精品解析：2024年江西省景德镇市九年级中考二模数学试题

景德镇市2024届九年级第二次质量检测卷 数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间100分钟. 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求倒数，根据倒数的定义求解即可，一个数的倒数是与之相乘为1的数． 【详解】∵ ∴的倒数是， 故选：C． 2. 有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣.下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据简单几何体的三视图即可判定．正确把握观察的角度是解题关键． 【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算正确； C. ，原计算错误； D. ，原计算错误； 故选B． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点G，点F为焦点，若、，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质．由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ， ． 故选：D． 5. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同”，列出二元一次方程组，即可求解，解题的关键是：正确理解题意，列出等量关系． 【详解】解：由“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍，”可列式：， 由“如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同，”可列式：， 根据题意可列二元一次方程组：， 故选：． 6. 如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比，再根据面积为4求得，得，求出即可． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ， ∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴，即：， ∴，即：． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的系数是 ____ ． 【答案】-2 【解析】 【详解】根据题意得：单项式的系数为-2． 故答案为：-2 8. 3月5日，2024年春运落下帷幕，交通运输部数据显示，40天里，全社会跨区域人员流动量超84亿人次，将84亿用科学记数法表示应为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：84亿， 故答案为：． 9. 二次函数与y轴交于点C，在点C右侧作轴，交抛物线于点D，且，则抛物线的对称轴为_________. 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，二次函数的性质，根据抛物线的对称性找出线段之间的等量关系是解题的关键所在．由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，根据，即可得出结果． 【详解】解：由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点， 二次函数与y轴交于点C， 则当时，， ，在点C右侧作轴，， ， 抛物线的对称轴为：直线； 故答案为：直线． 10. 已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是， 那么，， ， ． 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，，．的平分线交于点E．以E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键． 根据矩形的性质得出，，求出，求出，根据阴影部分的面积求出即可． 【详解】解：在矩形中，，，． 的平分线交于点E， ． 又， ， ， ． 在中，， ， ， ． ． 故答案为：． 12. 在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在中，∵，，点O是的中点， ∴， ∴，，， ①如图，当时， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时， 同理可证 ∴， ∴． ③如图中，当时， 同理可证， ∴， ∴， 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落作边上，点C的对应点为点E，连接，求的度数． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数混合运算，负指数幂，零指数幂，掌握相关运算和确定旋转角是解题关键． （1）先计算负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再进行有理数混合计算即即可． （2）由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】解：（1） ； （2），， ， 是由旋转得到， ，，， ， ． 14. 小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： （1）小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 【答案】（1）二 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：上述过程中，从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 15. 如图，已知P是一次函数的图象与x轴的交点，将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数上． （1）点P的坐标为__________． （2）求反比例函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、点坐标的平移变换规律、利用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据一次函数的解析式，求出当时，的值即可得点的坐标； （2）先根据点坐标的平移变换规律得出点的坐标，再利用待定系数法即可得． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 当时，，解得， 则点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数上 ∴点的坐标为， 将点代入得：， 则该反比例函数的表达式为． 16. 如图是一个由小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹： （1）在图1中，在圆上找一点D，使得； （2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题通过作图考查了圆周角定理和垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是正确作图的关键． （1）连接交于，可知为直径，则，点即为所求； （2）取格点，，连接交于，交于，点即为所求． 【小问1详解】 解：由图可知，，，， ∴， ∴， 又∵经过A，B，C三个格点， ∴为的直径， 连接交于，可知为直径，则， 如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 取格点，，连接交于，交于， 由图可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴直径， ∴， 即：点即为所求． 17. 李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，荡气回肠，将长安城中的浪漫具象化．激发出无数中华儿女满满的自豪感，掀起了古诗词文化的新热潮．为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，每班选2名参赛学生，某班有1名男生和3名女生报名参加． （1）若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛．则选取的恰好是男生的概率为__________； （2）若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4名学生，其中有1名是男生，且每名学生被选取的概率相同， ∴从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛，选取的恰好是男生的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设3名女生分别用A、B、C表示，1名男生用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果数有种， ∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地．现计划购买甲，乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等． （1）求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元? （2）该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用． 【答案】（1）甲型劳动工具的单价为20元，乙型劳动工具的单价为23元； （2）购买这批劳动工具的最少费用为1890元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元，根据“用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买乙型劳动工具个，则购买甲型劳动工具个，购买这批劳动工具的费用为元，根据题意求出关于的函数关系式，再求出的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 则， 答：甲型劳动工具的单价为20元，乙型劳动工具的单价为23元； 【小问2详解】 设购买乙型劳动工具个，则购买甲型劳动工具个， 设购买这批劳动工具的费用为元． 则， ∵， ∴随着的增大而增大． 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为30， ∴当时，最小，最小值为， 答：购买这批劳动工具的最少费用为1890元． 19. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 20. 如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可证明是的切线． （2）连接，证明，列出比例式，计算即可． 本题考查了切线的证明，三角形相似的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，三角形的相似是解题的关键． 【小问1详解】 连接， ∵， ∴； ∵点C是弧的中点， ∴； ∴； ∴； ∴， ∵ ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 连接， ∵为的直径， ∴； ∵ ∴， ∴， ∵点C是弧的中点， ∴； ∴； ∴， ∴， ∵, ∴（舍去）， 故． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 教体局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：. 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在__________组； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为_________，并请你补全条形统计图（两处）； （3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人? 【答案】（1）100，C （2）144，补全条形统计图见解析 （3）2450人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、条形统计图与扇形统计图、画条形统计图、用样本估计总体等知识点，从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）根据统计图中B组的人数与占比，然后计算即可；根据E组人数占比为，求出E组人数，然后作差求出A组人数，再根据中位数定义即可求解； （2）由（1）中所得数据，补全统计图即可，根据C组人数的占比乘以计算求解即可； （3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答． 【小问1详解】 解：本次共调查了学生：（名）， E组人数为：（名）， 故A组人数为：（名）， 则这部分学生睡眠时间的中位数为第50，51名的平均数，第50，51名均在C组， ∴这部分学生睡眠时间的中位数在C组， 故答案为：100，C； 【小问2详解】 补全条形统计图如下： 在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人． 22. 【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与． 【观察发现】 （1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由. 【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）是定值，其的定值为65 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答； （2）证明，得出，，设与交于点P，与交于点O，进而得，即可解答； （3）连接，，由（2）得，根据勾股定理得出，即可解答． 【详解】解：（1）如图1所示，延长交于点H． ∵点E，G恰好为边的中点， ∴，， ∵四边形和是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；； （2）当时，（1）中发现的结论仍然成立． 理由：如图2所示， ∵四边形和是矩形， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， 设与交于点P，与交于点O，则， ∴， ∴； ∴当时，与的数量关系是；位置关系是； （3）是定值，其的定值为65． 连接，，由（2）得， ∴、、、均为直角三角形， 根据勾股定理得：，， ，， ∴， ∵， ， ∴， 即：的定值为65． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键． 六、（本大题1小题，共12分） 23. 综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况． 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【任务二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【任务三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点的坐标； （2）先根据抛物线确定点，再确定A，B的坐标，得到是等腰直角三角形，且，由对称的性质得，再根据等腰直角三角形的性质得到，进行计算求解即可； （3）设的坐标为，则，过点作轴的平行线，过点作于点，由，得，即，求解即可； 【详解】解：（1） 二次函数的图象过原点， ， 解得， 抛物线的解析式为，其顶点坐标为． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 令，得，解得， ， 直线与坐标轴交于两点， 当时，，当时，， ， 是等腰直角三角形，且， 是关于直线的一对对称点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3） 点在抛物线上，点坐标为， 设的坐标为，则， 过点作轴的平行线，过点作于点，依题意有， ，即， 解得（舍去）， ， 幼苗叶片的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2024届九年级第二次质量检测卷 数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间100分钟. 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣.下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点G，点F为焦点，若、，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的系数是 ____ ． 8. 3月5日，2024年春运落下帷幕，交通运输部数据显示，40天里，全社会跨区域人员流动量超84亿人次，将84亿用科学记数法表示应为_________． 9. 二次函数与y轴交于点C，在点C右侧作轴，交抛物线于点D，且，则抛物线的对称轴为_________. 10. 已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为__________. 11. 如图，在矩形中，，．的平分线交于点E．以E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积为__________． 12. 在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为__________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落作边上，点C的对应点为点E，连接，求的度数． 14. 小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： （1）小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 15. 如图，已知P是一次函数的图象与x轴的交点，将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数上． （1）点P的坐标为__________． （2）求反比例函数的表达式． 16. 如图是一个由小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹： （1）在图1中，在圆上找一点D，使得； （2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧的中点． 17. 李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，荡气回肠，将长安城中的浪漫具象化．激发出无数中华儿女满满的自豪感，掀起了古诗词文化的新热潮．为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，每班选2名参赛学生，某班有1名男生和3名女生报名参加． （1）若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛．则选取的恰好是男生的概率为__________； （2）若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地．现计划购买甲，乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等． （1）求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元? （2）该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用． 19. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 20. 如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 教体局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：. 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在__________组； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为_________，并请你补全条形统计图（两处）； （3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人? 22. 【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与． 【观察发现】 （1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由. 六、（本大题1小题，共12分） 23. 综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况． 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【任务二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【任务三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $