精品解析：2024年江苏省无锡市天一实验学校中考二模数学试卷

2023-2024学年第二学期适应性练习 初三数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数， 则5的相反数为-5， 故选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 3. 分式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 5. 正五边形的每一个外角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据多边形的外角和等于360度，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：正五边形的每一个外角是； 故选D． 6. 整数a满足 则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7. 圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：B． 8. 如图，是等边三角形，点P是边上的一个动点，点P关于的对称点分别为，，连接，，，点P从点A运动到点B的过程中，的面积变化情况为（ ） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变大再变小 D. 先变小再变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，对称易证是顶角为120度的等腰三角形，腰长为的长，根据腰长先变小后变大，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点P关于的对称点分别为，， ∴，， ∴， ∴， 过点作，则：，， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∵为上的一个动点， ∴当时，的面积最小，此时点为的中点， ∴点P从点A运动到点B的过程中，的面积先变小后变大， 故选D． 9. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 选项不正确， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点， 则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∵， ∴长的最大值为8； 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 若x，y满足方程组，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相加，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； ∴； 故答案为：1． 13. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为-2，从而得出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为m，则1+m=-2， 解得m=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，x1•x2=． 15. 如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴交于B，D两点，连结，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标,进而求出反比例函数解析式，直尺的宽度，可得C点横坐标，代入解析式可求坐标． 【详解】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2， ∴AB=3， ∵ OB＝2， ∴A点坐标为：（2，3）， 把（2，3）代入得， ， 解得，m=6， 反比例函数解析式为， ∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2． ∴C的横坐标为4，代入得， , ∴点C的坐标是 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 16. 一次函数图象经过点，当时，，则k的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】7（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，将代入得，可知当时，，由此可得，求解即可，根据一次函数的性质得是解决问题关键． 【详解】解：将代入得：，即， 亦即：， 当时，， ∵，即， ∴， 故答案为：7（答案不唯一，满足即可）． 17. 如图，在四边形中，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，则为_______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得，再证明四边形为菱形，由菱形的性质得，则，再由勾股定理求出的长，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】翻折，结合内心是三角形三条角平分线的交点，以及平行线的性质，推出，，证明，求出的长，再根据等积法结合角平分线的性质，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵翻折， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵平分， ∴到的距离相等， ∴ 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的内心，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 三、解答题．（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，整式的运算： （1）先进行特殊角的三角函数值，零指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，求不等式组的解集： （1）将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴方程的解为：． （2） 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：． 21. 如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2） 证明：如图，由（1）可知，， ，． ， ， 四边形为平行四边形． 又， 平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，．再证，则四边形为平行四边形．然后由矩形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为分）进行统计学处理： 【收集数据】甲组名同学的成绩统计数据：（单位：分） 乙组名同学中成绩在分之间数据：（满分为分，得分用x表示，单位：分） 【整理数据】（得分用表示） （1）完成下表 分数/班级 甲班（人数） 乙班（人数） 【分析数据】请回答下列问题： （2）填空： 平均分 中位数 众数 甲班 　 乙班 　 （3）若成绩不低于分为优秀，请以甲组、乙组共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？ 【答案】（1）， （2）， （3）人 【解析】 【分析】（1）根据数据统计的方法以及各组数据之和等于样本容量可得答案； （2）根据中位数、众数的定义可求出、的值； （3）求出样本中甲乙两个班“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再乘总人数即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，乙班在的数据有个，在的有，个， 故答案为：，； 【小问2详解】 甲班人中得分出现次数最多的是分，共出现次，因此甲班学生成绩的众数， 将乙班名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数， 故答案为：，； 【小问3详解】 （人）， 答：甲班、乙班共人为样本估计全年级人中优秀人数约为人． 【点睛】本题考查中位数、众数，频数分布表，掌握中位数、众数以及“频率”是正确解答的前提． 23. 如图，在电路AB中，有三个开关：S1、S2、S3． （1）当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，电路AB能正常工作的概率是　 　； （2）若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，求电路AB能正常工作的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】先画树状图展示出所有等可能结果，从中找到使电路AB正常工作的情况数，在根据概率公式计算即可； 【详解】（1）画树状图如下： 由树状图知，共有4种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果， ∴电路AB能正常工作的概率是； 故答案是． （2）画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果， ∴电路AB能正常工作的概率是； 【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确分析计算是解题的关键． 24. 尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， （1）连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． （2）在（1）的条件下，求此时的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键． （1）以为圆心，的长为半径化弧，交于点，作的中垂线交于点，即为所求； （2）过点作，设，勾股定理求出的值，利用，求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由作图可知：，， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴，即：， 故点即为所求； 【小问2详解】 过点作，设，则：， 由（1）知， 由勾股定理，得：，即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 25. 如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，平行四边形道路与矩形边所夹锐角，剩余部分（图中①②③④部分）种上草坪，使草坪面积为，求图中x的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的面积公式以及三角函数的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 先利用三角函数求出道路的宽度，然后根据矩形面积两条道路的面积 + 两条道路重合部分的面积 = 草坪面积列出方程即可． 【详解】 作平行矩形的长，则， 又两条平行四边形互相垂直， ． 由题意可知：米，米，米， 矩形面积两条道路的面积 + 两条道路重合部分的面积 = 草坪面积， 根据题意得，可列方程为：， 解得：，(不合题意，舍去) 图中x的值为2． 26. 如图，四边形为正方形，点E为中点，连接，将纸片折叠，使点C落在上的点G处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H与点G重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A落在上点Q处，折痕为． （1）写出和的关系，并说明理由． （2）求证：H为的黄金分割点． （3）以下结论：①P是的黄金分割点；②P，Q，I三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号） 【答案】（1），，理由： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：设，则：， ∵折叠， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴H为的黄金分割点； （3）①②③ 【解析】 【分析】（1）正方形的性质，得到，进而得到，折叠，得到，进而得到，即可得出结论； （2）设，得到，，进而得到，进而得到，即可得证； （3）连接，证明，得到，得到，判断②，设，则：，，勾股定理求出的值，进而求出的值，解直角三角形，求出的值，进而求出的长，判断①③即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 连接， ∵正方形， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，故②正确； 设，则：，， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴P是的黄金分割点；故①正确； 综上：正确的有①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，黄金分割，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，利用勾股定理和直角三角形的性质求值，是解题的关键． 27. 如图，为的直径，点C是上任意一点，过点C作于G，交于D，，连接．分别交于F、H． （1）如图1，求证：． （2）如图1，若，，求的长． （3）当点C在圆上运动的过程中，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）6 （3）或，理由如下： 当点在的上方时，， ∵， ∴，， ∴平分， ∵为直径， ∴， 将沿着翻折，使点于上的点重合，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当点在的下方时，， ∵， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∵ ∴， ∵为直径， ∴， 将沿着翻折，使点于的延长线上的点重合，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，得到，即可得出结论； （2）根据，求出的长，进而求出的长，圆周角定理，得到，求出的长，进而求出的长，利用三角函数求出的长，再利用三角函数求出的长即可； （3）分点在的上方和点在的下方，两种情况， 将沿着翻折，使点于上的点重合，得到，进而推出，三线合一，得到，进而即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，从复杂图形中有效的获取信息，是解题的关键． 28. 如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． （1）如图1，若，，请求出的值． （2）如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． （3）如图2，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答； （2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出，即可解答． （3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答． 【小问1详解】 解：若，，则一次函数为， 联立和得： ， 解得或， ，， 联立和得： ， 解得或， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，一次函数为， 联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点B与A横坐标之差为1， ∴，，即， 整理得：， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 由（2）可得：， ∴， 整理得：， 由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则， 两边同时除以m得：， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期适应性练习 初三数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷.用科学记数法表示3990000是（ ） A. B. C. D. 3. 分式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正五边形的每一个外角是（ ） A. B. C. D. 6. 整数a满足 则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 8. 如图，是等边三角形，点P是边上的一个动点，点P关于的对称点分别为，，连接，，，点P从点A运动到点B的过程中，的面积变化情况为（ ） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变大再变小 D. 先变小再变大 9. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 若x，y满足方程组，则______． 13. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 15. 如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴交于B，D两点，连结，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是_________． 16. 一次函数图象经过点，当时，，则k的值可以是___________．（写出一个即可） 17. 如图，在四边形中，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，则为_______． 18. 如图，在中，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为______． 三、解答题．（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为矩形． 22. 为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为分）进行统计学处理： 【收集数据】甲组名同学的成绩统计数据：（单位：分） 乙组名同学中成绩在分之间数据：（满分为分，得分用x表示，单位：分） 【整理数据】（得分用表示） （1）完成下表 分数/班级 甲班（人数） 乙班（人数） 【分析数据】请回答下列问题： （2）填空： 平均分 中位数 众数 甲班 　 乙班 　 （3）若成绩不低于分为优秀，请以甲组、乙组共人为样本估计全年级人中优秀人数为多少？ 23. 如图，在电路AB中，有三个开关：S1、S2、S3． （1）当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，电路AB能正常工作的概率是　 　； （2）若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，求电路AB能正常工作的概率． 24. 尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， （1）连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． （2）在（1）的条件下，求此时的面积． 25. 如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，平行四边形道路与矩形边所夹锐角，剩余部分（图中①②③④部分）种上草坪，使草坪面积为，求图中x的值． 26. 如图，四边形为正方形，点E为中点，连接，将纸片折叠，使点C落在上的点G处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H与点G重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A落在上点Q处，折痕为． （1）写出和的关系，并说明理由． （2）求证：H为的黄金分割点． （3）以下结论：①P是的黄金分割点；②P，Q，I三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号） 27. 如图，为的直径，点C是上任意一点，过点C作于G，交于D，，连接．分别交于F、H． （1）如图1，求证：． （2）如图1，若，，求的长． （3）当点C在圆上运动的过程中，试判断之间的数量关系，并说明理由． 28. 如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． （1）如图1，若，，请求出的值． （2）如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． （3）如图2，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $