精品解析：2024年山东省日照市岚山区九年级中考二模数学试题

2024年初中学业水平模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑。如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案。不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在，，，0中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数：无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可判定选择项即可． 【详解】解：A. 是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； B. 是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； C. 是无理数，故此选项符合题意； D.0是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C 2. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义即可得出答案． 【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 3. 锂离子电池是一种二次电池（充电电池），它主要依靠锂离子在正极和负极之间移动来工作，一个锂离子在某种环境下大小为，即，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 运用合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意； B. ，故B选项错误，不符合题意； C. ，故C选项正确，符合题意； D. ，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 5. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 找到从几何体的上看所得到的图形即可． 【详解】解：这个“堑堵”的俯视图是A图， 故选：A． 6. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 故选：A． 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等 D. 三角形的内心到三边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的定义，菱形的判定，同圆或等圆中，等弦所对的圆周角的关系，三角形的内心，真命题对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，A不是真命题，故不符合要求； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，B不是真命题，故不符合要求； 在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，C不是真命题，故不符合要求； 三角形的内心到三边的距离相等，D是真命题，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的定义，菱形的判定，同圆或等圆中，等弦所对的圆周角的关系，三角形的内心，真命题等知识．熟练掌握正多边形的定义，菱形的判定，同圆或等圆中，等弦所对的圆周角的关系，三角形的内心，真命题是解题的关键． 8. 如图，在边长是4的菱形中，，点P从B出发，沿折线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意可以分别得到各段与的函数解析式，从而可以解答本题，解题的关键是明确题意，写出各段的函数解析式，明确函数的图象，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在点从点运动到点的过程中，如图，过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ， 在点从点运动到点的过程中，如图，过点作于点，过点作 于点， 则 ∵在菱形中，， ， 在点从点运动到点的过程中，如图，过点作于点，则， ， 综上所述，能反映y与x之间函数关系的图象是C选项， 故选：C． 9. 如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键． 10. 已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 已知与互为补角，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角．熟练掌握互为补角的两角之和为是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 13. 根据，可以推出，由此得出，即．要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了幂、零次幂的条件，掌握幂的底数不等于零、零次幂的底数不等于零成为解题的关键． 由幂的底数不等于零、零次幂的底数不等于零列不等式计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且，即且． 故答案为：且． 14. 如图，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形的周长为，则这段“斐波那契螺旋线”的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，弧长等知识，正确表示各正方形的边长是解题的关键．如图，设，则，，，，矩形的长为，宽为，依题意得，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 设，则，，，，矩形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，矩形的边平行于x轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点O，且，若矩形的面积是16，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值． 【详解】解：延长交x轴于点F，如图所示， 由点D在反比例函数的图象上，则设， ∵矩形的边平行于轴，，， ∴轴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：12． 16. 如图，正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，连结，下列结论：①；②；③当时，；④的周长是个定值．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】如图1，过作于，证明，则，可判断①的正误；由，，可得，可判断②的正误，设，则，，由勾股定理得，，则，证明，则，即，可得，可判断③的正误；如图2，作于，证明，则，，证明，则，由的周长为，可判断④的正误． 【详解】解：如图1，过作于， 图1 ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵，， ∴，②正确，故符合要求； ∵， 设，则，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，③错误，故不符合要求； 如图2，作于， 图2 ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长为，即的周长是个定值，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形与折叠，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形与折叠，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： ； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1） （2），1 【解析】 【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，余弦，负整数指数幂，零指数幂，然后进行加减运算即可； （2）先通分，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 将代入得，原式． 【点睛】本题考查了余弦，负整数指数幂，零指数幂，分式的化简求值．熟练掌握余弦，负整数指数幂，零指数幂，分式的化简求值是解题的关键． 18. 端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6200元． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包（每个礼包含甲、乙共20个粽子），并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元； （2）每个礼包中至少含乙种粽子个． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，列出方程求解即可； （2）设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，依题意得： ， 解得：， ∴（元）， ∴甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元． 【小问2详解】 解：设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，依题意得： ， 整理得：， 解得：， ∴每个礼包中至少含乙种粽子个，使每个礼包利润不低于元， 19. 随着快递行业的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．为调研快递公司服务质量，更好地服务于农产品种植户，某部门随机抽取50家有快递业务的农产品种植户对甲乙两家快递公司的服务进行评分（百分制），并整理、描述、分析，将得分（单位：分）分为五组：一组：；二组：；三组：；四组：；五组：，部分信息如下： ①甲公司得分在二组的户数占参赛户数的；乙公司得分在三组中最低的10个得分分别为：70，70，71，71，71，72，72，74，74，75． ②甲、乙公司得分统计图如下： ③甲、乙公司得分平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲快递公司 69 71 78 乙快递公司 70 b 77 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________． （2）请补全甲快递公司得分条形统计图； （3）在这次调查中，有一家种植户给甲、乙两个快递公司的打分成绩均为72分，这个成绩在________（填“甲”或“乙”）快递公司排名（从高到低）更靠前； （4）甲、乙两个快递公司计划推出惠农帮扶活动，现分别从A，B，C三家农产品种植户中任选一户合作，求两个快递公司选择同一家种植户的概率． 【答案】（1）34，73 （2） 补全条形统计图如下： （3）甲 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查求众数，中位数以及画树状图或列表法求概率： （1）在乙快递公司得分扇形统计图中用1减去一、二、四、五组的百分比即可求出a；根据中位数的定义可求出b； （2）用50乘以可得甲公司二组的户数，然后用总数减去一、二、三、四组人数可得五组人数，然后补全条形统计图即可； （3）根据中位数进行判断即可； （4）画树状图得出所有等可能的结果数和两个快递公司选择同一家种植户的结果数，根据概率公式计算即可 【小问1详解】 解：， 即； 一、二组人数和为（人）， ∴第25，26个数据为72，74，则其中位数， 故答案为：34，73； 【小问2详解】 解：甲公司二组人数为：（人）， 则五组人数为：（人） 【小问3详解】 甲公司得分的中位数是71，乙公司的中位数是73， 72分在甲公司得分中，更靠前， 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 从树状图可得，共有9种，其中两个快递公司选择同一家种植户的共有3种， 所以，两个快递公司选择同一家种植户的概率为 20. 风景秀丽的阿掖山位于日照市岚山区内，是市民旅游休闲的打卡地，从阿掖山东侧的岚山驿站乘坐缆车只需要即可上山，为游客上下山提供了方便．如图，是阿掖山缆车索道平面图，A是山脚驿站，整个索道分为、两段，索道长米，且与水平面的夹角，缆车在该段上行驶速度为，索道与水平面的夹角，缆车在该段上行驶速度为（A、B、C、O在同一平面内）．求阿掖山的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 如图，作于，于，则四边形是矩形，，由题意知，索道段的时间为，则索道段的时间为，可求，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，索道段的时间为， ∴索道段的时间为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阿掖山的高度为． 21. 如图，在中，，点E是边上的点，点O是边上的点，过点E作与边分别相交于点D，F，． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）的长为． 【解析】 【分析】此题考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接， 由是的直径，得，由，得垂直平分，再证明，则，即可证明为的切线； （2）由勾股定理求出，设，则，由，进一步求得即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 22. 我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： （1）方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． （2）若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． （3）在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． 【答案】（1），2 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得，计算求解即可；由，可得，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，整理得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可知，则反比例函数图象在第一、三象限，如图，设一次函数与轴的交点为，则，联立得，整理得，，则，，，由，可得，当时，，求最大值；当时，，求最大值，然后判断作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：由题意知，，， ∴，整理得，， ∴， 解得，（此时方程无解，舍去）或； ∴的值为4； 【小问3详解】 解：∵， ∴，反比例函数图象在第一、三象限， 如图，设一次函数与轴的交点为，则， 联立，得，整理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，当时，有最大值4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反比例函数与一次函数综合，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反比例函数与一次函数综合，二次函数的图象与性质是解题的关键． 23. 给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． （1）如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； （2）如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 【答案】（1）=；120 （2）； 理由如下：如图， 在上截取，使，连接， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和等腰三角形的性质： （1）先判断出，进而判断出，得出，，即可得出答案； （2）在上截取，使，连接，先判断出，进而判断出，最后利用等边三角形性质求解，即可得出答案； （3）方法同（2）可得解 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴和是等边三角形， ∴ ∴； 故答案为：=；120； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：；理由如下：如图， 在上截取，使，连接交于K， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 24. 已知抛物线与x轴分别交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点D是线段上一个动点，过点D作的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，当线段长有最大值时，求点D的坐标； （3）如图②，点M的坐标是，点P为抛物线的顶点，点Q是x轴上一个动点，把沿直线翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点E作，交于点M，可得是等腰直角三角形，，当最大，则最大，设，则，则当最大，此时，进而即可求解； （3）分当点Q在O的右侧时，和当点Q在O的左侧时，画出图形利用勾股定理列方程组求解即可 【小问1详解】 解：把、代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作，交于点M， 令，则，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，当最大，则最大， 由题意得：直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴时，最大，则最大，此时， ∴直线与x轴的交点坐标为：，即， ∴直线的解析式为：， ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴， 当点Q在O的右侧时， ∵把沿直线翻折，使点P刚好落在x轴上， 设， ∵， ∴， 解得：（正值舍去），， ∴， 当点Q在O的左侧时， 设， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），， ∴ ∴或 【点睛】本题考考查二次函数图像与性质，折叠的性质，根据题意画出图形，分类讨论是关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑。如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案。不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在，，，0中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 锂离子电池是一种二次电池（充电电池），它主要依靠锂离子在正极和负极之间移动来工作，一个锂离子在某种环境下大小为，即，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等 D. 三角形的内心到三边的距离相等 8. 如图，在边长是4的菱形中，，点P从B出发，沿折线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 已知与互为补角，，则的度数是________． 12. 因式分解：________． 13. 根据，可以推出，由此得出，即．要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 14. 如图，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形的周长为，则这段“斐波那契螺旋线”的长度为________． 15. 如图，矩形的边平行于x轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点O，且，若矩形的面积是16，则___________． 16. 如图，正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，连结，下列结论：①；②；③当时，；④的周长是个定值．其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： ； （2）先化简再求值：，其中． 18. 端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6200元． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包（每个礼包含甲、乙共20个粽子），并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？ 19. 随着快递行业的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．为调研快递公司服务质量，更好地服务于农产品种植户，某部门随机抽取50家有快递业务的农产品种植户对甲乙两家快递公司的服务进行评分（百分制），并整理、描述、分析，将得分（单位：分）分为五组：一组：；二组：；三组：；四组：；五组：，部分信息如下： ①甲公司得分在二组的户数占参赛户数的；乙公司得分在三组中最低的10个得分分别为：70，70，71，71，71，72，72，74，74，75． ②甲、乙公司得分统计图如下： ③甲、乙公司得分平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲快递公司 69 71 78 乙快递公司 70 b 77 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________． （2）请补全甲快递公司得分条形统计图； （3）在这次调查中，有一家种植户给甲、乙两个快递公司的打分成绩均为72分，这个成绩在________（填“甲”或“乙”）快递公司排名（从高到低）更靠前； （4）甲、乙两个快递公司计划推出惠农帮扶活动，现分别从A，B，C三家农产品种植户中任选一户合作，求两个快递公司选择同一家种植户的概率． 20. 风景秀丽的阿掖山位于日照市岚山区内，是市民旅游休闲的打卡地，从阿掖山东侧的岚山驿站乘坐缆车只需要即可上山，为游客上下山提供了方便．如图，是阿掖山缆车索道平面图，A是山脚驿站，整个索道分为、两段，索道长米，且与水平面的夹角，缆车在该段上行驶速度为，索道与水平面的夹角，缆车在该段上行驶速度为（A、B、C、O在同一平面内）．求阿掖山的高度．（参考数据：，，） 21. 如图，在中，，点E是边上的点，点O是边上的点，过点E作与边分别相交于点D，F，． （1）求证：为的切线； （2）当，时，求的长． 22. 我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： （1）方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． （2）若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． （3）在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． 23. 给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． （1）如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； （2）如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 24. 已知抛物线与x轴分别交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点D是线段上一个动点，过点D作的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，当线段长有最大值时，求点D的坐标； （3）如图②，点M的坐标是，点P为抛物线的顶点，点Q是x轴上一个动点，把沿直线翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $