2025届高三数学一轮复习对点练：单调性与最大(小)值

2025届高三数学一轮复习对点练　单调性与最大(小)值 【基础巩固】 1.(2024·厦门调考)若函数f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) 2.对于任意的实数x，已知函数f(x)＝则f(x)的最大值是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 3.已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有＜0，则(　　) A.f(3)＞f(π)＞f(2) B.f(π)＜f(3)＜f(2) C.f(2)＞f(π)＞f(3) D.f(π)＞f(2)＞f(3) 4.(2024·哈尔滨质检)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)>f(－3－x2)对∀x∈(3，＋∞)恒成立，则a的取值范围为(　　) A.[－1，＋∞) B.[3，＋∞) C.[0，＋∞) D.(1，＋∞) 5.(2024·兰州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是(　　) A. B. C. D. 6.(2024·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　) A.f(a)＞f(b)＞f(c) B.f(b)＞f(a)＞f(c) C.f(a)＞f(c)＞f(b) D.f(c)＞f(a)＞f(b) 7.已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.[0，2] C.(－∞，2] D.[1，2] 8.函数y＝4x－的值域是________. 9.已知函数f(x)＝－log2(x＋2)，若f(a－2)＞3，则a的取值范围是________. 10.(2024·杭州调研)设函数f(x)＝当f(x)存在最小值时，实数a的取值范围是________. 11.已知函数f(x)＝ax－＋(a＞0)，且f(x)在(0，1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值. 12.已知函数f(x)＝. (1)写出函数f(x)的定义域和值域； (2)证明函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值. 【能力提升】 13.(2024·石家庄质检)已知max{a，b}表示取a和b中较大的数.若对任意x∈R，函数f(x)＝max，则f(x)的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 14.设函数f(x)＝x2 024－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________. 15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数y＝－的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为________. 16.已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. 参考答案 1.B　[因为f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，所以m>1，故f(m)>f(1).] 2.C　[因为f(x)＝ 则f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)的最大值为f(1)＝1.] 3.B　[易知f(x)是R上的减函数， 又π＞3＞2，故f(π)＜f(3)＜f(2).] 4.C　[由题意，得－4x＋a>－3－x2对∀x∈(3，＋∞)恒成立，则a>－x2＋4x－3对∀x∈(3，＋∞)恒成立.设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，则当x>3时，g(x)<0，所以a的取值范围为[0，＋∞).] 5.D　[函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)在R上单调递增， 因为f(4)＝2， 所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)， 故2x－1<4，即x<.] 6.A　[y＝ex是增函数，y＝－e－x是增函数， 因此在(0，＋∞)上y＝ex－e－x单调递增， 且此时f(x)＞0； 又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增， 且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增. c＝log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1， 即a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c).] 7.D　[令y＝f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 易知当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝2. 因为f(0)＝3，且函数f(x)在[0，m]上有最大值3，最小值2， 由二次函数图象的对称性，知f(2)＝f(0)＝3， 所以1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1，2].] 8.　[由2x－1≥0得x≥， 即函数的定义域为， 设t＝，则t≥0，且t2＝2x－1， 即x＝，则原函数等价为y＝4×－t＝2t2－t＋2＝2＋， ∵t≥0，∴y≥，即函数的值域为.] 9.(0，1)　[由f(x)＝－log2(x＋2)知，f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数， 且f(－1)＝3， 由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)， ∴解得0＜a＜1.] 10.(－∞，－1]∪{0}　[当x≥a时，f(x)＝x2－2ax＋1图象的对称轴方程为x＝a， 要想f(x)存在最小值，当x<a时，f(x)＝ax－1单调递减，且在x＝a处，y＝ax－1的函数值要大于等于y＝x2－2ax＋1的函数值， 当a<0时，需满足a2－1≥a2－2a2＋1， 解得a≤－1. 当a＝0时，f(x)＝ 此时f(x)min＝－1，符合题意. 当a>0时，f(x)不存在最小值. 综上，a≤－1或a＝0.] 11.解　f(x)＝ax－＋(a＞0)， ∴f(x)在(0，1]上单调递增， ∴f(x)max＝f(1)＝a＋， ∴g(a)＝a＋≥2，当且仅当a＝， 即a＝1时取等号， ∴g(a)的最小值为2. 12.(1)解　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. 又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}. (2)证明　由题意可设0＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝. 又0＜x1＜x2，所以x1x2＞0，x2－x1＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数. 当x∈[2，8]时，f(x)的最大值为f(2)＝2， 最小值为f(8)＝. 13.D　[如图，在同一平面直角坐标系中，画出函数y1＝－x＋3，y2＝x＋， y3＝x2－4x＋3的图象. 根据max{a，b}的定义，可得函数f(x)的图象为图中实线部分. 由可得A(0，3)， 由可得B(1，2)， 由图知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)最小，且最小值为f(1)＝2.故选D.] 14.(0，＋∞)　(0，1)∪(1，2)　[由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数. 当x>0时，f(x)＝x2 024－＋5， f(x)单调递增， 因此当x<0时，f(x)单调递减. 又因为f(1)＝f(－1)＝5， 所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2.] 15.[－1，1]　y＝2x－3，x∈[1，2]或y＝sin(2πx)，x∈[1，2]或y＝3x－1－2，x∈[1，2](答案不唯一)　[因为y＝－，所以x≥1且x≤2， 所以函数的定义域为[1，2]. 显然，y＝f(x)＝－在[1，2]上单调递增，所以f(x)∈[－1，1]， 所以函数的值域为[－1，1]. 只要满足定义域为[1，2]，且值域为[－1，1]的函数均符合题意， 例如y＝sin(2πx)，x∈[1，2]或y＝2x－3，x∈[1，2]或y＝3x－1－2，x∈[1，2].] 16.解　(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1； 在R上任取x1，x2，且令x1>x2， 则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1. 又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)， 所以函数f(x)在R上是增函数. (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5. 由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4， 得f(x2＋x＋1)>4＋1＝f(3)， 又由(1)知函数f(x)在R上是增函数， 故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$