精品解析：2024年广西钦州市九年级中考二模数学试题

2024年九年级学科素养测试(一) 数学 (时间：120分钟总分120分) 温馨提示： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷(选择题共36分) 一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑)． 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A. 0.5 B. C. D. 2. 如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该鼓立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “沙糖桔和蔓越莓的南北双向奔赴”爆火后，广西水果被越来越多的人熟知．据统计2023年广西水果总产量约为吨，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（ ） A. 甲更整齐 B. 乙更整齐 C. 一样整齐 D. 无法确定 9. 如图所示是一副特制的三角板，用它们可以画出-一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ） A. B. C. D. 10. 某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同，并设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 11. 中国高铁飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 12. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题共84分) 二、填空题(共6小题，每小题2分，共12分，请将答案直接填写在答题卡上) 13. 若在实数范围内有意义，则x取值范围是______． 14. 分解因式：___________． 15. 南宁市有四个人气较旺的景点：方特东盟神画、青秀山风景区、南宁市园博园、南宁云顶观光，若小平同学随机选择一处去游览，她选择青秀山风景区的概率是______． 16. 若，是直线上的两点，则______．（填、或） 17. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为______尺． 18. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm． 三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答时应定出文字说明或演算步骤) 19. 计算： 20. 解方程：． 21. 如图，已知，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母） （2）求证：． 22. 年2月，C市从甲、乙两校各抽取名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分分）如下表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b （1）表中_______；_______； （2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩； （3）若甲、乙两校学生都超过人，按照C市抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗?为什么? 23. 如图，为的直径，为圆上一点，． （1）求证：为切线； （2）若，，，求的长． 24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； （2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 25. 在锐角中，，，矩形的两个顶点，分别在，上，另两个顶点，均在BC上，高交于点，设的长为，矩形的面积为． （1）求的长，并用含的式子表示线段的长； （2）请求出关于的函数解析式； （3）试求的最大值． 26. 应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒． 【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级学科素养测试(一) 数学 (时间：120分钟总分120分) 温馨提示： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷(选择题共36分) 一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑)． 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A. 0.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，理解数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：B． 2. 如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该鼓立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，画出这个几何体的主视图即可，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：鼓立体图形的主视图是， 故选：． 3. “沙糖桔和蔓越莓的南北双向奔赴”爆火后，广西水果被越来越多的人熟知．据统计2023年广西水果总产量约为吨，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵上图是梯形铁片 ∴ 则 则 故选：B 5. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及除法，根据底数相同，指数相加减可得到结果，正确理解同底数幂的乘除法则是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，所以结果不是，该选项不符合题意； B、和不是同类项，无法合并，所以结果不是，该选项不符合题意； C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以，该选项符合题意； D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的解集，“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，解题关键是掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法． 【详解】解：由数轴可知，该数轴表示的不等式的解集为， 故选：D． 7. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用顶点式求出新抛物线解析式． 【详解】∵ 抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴ 向上移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2）， ∴ 新抛物线的解析式为+2． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，确定平移前后抛物线的顶点坐标是解题的关键． 8. 袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（ ） A 甲更整齐 B. 乙更整齐 C. 一样整齐 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵ ∴， ∴方差最小的为甲， 所以苗高最整齐的是甲． 故选：A． 9. 如图所示的是一副特制的三角板，用它们可以画出-一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可． 【详解】A、18＝90−72，则18角能画出； B、108＝72＋36，则108可以画出； C、82不能写成36、72、45、90的和或差的形式，不能画出； D、117＝72＋45，则117角能画出． 故选：C． 【点睛】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数． 10. 某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同，并设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设进馆人次的月平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 11. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 12. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 由点，关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，从而排除选项D． 【详解】由点，在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；由，，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意； 故选：A． 第Ⅱ卷(非选择题共84分) 二、填空题(共6小题，每小题2分，共12分，请将答案直接填写在答题卡上) 13. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 14. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 15. 南宁市有四个人气较旺的景点：方特东盟神画、青秀山风景区、南宁市园博园、南宁云顶观光，若小平同学随机选择一处去游览，她选择青秀山风景区的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有4个景点，每个景点被选择的概率相同， ∴小平同学随机选择一处去游览，她选择青秀山风景区的概率是， 故答案为：． 16. 若，是直线上的两点，则______．（填、或） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， 直线上的点的随着的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，熟知上述性质是解题的关键． 17. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为______尺． 【答案】45 【解析】 【分析】根据物高与影长的比值不变列方程求解． 【详解】解：设这根竹竿的长度为x尺，根据题意得 ， 解得x=45， 故答案为45． 【点睛】本题考查测高问题，解决问题的关键是掌握根据物高与影长的比值不变． 18. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于_________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， 则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答时应定出文字说明或演算步骤) 19. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，即可作答． 【详解】解： 20. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：． 21. 如图，已知，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母） （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的尺规作图，角平分线的定义和平行线的性质： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义分别证明，，据此可利用证明． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 22. 年2月，C市从甲、乙两校各抽取名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分分）如下表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b （1）表中_______；_______； （2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩； （3）若甲、乙两校学生都超过人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗?为什么? 【答案】（1），； （2）见解析； （3）不可行，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）结合表格可求得中位数和众数； （2）结合两校平均数、方差、中位数、众数分析即可； （3）依据抽样得具有代表性分析即可． 【小问1详解】 解：结合甲校数据可知： 结合乙校数据可知： 出现频数最大为3，所以众数为： 故答案为：，； 【小问2详解】 从平均分看，甲、乙两校平均分一样； 从方差看，乙校方差比甲校小，乙校成绩比较稳定，乙校成绩较好； 从众数看，乙校的众数高于甲校，乙校成绩较好； 从中位数看，甲校的中位数高于乙校，甲校成绩较好； 小问3详解】 不可行，理由如下， 因为甲、乙两校学生都超过人，C市的抽样方法是从甲、乙两校各抽取名学生，样本容量较小，而两所学校学生人数太多，评估出来的数据不够精准，不具有代表性，故不可行． 【点睛】本题考查了抽样调查，求中位数、众数，以及数据的分析和比较；解题的关键是理解相关定义和性质，正确分析数据． 23. 如图，为的直径，为圆上一点，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理，解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （）连接，则，由为的直径，得，而，所以 ，即可证明为的切线； （）作于点，因为，，，所以，求得，由，得，由，得． 【小问1详解】 证明： 如图，连接， 则， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴为的切线； 【小问2详解】 如图，作于点，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； （2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】（1）180 （2）学生接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，然后求和即可得到答案； （2）设乙同学分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水， 故答案为：180； 【小问2详解】 解：设乙同学分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， ， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． 25. 在锐角中，，，矩形的两个顶点，分别在，上，另两个顶点，均在BC上，高交于点，设的长为，矩形的面积为． （1）求的长，并用含的式子表示线段的长； （2）请求出关于的函数解析式； （3）试求的最大值． 【答案】（1）， （2）； （3）的最大值是． 【解析】 【分析】（）利用三角形的面积计算公式求得高即可，证得，得出，进一步字母与数值得出答案即可； （）利用矩形的面积计算方法求得关于的函数解析式； （）利用二次函数的性质和配方法求得最大值即可， 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握对应高的比等于对应边的比的性质 是正确列出比例式解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴矩形的面积为； 【小问3详解】 ， ∴当时，的最大值是． 26. 应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒． 【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为，此时的值为． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，掌握相关性质是解题的关键． （1）由，，得到，即可求解； （2）当四边形是矩形时，，求出旋转角，即可求解； （3）取中点，连接，当三点共线时，最大值，可求出最大值为，此时的值为． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）如图： 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴旋转角， ∴（秒）， ∴的值为； （3）取中点，连接，如图： ∵是中点， ∴中位线， 在中，， ∴， ∴ ， ∵是斜边上中线， ∴， 当不同一直线上时， ， 当在线段上时， ， ， ∴三点共线时，最大值， 此时，如图， ，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角为， ∴（秒）， 综上，存在最大值为，此时的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$