点E,G分别在棱AB,CD上（不含 端点)，PE LAB,PG⊥CD,且tan∠PEG=2tan∠PGE,点F在棱AD上，AF=L. (I)证明：PF⊥AD; (Ⅱ)若点P到平面ABCD的距离为2，PA=√6，求直线AP与平面PBC所成角的大小. 19.(17分) 已知抛物线C:2=2py(p>0),直线y=与C交于A,B两点，且AB=2印， (I)求p的值； (Ⅱ)过点G(t+2,t)作C的两条切线，切点分别为M,N,证明：直线MN过定点； (Ⅲ)直线l过C的焦点F,与C交于P,Q两点，C在P,Q两点处的切线相交于点H,设 P=入F,当入∈[2,3]时，求△HPQ面积的最小值. 数学(A卷)试颗第4面（共4面）！"#$%& 2023一2024学年高二年级阶段性测试（四） 数学(A卷)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题意图本题考查独立性检验 解析因为X=3.526,结合表格可知2.706<3.526<3.841，所以认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有 差异”犯错误的概率不超过10%， 2.答案D 命题意图本题考查二项展开式的通项， 解析由二项式定理可知.(x-)的展开式的通项为T1=C(-)=(-)C,令5-2r=1, 解得r=2,所以()】 的展开式中x的系数为-)xC心= 3.答案B 命题意图本题考查等比数列的性质。 解析由题意可知g>0,a1>0,由S=10a-S2,得a1+a19+a192=10a1-a1-a9,整理得9+2g-8=0,即 (9-2)(g+4)=0,所以9=2（负值舍去） 4.答案D 命题意图本题考查直线与圆的位置关系 解析由直线l:y=x+a与圆2+=2相切，得 个+(-厅2，解得a=±2，由直线1y=士2与圆(x 4)2+y=m(m>0)相切，得6 +(-厅=m或 =m,解得m=3√2或2. +(-1) 5.答案C 命题意图本题考查导数的应用. 解析设切点为((x),则f(xo)=x后-2。-1，由题意可得x后-2x0-1=m有且仅有一解，可得m=-2, =1,又1)=- ，所以该切线的方程为y+号=-2(x-1),即6+3y-1=0, 6.答案B 命题意图本题考查排列组合 解析若某人值班2天，则需从剩余的4人中选出2人分别与其一起值班，选法有C种，剩余的2人一起值 班，所以值班方案有C·A=36(种)，同理其余4人中某人值班2天也各有36种方案，综上所述，值班方案共 有5×36=180（种）. 7.答案A 命题意图本题考查回归方程的性质 解折剔除异常数据后，=石×36=6，：点(，)在直线=-6+21上…6=-6+21，解得云=25.设利 用原始数据求得的经验回归直线过点(，)，则_6+6-3，-5+22-9，：寸=-1.5'+a,4=9+ 7 7 1.5×3=13.5. 8.答案C 命题意图本题考查椭圆的性质 解析设C的半焦距为c(e>0),因为C的离心率为)，所以a=2c,b=5c连接ME,可得△MF,R,为等边三 角形，所以直线F,N的倾斜角为石过点A作x轴的垂线，垂足为B,因为A,1=2,5,所以1BF,1=3,1AB1= ,则点A的坐标为(3-c,3),又因为点A在C上，所以+，3。 +是=1，解得c45-3(负值合去)，所以 3 1Af1=2a-1Af,1=4c-25=103-12 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AD 命题意图本题考查共面向量。 解析因为a,b,c三个向量共面，所以存在不同时为0的实数m,n,使得c=ma+nb,所以(1,4,4)=(2m-n, 2m-n=1. -m+5n,4m+An),即 -m+5n=4,解得m=1,n=1,4+入=以，故A,D满足题意. 4m+入n=从， 10.答案BC 命题意图本题考查线性回归的性质， 解析对于A,由表格中的数据可知z与x正相关，所以：与x的样本相关系数r>0,故A错误： 对于B.x=1+2+3+4+5=3,了-490+510+50+570+580=540，将(3,540)代人分=24x+a,得24×3+ 5 5 a=540,解得a=468,故B正确； 对于C,在)=24x+468中，令x=6,得=144+468=612，所以预测第6年该地农业无人机的保有量约为612 架，故C正确； 对于D,因为：=所以=0.24x+468,故D错误 11.答案ACD 命题意图本题考查双曲线的性质。 解析对于A,由对称性可知IQF,I=IPF2I,再结合双曲线的定义可得IIPF,I-IQF,II=IIPF,I-IPF2II= 2a,故A正确； 对于B,若OP⊥OQ,因为1OP1=1OQ1,所以△POQ是等腰直角三角形，则双曲线C的一条渐近线的斜率大于 2 1,即合>1，所以√+号>万，放B错误： 对于C,由题意知A(a,0),设Q(m,n),则P(-m,n),记直线PA,QA的斜率分别为pA,koA,则kmko4= 又。衣=l,所以no= -m-am-aa2-m2，又3、4 n - m -号=1-心，当ee时，no=-l,所 502-m3s、62 以PA⊥QA,故C正确； 对于D.若b=2a,则n,:=-答=-2.不妨设>0，n<0,则1n-n1:+(-)≥ 2√kA×(-kt)=2v2,因为hp4≠-k4,所以等号不成立，所以1kp4-kouI>2V2,故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案0.36 命题意图本题考查正态分布的性质。 解析因为P(X<-1)=P(X>7)=0.14,所以μ=-)+7=3，且P(-1≤X≤7)=1-2×0.14=0.72，所以 2 P(u-4≤X≤w)=P(-1≤X≤3)=P-1sX≤=0.36 2 13.答案6 6 命题意图本题考查利用空间向量计算点到平面的距离。 解析建立如图所示的空间直角坐标系，则4(1,0,0)，C(0,1,1),E0,2041(1,0,1),4C=(-1,L, ,n·AC,=-x+y+z=0, 1),应=(-1,20=(0,0,1).设平面ABC,的法向量为n=(x,y),则 可取 …=-+之=0， n=(1,2,-1).设点A,到平面AEC的距离为d,则d= 。节吾脚a4平 AC,的距离为爱 D C B 14.答案(-，-1)u(-1,0]u{日} 命题意图本题考查利用导数研究函数的性质， 一3 解析由题意得函数(x)的定义域为(-x,0).设g(x)=e+x,则g(x)单调递增，且g(-1)=上-1<0， g(0)=1>0,所以存在唯一的x,e(-1,0),使g(x)=0,即e1+x1=0,即x1=ln(-x,).令ln(-x)+kx=0, 得k=-血-，设()=-血-，可得h'(x)=-1+h-),则h(x)在(-e,0)上单调递减，在(-0， x -e)上单调递增，又(-e)=。>0,当一-时，h(x)>0且(x)-0,当x<0且x0时，h(x)一-，所 以当ke(-0,0]或k=。时，存在唯一的与e(-云，0，使h()=k,即6=（-.当=与时，由 飞，=n(-),可得k=_血(-：-1，此时不符合题意，舍去综上所述，实数k的取值范围为(-，-1)U (-1.ou日} 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质. 解折(1()=h(x+)+行则/(0)=ln1+a=a, (2分) 又因为(0)=0， 所以曲线y=f八x)在点(0f八0))处的切线方程为y=ax,…(4分) 由题意可得a=1,m=0, 所以0+m=1。…(6分） (x+1)2 x+1)>-l…(7分)） Ⅱ)令g(x)=”(),则g(x)=1+x+1）-（+-+2二a 若a≤1，则x+2-a>1-a≥0，从而g'(x)>0,所以g(x)即f'(x)在(-1，+)上单调递增，…(9分) 若a>1,则当-1<x<a-2时，g'(x)<0,g(x)即f"(x)单调递减， 当x>a-2时，g'(x)>0,g(x)即(x)单调递增.…(12分） 综上所述，当a≤1时f'(x)在(-1，+)上单调递增；当a>1时∫'(x)在(-1，a-2)上单调递减，在(a-2, +∞)上单调递增。… …(13分) 16.命题意图本题考查数列与不等式的综合应用. 解析（1)由an+01=3n-1①，得a1+an+2=3n+2②，…(2分）》 ②-①，得02-an=3,2-a2n=3,即b1-bn=3.…(4分) 又a1=1,a1+a2=2,.b1=a2=1, ∴.b。}是以1为首项，3为公差的等差数列，则b=1+(n-1)×3=3n-2.…(7分) (Ⅱ)由(1)可得7，=1+3n-2)n=3m2-n …(8分）》 2 2 若存在aeN,使得工+15<mA成立，则A>(受+只-) 5≥30，当且仅当)=片即n三10时取等号，…一 n 4 又neN,且当a=3时+-=9，当=4时受+5-分头 4 (14分) .入的取值范围为(9，+).… (15分) 17.命题意图本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及条件概率 解析（1)X的所有可能取值为0,30,40,60,70,100.…（1分) 则PX=0)=(分广=g,PX=30)=(2)x2=4,PX=40)=(分广=g …(3分)》 PX=60=(2)=gPx=70)=(2x2=4,PX=10)=(2=3 …(5分)》 所以X的分布列为 0 30 40 60 70 100 1 1 1 8 8 8 4 8 (6分) 所以B=0×g+30×+40×g+60×+70×4+100×=50 …(7分）》 (I)由(1)知甲获奖的概*为PX≥0)=+名=受 (8分) 设乙的累计得分为Y, 则Py=0)=号×号×号x2= 125 Py=Im)=号x号×号品 x5=125 故乙赛奖的概率为Py≥0)-瓷+品倍 (10分) 设“甲的累计得分比乙高”为事件A,“甲、乙两人均获奖”为事件B, 则Pr0)=PX=10)Py=70)-g×瓷- P)=g×贺器， (13分) 9 故P(A1B)=4B_250、⊥ P(B)=18=4 125 所以在甲，乙两人均获奖的条件下，甲的累计得分比乙高的概率为4 (15分) 18.命题意图本题考查线线、线面垂直及利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值， 解析（I)如图，过点P作PH LEG,垂足为H,连接FH.… (1分) 因为AB∥CD,CD⊥PG,所以AB⊥PG, 又因为AB⊥PE,PE∩PG=P,所以AB⊥平面PEG (2分) 5 所以平面PEC⊥平面ABCD,又PH⊥EG,平面ABCDO平面PEC=EG,所以PH⊥平面ABCD.·(3分) 所以PH⊥AD.①…(4分) 易知四边形AEGD是矩形. 因为PH=EHan∠PEG=GHtan∠PGE,tan∠PEG=2tan∠PGE,所以GH-2EH=2, 又由已知得DF=2AF=2,EG∥AD,所以四边形AEHF为矩形，……(5分) 所以AD⊥FH.②…(6分)） 由①②，结合PH∩FH=H,所以AD⊥平面PFH,所以PF⊥AD. (8分) D (Ⅱ)由(I)可知PE=5,又因为PA=6,所以AE=L.…(10分) 以A为坐标原点，向量A店，A⑦的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,3,0),P(1,1,2) 可得AP=(1,1,2).BC=(0,3.0),B0=(-2,1,2). (12分) 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), rBC·m=3y=0, 则 则y=0,取x=1,可得z=1,则m=(1,0,1),…(14分)》 Bd.m=-2x+y+2z=0, 设直线AP与平面PBC所成的角为O, Ap.m 则sin0=lcos(AP,m〉1= 3 ③ A·1m16×2 所以直线AP与平面PBC所成的角为号 (17分)》 19.命题意图本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系. 解析(1)将y=代入C:2=2(p>0)中，得x=±， *494**… (1分) 故2D=2》,解得p=L…(3分) ()由(I)可知C的方程为2=2y,令G(6o),易知=。-2，由y=号求导可得y=x, 设M(x1,y1),V(x3,y3）, 则直线GM,GN的方程分别为y-y1=x(x-x),y-y2=名（x-3）,…(4分)》 rx-2x01+2y0=0, 将(x。,%)代入上面两个方程，可得 x-2x02+20=0, 「x1+x2=20, 所以1，x2是方程x2-2xx+20=0的两根，故 …(6分) x=2yo. 6 面直线N的方程为y-=身名之(-)，即y-当空(- x2-x1 即y-号梦+=-0=-+2=6(-1）+2， 2 2x-2 2 则直线MW过定点(1,2). ……4……40t40… (10分) ()由题意得F0,）直线PQ的斜率不为0，设直线PQ:r=c+(0),P(),Q(), y=十2’得x2-2kx-1=0,则x3+花4=2k,4=-1,(*)…(11分) 联立 x2=2y, 联立 -方=务任-解得k,-）故an=-1.即01队 (13分) y-y4=(x-x4), 由可-AP厄.得名=-结合根与系数的关系可知=2A~(。-山 从而=2，由（幸）式可得1阳=个+15-=2(1+)，… 4 (15分) 而F=+,故Sm=子PQ·F=(1+)立， …(16分） 由于：=(4+大-2]在A[2,3]时为增函数。 因此当A=2时，△0的面积取得最小值？是 (17分) 一7