1.3.1不等式的性质第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§3　不等式 　3.1　不等式的性质 第1课时　不等关系与不等式 数学 目标导向 数学 数学 自主学习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 新课程标准解读 核心素养 会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 数学建模 会用作差法比较两实数的大小 逻辑推理 新知初探 1．不等关系与不等式 (1)不等式的概念 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些__________叫做不等式． (2)不等式中文字语言与符号语言之间的转换 　　2.实数大小比较的基本事实 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a________b；如果a－b等于0，那么a________b；如果a－b是负数，那么a________b，反过来也对． (2)符号表示 a－b>0⇔a________b；a－b＝0⇔a________b；a－b<0⇔a________b. 3．重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． 答案 1．(1)不等号的式子　(2)>　<　≥　≤ 2．(1)>　＝　<　(2)>　＝　< 3．≥　a＝b 初试身手 1．思考辨析．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (2)若x2＝0，则x≥0.(　　) (3)若x－1≤0，则x＜1.(　　) (4)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　) A．v＜60　　B．v＞60 C．v≤60 D．v≥36 解析：根据生活常识可知v≤60. 答案：C 3．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为________． 解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以x2＋2>3x. 答案：x2＋2>3x 4．若a，b∈R，且a2＋b2＝1，则ab的最大值为________，此时a＝________． 解析：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤ eq \f(a2＋b2,2)＝ eq \f(1,2)， 当且仅当a＝b＝ eq \f(\r(2),2)时等号成立． 答案： eq \f(1,2)　 eq \f(\r(2),2) 类型1　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式(组)表示为(　　) A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥2(x∈N),y≥2(y∈N),0.8×5x＋2×4y≤50)) B. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤2,y≤2,0.8×5＋2×4y≤50)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥2,y≥2)) D．0.8×5x＋2×4y≤50 【解析】　由题意易得，0.8×5x＋2×4y≤50，由每种邮票至少买两套，得x≥2，x∈N，y≥2，y∈N. 【答案】　A 【反思领悟】 将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量； (2)用适当的不等号连接； (3)多个不等关系用不等式组表示． 跟踪训练1 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m，试用不等式表示其中的不等关系． 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18， 这时菜园的另一条边长为 eq \f(30－x,2)＝(15－ eq \f(x,2))(m). 因此菜园面积S＝x·(15－ eq \f(x,2))，依题意有S≥110， 即x(15－ eq \f(x,2))≥110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＜x≤18，,x(15－\f(x,2))≥110.)) 类型2　比较两数(式)的大小 【例2】　(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a，b为正实数，试比较 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))与 eq \r(a)＋ eq \r(b)的大小． 【解】　(1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((x－\f(1,2))2＋\f(3,4))). ∵x<1，∴x－1<0.又(x－ eq \f(1,2))2＋ eq \f(3,4)>0， ∴(x－1) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((x－\f(1,2))2＋\f(3,4)))<0.即x3－1<2x2－2x. (2)解法1(作差法)：( eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a)))－( eq \r(a)＋ eq \r(b)) ＝( eq \f(a,\r(b))－ eq \r(b))＋( eq \f(b,\r(a))－ eq \r(a)) ＝ eq \f(a－b,\r(b))＋ eq \f(b－a,\r(a))＝ eq \f((a－b)(\r(a)－\r(b)),\r(ab)) ＝ eq \f((\r(a)－\r(b))2(\r(a)＋\r(b)),\r(ab)). ∵a，b为正实数， ∴ eq \r(a)＋ eq \r(b)>0， eq \r(ab)>0，( eq \r(a)－ eq \r(b))2≥0， ∴ eq \f((\r(a)－\r(b))2(\r(a)＋\r(b)),\r(ab))≥0，∴ eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b). 解法2(作商法)： eq \f(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)),\r(a)＋\r(b))＝ eq \f((\r(a))3＋(\r(b))3,\r(ab)(\r(a)＋\r(b))) ＝ eq \f((\r(a)＋\r(b))(a＋b－\r(ab)),\r(ab)(\r(a)＋\r(b)))＝ eq \f(a＋b－\r(ab),\r(ab)) ＝ eq \f((\r(a)－\r(b))2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋ eq \f((\r(a)－\r(b))2,\r(ab))≥1. ∵ eq \f(b,\r(a))＋ eq \f(a,\r(b))>0， eq \r(a)＋ eq \r(b)>0，∴ eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b). 解法3(平方后作差)： ∵( eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a)))2＝ eq \f(a2,b)＋ eq \f(b2,a)＋2 eq \r(ab)， ( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝a＋b＋2 eq \r(ab)， ∴( eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a)))2－( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝ eq \f((a＋b)(a－b)2,ab). ∵a>0，b>0，∴ eq \f((a＋b)(a－b)2,ab)≥0. 又 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))>0， eq \r(a)＋ eq \r(b)>0，故 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b). 跟踪训练2 (1)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小． (2)已知a≥1.试比较M＝ eq \r(a＋1)－ eq \r(a)和N＝ eq \r(a)－ eq \r(a－1)的大小． 解：(1)因为x－y＝a3－b－a2b＋a ＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)， 所以当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y. (2)∵M－N＝( eq \r(a＋1)－ eq \r(a))－( eq \r(a)－ eq \r(a－1)) ＝ eq \f(1,\r(a＋1)＋\r(a))－ eq \f(1,\r(a)＋\r(a－1)). ＝ eq \f(\r(a－1)－\r(a＋1),(\r(a＋1)＋\r(a))(\r(a)＋\r(a－1))). ∵a≥1.∴ eq \r(a＋1)＋ eq \r(a)>0， eq \r(a)＋ eq \r(a－1)>0. 又0<a<a＋1，∴ eq \r(a－1)< eq \r(a＋1)， 即 eq \r(a－1)< eq \r(a＋1)<0. ∴M－N<0，故M<N. 类型3　不等关系的实际应用 【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 【解】　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋ eq \f(3,4)x·(n－1)＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(3,4)xn，y2＝ eq \f(4,5)nx. 因为y1－y2＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(3,4)xn－ eq \f(4,5)nx ＝ eq \f(1,4)x－ eq \f(1,20)nx＝ eq \f(1,4)x(1－ eq \f(n,5))， 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 【反思领悟】 解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可． 跟踪训练3 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案． 解：因为组建中型图书角x个， 所以组建小型图书角为(30－x)个， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<x<30，x∈N*，,80x＋30(30－x)≤1 900，,50x＋60(30－x)≤1 620.)) 解这个不等式组得18≤x≤20. 由于x只能取正整数， 所以x的取值是18，19，20. 当x＝18时，30－x＝12； 当x＝19时，30－x＝11； 当x＝20时，30－x＝10. 故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个． 1．知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系； (2)作差法比较大小； (3)不等关系的实际应用． 2．方法归纳：作差法． 3．常见误区：实际问题中变量的实际意义． $$