1.3.1不等式的性质第2课时课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§3　不等式 3.1　不等式的性质 第2课时　不等式性质 数学 目标导向 数学 数学 自主学习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 新课程标准解读 核心素养 掌握等式和不等式的基本性质 数学抽象 运用不等式的性质解决有关问题 数学运算 新知初探 1．等式的基本性质 (1)性质1　如果a＝b，那么b＝a； (2)性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； (5)性质5　如果a＝b，c≠0，那么 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c). 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔________． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒________． (3)可加性：a＞b⇔________． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒________；a＞b，c＜0⇒________． (5)同向可加性：a＞b，c＞d⇒__________． (6)同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒________． (7)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2). 【微点拨】　倒数性质 若a>b，当a>b>0或b<a<0时， eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，当b<0<a时， eq \f(1,a)> eq \f(1,b). 答案 2．(1)b＜a　(2)a＞c　(3)a＋c＞b＋c (4)ac＞bc　ac＜bc　(5)a＋c＞b＋d (6)ac＞bd 初试身手 1．思考辨析．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　) (2)若a＞b，则ac2＞bc2一定成立．(　　) (3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　) (4)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．(　　) (5)当x>－3时，一定有 eq \f(1,x)<－ eq \f(1,3).(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．若a>b，则下列各式正确的是(　　) A．a－2>b－2　　B．2－a>2－b C．－2a>－2b D．a2>b2 解析：因为a>b，所以a－2>b－2，故A正确；2－a<2－b，故B错误；－2a<－2b，故C错误；a2，b2无法比较大小，故D错误． 答案：A 3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 解析：∵a＋b>0，a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，∴a>－b>b>－a. 答案：C 4．若a＞b＞0，n＞0，则 eq \f(1,an)________ eq \f(1,bn).(填“＞”“＜”或“＝”) 解析：因为a>b>0，n>0，所以an>bn>0. 因为 eq \f(1,an·bn)>0，所以an· eq \f(1,anbn)>bn· eq \f(1,anbn)，所以 eq \f(1,bn)> eq \f(1,an). 答案：＜ 　类型1　利用不等式性质判断命题真假 【例1】　(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是(　　) A．若a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 C．若a＞b， eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0 D．若a＜b＜0，则 eq \f(b,a)＞ eq \f(a,b) 【解析】　因为a3，b3不改变a，b的符号，即符合不等式的可乘方性可知A正确； 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜b，,a＜0))可得a2＞ab.因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜b，,b＜0，))所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2，B正确； 由 eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)，可知 eq \f(1,a)－ eq \f(1,b)＝ eq \f(b－a,ab)＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，C正确； 依题意取a＝－2，b＝－1，则 eq \f(b,a)＝ eq \f(1,2)， eq \f(a,b)＝2，显然 eq \f(b,a)＜ eq \f(a,b)，D错误． 【答案】　ABC 【反思领悟】 利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若a>b，则a－c>b－c B．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d C．若 eq \r(a)> eq \r(b)，且c>0，则ac>bc D．若a>b，b≠0，则 eq \f(a,b)>1 (2)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab>bc B．ac>bc C．ab>ac D．a|b|>|b|c 解析：(1)若a>b，则a－c>b－c，A正确；若a>b，且a＋c>b＋d，不一定有c>d，B错误； 若 eq \r(a)> eq \r(b)，则a>b>0，又c>0，则ac>bc，C正确；若a>b，b≠0，则不一定有 eq \f(a,b)>1，D错误． (2)因为a>b>c，且a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，所以ab>ac. 答案：(1)AC　(2)C 类型2　利用不等式性质证明简单不等式 【例2】　已知c>a>b>0，求证： eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 【证明】　因为a>b>0⇒－a<－b ⇒c－a<c－b. 因为c>a，所以c－a>0.所以0<c－a<c－b. 上式两边同乘 eq \f(1,(c－a)(c－b))，得 eq \f(1,c－a)> eq \f(1,c－b)>0. 又因为a>b>0，所以 eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 【反思领悟】 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 跟踪训练2 若bc－ad≥0，bd＞0，求证： eq \f(a＋b,b)≤ eq \f(c＋d,d). 证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd， 即b(c＋d)≥d(a＋b). 又bd＞0，两边同除以bd得， eq \f(a＋b,b)≤ eq \f(c＋d,d). 类型3　不等式性质的应用 【例3】　(1)已知－6<a<8，2<b<3，求2a＋b，a－b及 eq \f(a,b)的取值范围． (2)已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的取值范围． 【解】　(1)∵－6<a<8，2<b<3， ∴－12<2a<16，－10<2a＋b<19， 又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. 又 eq \f(1,3)< eq \f(1,b)< eq \f(1,2)，当0≤a<8时，0≤ eq \f(a,b)<4①； 当－6<a<0时，－3< eq \f(a,b)<0②. 由①②得－3< eq \f(a,b)<4. (2)令 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－c＝m，,4a－c＝n，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)(n－m)，,c＝－\f(4,3)m＋\f(1,3)n.)) ∴9a－c＝ eq \f(8,3)n－ eq \f(5,3)m， ∵－4≤m≤－1，∴ eq \f(5,3)≤－ eq \f(5,3)m≤ eq \f(20,3). ∵－1≤n≤5，∴－ eq \f(8,3)≤ eq \f(8,3)n≤ eq \f(40,3). 由①②可得－1≤ eq \f(8,3)n－ eq \f(5,3)m≤20.即－1≤9a－c≤20. 【反思领悟】 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 跟踪训练3 (1)若－ eq \f(π,2)<α<β< eq \f(π,2)，求α－2β的取值范围． (2)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤1，－1≤x＋2y≤3，求x＋3y的取值范围． 解：(1)∵－ eq \f(π,2)<α< eq \f(π,2)， － eq \f(π,2)<β< eq \f(π,2)，∴－π<α－β<π， 又α<β，∴－π<α－β<0，∴－ eq \f(3π,2)<α－2β< eq \f(π,2). (2)设x＋3y＝m(x＋y)＋n(x＋2y) ＝(m＋n)x＋(m＋2n)y， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋n＝1，,m＋2n＝3，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝2.)) ∴x＋3y＝－(x＋y)＋2(x＋2y). 又∵－1≤x＋y≤1，－1≤x＋2y≤3， ∴－3≤－(x＋y)＋2(x＋2y)≤7， ∴x＋3y的取值范围是－3≤x＋3y≤7. 1．知识清单： (1)等式与不等式性质； (2)不等式性质的应用． 2．方法归纳：特值法、整体思想． 3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性． $$