精品解析：湖南省永州市道县2023-2024学年七年级下学期月考数学试题

道县2024年减负提质示范班5月份质量监测 七年级数学（试题卷） （满分：100分，时量：120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于下图中各角的说法不正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与是对顶角 D. 与是邻补角 4. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的二元一次方程的解，则a的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 6. 如图，用10个形状、大小完全相同小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　） A B. C. D. 7. 下列说法正确的说法是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条平行线的所有公垂线段都相等 C. 从直线外一点到已知直线的垂线段，叫作点到直线的距离 D. 若两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等 8. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（　　） A. 10° B. 30° C. 40° D. 70° 9. 如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　） A. 22 B. 24 C. 42 D. 44 10. 若方程组的解是， 则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知二元一次方程3x-2y=10，用含x的代数式表示y，则y=___________． 12. 因式分解：_________． 13 已知，则_______． 14. 已知方程组的解满足，则__________． 15. 如图，若，则______． 16. 如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形．若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 17. 如果多项式是一个完全平方式，则______． 18. 已知关于x、y的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④x，y的值都为自然数的解有2对， 其中正确的有 __________ 三、解答题（19-21题每题6分；22-24每题8分；25-26每题12分，共66分） 19. 利用整式乘法公式简便计算： （1） （2）． 20. 先化简，再求值： ，其中，． 21. 如图，，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） __________．（_______________________________________） ．（_______________________________________） ，（已知） ．（等量代换） ．（_______________________________________） __________．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（_______________________________________） ．（等量代换） 22. 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（a、b为非负数、m为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知，求x值． （2）已知：，求x的值． 23. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）在方格纸中，格点三角形经过旋转后得到格点三角形，则旋转中心是______（填序号） （2）说明三角形是由三角形经过每样的平移得到的？ （3）画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 24. 某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．” 小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．” 小明：“我们七年级师生共336人．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？ 25. 我们定义：一个整数能表示（a，b是整数）的形式，则这个数为“和谐数”，例如：8是“和谐数”，理由：因为，所以8是“和谐数”． （1）请判断18________“和谐数”（填“是”或“不是”）； （2）当整数m，n满足时，求“和谐数”的值； （3）若实数x，y满足，求的最小值． 26. 如图1，点为直线上一点，将一副三角板的各一锐角顶点放在点上，边，分别在射线，上，其中，，，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转． （1）如图2，三角板旋转到内部． ①当恰好平分时，求旋转时间以及的度数； ②的度数是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （2）在三角板开始旋转的同时，三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，当三角板旋转时两个三角板都停止运动，在运动过程中，当时，请直接写出所有符合条件的运动时间（本题中所研究的角都是小于等于的角）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 道县2024年减负提质示范班5月份质量监测 七年级数学（试题卷） （满分：100分，时量：120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可． 【详解】A.斐波那契螺旋线不是轴对称图形，故选项不符合题意； B.笛卡尔心形线是轴对称图形，故选项符合题意； C.彭烈斯三角不是轴对称图形，故选项不符合题意； D.赵爽弦图不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，幂的乘方，积的乘方运算逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是单项式乘以多项式，完全平方公式的应用，幂的乘方运算，积的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键． 3. 关于下图中各角的说法不正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与是对顶角 D. 与是邻补角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同位角、内错角、对顶角和邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分．根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、与不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意； C、与是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、与是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义进行逐一判断即可：把一个多项式化成几个整式的积的运算，叫做因式分解． 【详解】解：A、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义．理解因式分解的定义是解题的关键． 5. 已知是关于的二元一次方程的解，则a的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：B． 6. 如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据大长方形的对边相等，列出关于、的二元一次方程组即可，本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据长方形对边相等的性质，列出等量关系式． 【详解】解：根据图题意得：， 故选：． 7. 下列说法正确的说法是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条平行线的所有公垂线段都相等 C. 从直线外一点到已知直线的垂线段，叫作点到直线的距离 D. 若两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行公理，平行线之间距离，点到直线的距离以及平行线的性质分别判断即可． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； B、两条平行线的所有公垂线段都相等，故正确，符合题意； C、从直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故错误，不合题意； D、若两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行公理，平行线之间距离，点到直线的距离以及平行线的性质，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题． 8. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（　　） A. 10° B. 30° C. 40° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】先找到旋转角，根据∠BAE＝∠1+∠CAE进行计算． 【详解】解：根据题意可知旋转角∠CAE＝40°，所以∠BAE＝30°+40°＝70°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角． 9. 如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　） A. 22 B. 24 C. 42 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42． 【详解】解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2， 图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20， 所以ab＝10， 由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42． 故选：C． 【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键． 10. 若方程组的解是， 则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解等知识点，根据加减法，可先分别将、看做一个整体，得出它们的解，再根据解方程，可得答案，解决本题的关键是先求、的解，再求x、y的值． 【详解】∵方程组的解是， ∴方程组中， ∴， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知二元一次方程3x-2y=10，用含x的代数式表示y，则y=___________． 【答案】x-5 【解析】 【分析】将x看作常数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：3x-2y=10， 移项得，2y=3x-10， 系数化为1得，y=x-5． 故答案为：x-5． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的概念以及提公因式法和公式法分解因式，先整理原式得出，再提公因式得出，最后运用公式法进行分解因式，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 故答案：． 13. 已知，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据完全平方公式，对已知的算式和各选项分别整理，得出，然后再去括号即可得出答案．此题主要考查了完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助． 【详解】解：，， ，， ， ． 故答案为：8． 14. 已知方程组的解满足，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的特点灵活求解是关键． 观察方程组，可知两个方程相加后，继而可得关于的方程，解方程即可． 【详解】， ，得 ， 由， 得， 即， 解得， 故答案为7． 15. 如图，若，则______． 【答案】##85度 【解析】 【分析】首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案．本题主要考查了平行线的性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键． 详解】解：过点作， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形．若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴，， ∵三角形的周长为， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 17. 如果多项式是一个完全平方式，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18. 已知关于x、y的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④x，y的值都为自然数的解有2对， 其中正确有 __________ 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组是解法是解题的关键．求得二元一次方程组的解，再利用方程组解答意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：关于，的方程组的解为：． 则关于，的方程组的解为：， 即 解得不存在 ①的结论不正确； ， 无论取何值，，的值都不可能互为相反数， ②的结论正确； 当时，， 当时，方程组的解也是方程的解， ③的结论正确； ，的值都为自然数的解有，，，，共4对， ④的结论不正确． 综上，正确的是：②③． 故答案为：②③． 三、解答题（19-21题每题6分；22-24每题8分；25-26每题12分，共66分） 19. 利用整式乘法公式简便计算： （1） （2）． 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法公式，涉及完全平方公式、平方差公式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式得，再运用平方差公式进行展开，即可作答． （2）先整理原式得，再运用完全平方公式进行展开，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】；7 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式，乘法公式进行运算，然后进行加减运算可得化简结果，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 将，代入，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值．解题的关键在于熟练掌握多项式乘多项式，乘法公式，并正确的运算． 21. 如图，，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） __________．（_______________________________________） ．（_______________________________________） ，（已知） ．（等量代换） ．（_______________________________________） __________．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（_______________________________________） ．（等量代换） 【答案】；同位角相等，两直线平行； 两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；；垂直的定义 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．根据平行线的性质与判定条件以及垂线的定义进行证明即可． 【详解】解：，（已知） ．（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（等量代换） ．（同旁内角互补，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（垂直的定义） ．（等量代换） 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；；垂直的定义． 22. 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（a、b为非负数、m为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： （1）已知，求x的值． （2）已知：，求x的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法． （1）利用积的乘方的法则变形，得到，即，再进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法法则变形，得到，再进行运算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 23. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）在方格纸中，格点三角形经过旋转后得到格点三角形，则旋转中心是______（填序号） （2）说明三角形是由三角形经过每样的平移得到的？ （3）画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 【答案】（1）② （2）先向右平移14个单位，然后向下平移2个单位得到的 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转中心的概念求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据轴对称的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，旋转中心是②， 故答案为：②； 【小问2详解】 由题意可得，三角形是由三角形先向右平移14个单位，然后向下平移2个单位得到的； 【小问3详解】 如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握平移、轴对称、旋转的概念和特征是解题关键． 24. 某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．” 小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．” 小明：“我们七年级师生共336人．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？ 【答案】（1）客运公司45座客车每辆每天的租金是800元，33座的客车每辆每天的租金是600元； （2）租用45座客车6辆，33座客车2辆． 【解析】 【分析】（1）设客运公司45座客车每辆每天租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元，根据“45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元，且租用4辆45座和2辆33座的客车一天的租金共计4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆，根据租用的客车正好乘坐336人，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出租车方案． 【小问1详解】 解：设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元， 依题意得： 解得：， 答：客运公司45座客车每辆每天的租金是800元，33座的客车每辆每天的租金是600元． 【小问2详解】 设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆， 依题意得：45m+33n=336， 解得： 又∵m，n均为自然数， 解得：， 答：应该租用45座客车6辆，33座客车2辆，才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 25. 我们定义：一个整数能表示（a，b是整数）的形式，则这个数为“和谐数”，例如：8是“和谐数”，理由：因为，所以8是“和谐数”． （1）请判断18________“和谐数”（填“是”或“不是”）； （2）当整数m，n满足时，求“和谐数”的值； （3）若实数x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）是 （2）12或14 （3）12 【解析】 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再代入，即可求解； （3）根据，可得，再代入把原式变形为，即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，理解“和谐数”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 是“和谐数”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， 综上所述，“和谐数” 的值为12或14； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 即， 的最小值为12． 26. 如图1，点为直线上一点，将一副三角板的各一锐角顶点放在点上，边，分别在射线，上，其中，，，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转． （1）如图2，三角板旋转到的内部． ①当恰好平分时，求旋转时间以及的度数； ②的度数是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （2）在三角板开始旋转的同时，三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，当三角板旋转时两个三角板都停止运动，在运动过程中，当时，请直接写出所有符合条件的运动时间（本题中所研究的角都是小于等于的角）． 【答案】（1）①12秒，15°；②是，165° （2）4或 【解析】 【分析】（1）①由题求出，又由平分，得出，进而得出结论； ②，进而求解； （2）根据题意分情况：①，，，根据，建立方程求解即可； ②画出图形，得出，进而得出结论． 【小问1详解】 解：①∵ ∴ 又平分 ∴ ∴秒 ． ②是定值．理由如下： ∵ ∴的度数是定值． 【小问2详解】 解：4或 解析：设运动时间为秒， ①如图1，，，， ∵， ∴． 解得． ②如图2，∵ ∴ ∴ 解得 综上可得，t的值为4或. 【点睛】本题考查了角的计算以及角度的旋转，通过审题找到角之间的关系是解决问题的关键，动角问题是一个难点，需要找到变化角之间的数量关系进而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$