精品解析：2024年山东滨州经济技术开发区初中学生学业质量检测数学试题

二〇二四年初中学生学业质量检测（二） 数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分． 1. 春节期间，全国各大影院上映多部电影．其中电影《流浪地球2》取得了3970000000元的票房成绩，3970000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：将用科学记数法表示为：． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，合并同类项，积的乘方对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．，故符合要求； B．，故不符合要求； C．，故不符合要求； D．，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，合并同类项，积的乘方．熟练掌握同底数幂的乘法、除法，合并同类项，积的乘方是解题的关键． 3. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可． 【详解】解：A选项：最小旋转角度； B选项：最小旋转角度； C选项：最小旋转角度； D选项：最小旋转角度； 综上可得：旋转的角度最小的是D． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 4. 已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小．先估算出的范围，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 5. 一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值． 【详解】解：A、发生变化前的平均数：，发生变化后的平均数：，，没有变化，故该选项不符合题意； B、发生变化前的中位数：，发生变化后的中位数：，没有变化，故该选项不符合题意； C、发生变化前的众数：2，发生变化前的众数：2，没有变化，故该选项不符合题意； D、发生变化前的方差：，发生变化后的方差：，发生变化，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟记概念和公式是解题的关键． 6. 和是两个等边三角形，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的平方是解答本题关键．所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积之比等于其相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵和是两个等边三角形， ∴， ， 相似比为：， 又∵两个相似三角的面积比等于其相似比的平方， ∴与的面积比是， 故选：C． 7. 如图，为的切线，A为切点，于点D， 交于点C，平分．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为的切线，得出，则，得出，根据平分，得出，再根据，得出，则，得出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ； ∵， ∴， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的概念，解题的关键是推出为等边三角形． 8. 如图，在正方形 中， ，对角线 上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线 上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得不可能为135°，故②错误；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故④正确，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作交 于H，如图所示： ∵四边形 和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线 上，故①正确； 假设， ∵ ∴， 则点P与点C重合， 此时不存在，故②错误； 取 的中点N，连接，如图所示： ∵点N是 的中点，点E是 中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是线段 上一点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴此时， ∴有最小值为，故③正确； ∵， ∴， 当点P是 中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时， ∴为等腰三角形时，的值为或；故④正确； 综上分析可知，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题：本题共8小题，满分24分． 9. ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法．根据二次根式减法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 11. 在一次英语测试中，七年级（1）班和七年级（2）班的学生人数和平均成绩如下表： 班级 人数 平均成绩/分 七年级（1）班 七年级（2）班 则这两个班的平均成绩为____________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数．熟练掌握算术平均数是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，两个班的平均成绩为（分）， 故答案为：． 12. 已知函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：____________． 【答案】（此题答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可．设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得b的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小， ∴，即取负数， 当时， 函数解析式为． 故答案为：． 13. 古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图尺，尺，问井深是多少？如图，设井深为尺，根据题意可列方程__________．（不需要化简） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】根据题意可知尺， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 14. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过__________分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案． 【详解】解：设甲仓库的快件数量 （件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量 （件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点、，连结 ． （1）点A是否在点P的运动路径上：_________；（填“是”或“否”） （2）若点P只是在第一象限内运动，过点P作于Q，当取得最大值时，点P的坐标是________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】（1）当时，求出纵坐标即可做出判断； （2）过点P作轴，交 于E，先求出一次函数 的解析式，再根据勾股定理求出 的长，根据三角形内角和可得出，根据解直角三角形的计算求出，可知当最长时，最长，根据，则，表示出，可求出当时，最大为1，即可得出最后结果． 【详解】解：（1），， 当时，， 点A在点P的运动路径上， （2）如图，过点P作轴，交 于E， 设直线 的解析式为： ，， ， 解得：， 直线 的解析式为：， ， 在中，， ， ， 在中，， 当最长时，最长， ，则， ，， ， 当时，最大为1，此时， 故答案为：是；． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，函数值的求解，二次函数的最值求解，解直角三角形的应用，勾股定理，一次函数解析式的求解，三角形内角和定理正确作出辅助线，判断出当最长时，最长是解答本题的关键． 16. 如图，在△ABC中，，以AC为边在△ABC外作等腰三角形△AMC，满足，AM//BC，是边 的中点，连结，作射线BO交折线段A—M—C于点N，若MN＝2，ON＝3，则AM的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分N在AM和CM上两种情况；当N在CM上，根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、平行线的性质，通过证明、、，得可化为一元二次方程的分式方程，通过求解即可得到答案；当N在AM上，结合全等三角形、矩形的性质，通过勾股定理性质列一元二次方程并求解，即可完成求解． 【详解】分N在AM和CM上两种情况： 当N在CM上，分别延长AM、BN，并交于点P，如下图： ∵，是边 的中点 ∴ ∴ ∵等腰三角形△AMC， ∴ ∵AM//BC， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， 设 ∵MN＝2，ON＝3， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴或（不符合题意，舍去） 经检验，时， ∴是原方程的解； 当N在AM上，连接CN，如下图： 设 ∵，是边 的中点 ∴ ∵AM//BC， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴四边形为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴或（不符合题意，舍去） ∴AM的长为：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形、矩形、全等三角形、相似三角形、分式方程、一元二次方程、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线、矩形、全等三角形、相似三角形、分式方程、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的混合运算．熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，分式混合运算法则是解决问题的关键． （1）根据特殊角的正弦值，零指数幂和绝对值化简； （2）先计算括号内异分母减法，再将除法变为乘法，根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）． ． 18. 解方程与不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及解不等式组，熟练掌握解一元二次方程以及解不等式组的方法是解题的关键． （1）先移项再配方进行计算即可； （2）分别解出两个不等式的解集，再得出答案即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：． 解不等式①得，． 解不等式②得，． 所以不等式组的解集是． 19. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； （2）补全条形统计图； （3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 【答案】（1）50，72 （2） 补全条形统计图如下； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数， 再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果； （2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图； （3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：该班的总人数为：（人）， 学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50；72； 【小问2详解】 解：由题意可得： 选“B：足球”的学生人数为：（人）， 选“E：乒乓球”的学生人数为：（人） 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种； ∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为． 【点睛】本题考查了画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键． 20. 如图，在矩形 中，，，点A在直线l上， 与直线l相交所得的锐角为．点F在直线l上， ，⊥直线l，垂足为点F且，以为直径，在的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点． 发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l的位置关系是 ． 思考：矩形 保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在 边上时，重叠部分面积为多少？ 【答案】发现：；；平行（或）；思考： 【解析】 【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，，，当三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可； 思考：如图2，连接，作于 ，则，，由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】发现：解：如图1，连接，作于， 由题意知，，， 当三点共线时，最小， 由勾股定理得，， ∴的最小值为； 当重合时，最大， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ∵矩形 ， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：平行（或）； 故答案为：；；平行（或）； 思考：解：如图2，连接，作于 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴重叠部分面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键． 21. 在中，，，． （1）请用尺规作图作出的外接圆，并在外接圆上找一点D，使； （2）在上面得出的图形中，连接 ，求出 的长度． 【答案】（1） 解：，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 的外接圆圆心即为线段 的中点， 如图所示，，点D即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是直角三角形，且，根据直径所对圆周角等于，易得的外接圆圆心即为线段 的中点，作线段 的垂直平分线即可； （2）连接 、 ，过点D作，交的延长线于点E，过点D作，交 于点F，证明四边形为正方形，易证，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 、 ，过点D作，交的延长线于点E，过点D作，交 于点F， 在中， ∵，，． ∴， ∴ 为直径． ∵， ∴，， 平分， 又∵，， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， 又， ∴四边形为正方形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，三角形外接圆，垂直平分线的作法，圆周角定理，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台 型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台 型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台 型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台 型机器人售价2万元，该公司计划采购、 两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台 型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台 型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、 两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：． 答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨． （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得： 100m+80（20-m）≥1800， 解得：m≥10． 设该公司计划采购、 两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40， ∵k=1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元）， 此时20-m=10． 所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键． 23. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】（1）d，h （2） 描点，连线，画出图象如图： ； （3）①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【小问1详解】 解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 24. 【问题提出】 如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为 ，且交于、两点（在、 之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远望数”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点 的坐标为，过点 画垂直于 轴的直线 ，则半径为1的关于直线 的“远点”坐标是______，直线 向下平移______个单位长度后与相切． （2）在（1）的条件下求关于直线 的“远望数”． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线经过点，与 轴交于点，点 坐标为，以 为圆心，为半径作．若与直线相离，是关于直线的“远点”．且关于直线的“远望数”是，求直线的函数表达式． 【答案】（1），3或5；（2）关于直线 的“远望数”；（3）直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标系和圆的性质分析，即可得到答案； （2）根据题意，结合（1）的结论计算，即可得到答案； （3）过 作轴，垂足为点，连接并延长交直线于，交于点，根据相似三角形、一次函数、圆的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵的半径为1 ∴， 根据题意，得半径为1的关于直线 的“远点”坐标是： ∵点 的坐标为，过点 画垂直于 轴的直线 ， ∴， ∴直线 向下平移3或5个单位长度后与相切 故答案为：，3或5； （2）∵， ∴，， ∴关于直线 的“远望数”． （3）如图，过 作轴，垂足为点，连接并延长交直线于，交于点， 由题意得：． ∵ 坐标为， ∴， ∴． ∵是关于直线的“远点”， ∴， ∴． ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了圆、相似三角形、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握切线、相似三角形的性质，从而完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二四年初中学生学业质量检测（二） 数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试题卷和答题卡规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分24分． 1. 春节期间，全国各大影院上映多部电影．其中电影《流浪地球2》取得了3970000000元的票房成绩，3970000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 和是两个等边三角形，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的切线，A为切点，于点D， 交于点C，平分．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形 中， ，对角线 上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线 上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题：本题共8小题，满分24分． 9. ____________． 10. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 11. 在一次英语测试中，七年级（1）班和七年级（2）班的学生人数和平均成绩如下表： 班级 人数 平均成绩/分 七年级（1）班 七年级（2）班 则这两个班的平均成绩为____________分． 12. 已知函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：____________． 13. 古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图尺，尺，问井深是多少？如图，设井深为尺，根据题意可列方程__________．（不需要化简） 14. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过__________分钟时，当两仓库快递件数相同． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点、，连结 ． （1）点A是否在点P的运动路径上：_________；（填“是”或“否”） （2）若点P只是在第一象限内运动，过点P作于Q，当取得最大值时，点P的坐标是________． 16. 如图，在△ABC中，，以AC为边在△ABC外作等腰三角形△AMC，满足，AM//BC，是边 的中点，连结，作射线BO交折线段A—M—C于点N，若MN＝2，ON＝3，则AM的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 解方程与不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 19. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； （2）补全条形统计图； （3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 20. 如图，在矩形 中，，，点A在直线l上， 与直线l相交所得的锐角为．点F在直线l上， ，⊥直线l，垂足为点F且，以为直径，在的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点． 发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l的位置关系是 ． 思考：矩形 保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在 边上时，重叠部分面积为多少？ 21. 在中，，，． （1）请用尺规作图作出的外接圆，并在外接圆上找一点D，使； （2）在上面得出的图形中，连接 ，求出 的长度． 22. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台 型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台 型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台 型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台 型机器人售价2万元，该公司计划采购、 两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 23. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 24. 【问题提出】 如图1，与直线 相离，过圆心作直线 的垂线，垂足为 ，且交于、两点（在、 之间）．我们把点称为关于直线 的“远点”，把的值称为关于直线 的“远望数”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点 的坐标为，过点 画垂直于 轴的直线 ，则半径为1的关于直线 的“远点”坐标是______，直线 向下平移______个单位长度后与相切． （2）在（1）的条件下求关于直线 的“远望数”． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线经过点，与 轴交于点，点 坐标为，以 为圆心，为半径作．若与直线相离，是关于直线的“远点”．且关于直线的“远望数”是，求直线的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $