广东省广州市第一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年广东省广州一中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.） 1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OA＝OC B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 3．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a2＝b2﹣c2 C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，BD=4，则BC的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．4 6．（3分）下列命题是假命题的是（　　） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形 7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（　　） A．9 B． C． D．18 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA=DE，则CF=FG；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围是 　 　． 12．（3分）计算的结果是 　 　． 13．（3分）如图，Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点，则∠BAO= 　． 14．（3分）如图，在▱ABCD中，BD是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 　． 15．（3分）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　 　． 16．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN=1，连接CN，则CN的最小值为  　． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（4分）计算：． 18．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，求证：▱ABCD是菱形． 19．（6分）如图，实数a,b在数轴上的位置，且|a|＞|b|，化简：． 20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD相交于点O，求证：OE=OF． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，AD=1，CD=3． （1）求∠DAB的度数． （2）求四边形ABCD的面积． 22．（10分）已知x＝+1，y＝，求下列各式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2）． 23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE=CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AC⊥EF时，AE=10，AC=16，求四边形AECF的面积． 24． （12分）如图，正方形ABCD，点E、H分别在AB、BC上． （1）如图1，当∠GOD=90°时． ①求证：DE=AH； ②平移图1中线段AH，使A点与D重合，H点在BC延长线上，连接EH，取EH中点P，连接PC，如图2，求证：； （2）如图3，若点G在AD上，GH和DE相交于点O．当∠GOD=45°，边长AB=3，HG＝，求DE的长． 25．（12分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论； （3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD=6，BC=10，请直接写出边AB长的最小值． 2022-2023学年广东省广州一中八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.） 1．【答案】A 【解答】解：A、是最简二次根式； B、＝2； C、＝，故C不符合题意； D、＝，故D不符合题意； 故选：A． 2．【答案】A 【解答】解：平行四边形对角线互相平分，A正确； 平行四边形邻边不一定相等，B错误； 平行四边形对角线不一定相等，C错误； 平行四边形对角线不一定平分内角，D错误． 故选：A． 3．【答案】D 【解答】解：∵a＝3，b＝4，22+48＝52， ∴a4+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； ∵a8＝b2﹣c2， ∴a5+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝7：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝4：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C＝×180°＝75°≠90°， ∴△ABC不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 4．【答案】C 【解答】解：A、与不能合并； B、原式＝6×2＝12； C、原式＝，所以C选项准确； D、原式＝2． 故选：C． 5．【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝4， 故选：C． 6．【答案】C 【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，故A选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故C选项符合题意； D、对角线垂直的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意． 故选：C． 7．【答案】B 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠BEA ∴BE＝AB＝3 ∵BC＝AD＝5 ∴EC＝BC﹣BE＝2﹣3＝2 故选：B． 8．【答案】B 【解答】解：已知等边△ABC，过点A作AD⊥BC于点D 则点D为BC的中点， ∵等边三角形的边长为6， ∴AB＝6，BD＝3， 根据勾股定理，得AD＝， ∴△ABC的面积为＝， 故选：B． 9．【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， 由折叠的性质可知，∠DCA＝∠D′CA， ∴∠CAF＝∠D′CA， ∴FA＝FC， 在Rt△BFC中，BF2+BC2＝CF3，即42+（3﹣AF）2＝AF2， 解得，AF＝8， 则△AFC的面积＝×3×4＝10， 故选：C． 10．【答案】A 【解答】解：设AF交BC于K，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABK＝90°， ∴∠KAB+∠AKB＝90°， ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG， ∴∠KAB＝∠BCG， ∵∠AKB＝∠CKF， ∴∠BCG+∠CKF＝90°， ∴∠KFC＝90°， ∴AF⊥CG，故①正确； ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG， 又∵∠BEF＝90°， ∴四边形BEFG是矩形， 又∵BE＝BG， ∴四边形BEFG是正方形，故②正确； 如图，过点D作DH⊥AE于H， ∵DA＝DE，DH⊥AE， ∴AH＝AE， ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB， 又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE＝AE， ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴AE＝CG， ∵四边形BEFG是正方形， ∴BE＝GF， ∴GF＝CG， ∴CF＝FG，故③正确； ∴正确的有：①②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得：2a+8≥4， 解得：a≥﹣4， 故答案为：a≥﹣4． 12．【答案】见试题解答内容 【解答】解：＝|﹣5|＝5． 13．【答案】54°． 【解答】解：∵∠DAB＝90°，O为DB中点， ∴AO＝DO， ∴∠DAO＝∠D， 又∵∠D＝36°， ∴∠DAO＝36°， ∴∠BAO＝∠BAD﹣∠DAO＝90°﹣36°＝54°， 故答案为：54°． 14．【答案】BF＝DE． 【解答】解：添加的条件为BF＝DE； 理由：连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO、BO＝DO， ∵BF＝DE， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； 故答案为：BF＝DE． 15．【答案】45°． 【解答】解：连接AD， 由勾股定理得：AD2＝14+32＝10，CD3＝12+52＝10，AC2＝82+46＝20， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC6， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， 观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形， ∴∠BCF＝45°，∠ECG＝45°， ∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣45°﹣45°﹣45°＝45°， 故答案为：45°． 16．【答案】﹣1． 【解答】解：过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H 在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°， ∴∠HDM＝∠A＝60°， ∴∠HMD＝30°， ∵点M是AD边的中点， ∴DM＝1， ∴DH＝， 根据勾股定理，得HM＝， ∵CD＝2， ∴CH＝， 根据勾股定理，得CM＝， ∵MN＝1， 当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值， CN′＝CM﹣MN＝﹣1， ∴CN的最小值为﹣8， 故答案为：﹣1． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【答案】． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 18．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝5，AO＝4， ∴AB5＝AO2+BO2． ∴△OAB是直角三角形． ∴AC⊥BD． 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形． 19．【答案】0． 【解答】解：由图可知a＜0＜b且|a|＞|b|， 所以原式＝﹣a﹣b﹣（﹣a﹣b） ＝﹣a﹣b+a+b ＝0． 20．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ODE＝∠OBF， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF，且∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF 21．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴，∠BAC＝45°， ∵AD＝1，CD＝3， ∴，CD2＝3， ∴AD2+AC2＝CD7， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠DAC＝90°， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝135°． （2）在 Rt△ABC中，， 在 Rt△ADC中，． ∴． 22．【答案】（1）6； （2）4． 【解答】解：（1）∵x＝+1﹣1， ∴x+y＝+3+； xy＝（+1）（， ∴x6﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝（2）6﹣3×2 ＝12﹣3 ＝6； （2）由（1）知，x+y＝﹣1＝2； xy＝（+1）（， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4． 23．【答案】（1）见解析； （2）96． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）； （2）解：∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BC＝AD， ∴CE＝AF， ∵CE∥AF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形， 设AC与EF交于点O， ∴，EF＝5OE， ∴， ∴EF＝12， ∴． 24．【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）． 【解答】（1）证明：①过点D作DF∥GH，交BC的延长线于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD∥BC， ∵DF∥GH， ∴四边形DGHF是平行四边形， ∴GD＝FH，HG＝DF， ∴∠GOD＝∠FDE＝90°， ∴∠FDC+∠EDC＝90°， ∵∠EDC+∠ADE＝90°， ∴∠FDC＝∠ADE， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF， ∵HG＝DF， ∴DE＝HG； ②在BC上截取BN＝BE，如图2， 则△BEN是等腰直角三角形，EN＝BE， 由（1）知，△ADE≌△CDH， ∴AE＝CH， ∵BA＝BC，BE＝BN， ∴CN＝AE＝CH， ∵PE＝PH， ∴PC＝EN， ∴PC＝BE， 即BE＝PC； （2）解：如图3，过点D作DN∥GH交BC于点N， 则四边形GHND是平行四边形， ∴DN＝HG，GD＝HN， ∵∠C＝90°，HG＝DN＝， ∴CN＝＝＝1， ∴BN＝BC﹣CN＝5﹣1＝2， 作∠ADM＝∠CDN，DM交BA延长线于M， 在△ADM和△CDN中， ， ∴△ADM≌△CDN（ASA）， ∴AM＝NC，DM＝DN， ∵∠DOG＝45°， ∴∠NDE＝45°， ∴∠ADE+∠CDN＝45°， ∴∠ADE+∠ADM＝45°＝∠MDE， 在△NDE和△MDE中， ， ∴△NDE≌△MDE（SAS）， ∴EM＝EN， ∴AE+CN＝EN， 设AE＝x，则BE＝4﹣x， 在Rt△BEN中，BN2+BE2＝EN5， ∴22+（4﹣x）2＝（x+1）4， 解得：x＝， ∴DE＝＝＝． 25．【答案】（1）见解析； （2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析； （3）AB的最小值为2． 【解答】（1）证明：如图①，延长BE， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG． ∴∠BAE＝∠DAG． ∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG． ∵∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠EBD+∠ADB+∠ADG＝90°， 即∠EBD+∠BDG＝90°， ∴∠BHD＝90°． ∴BE⊥DG． 又∵BE＝DG， ∴四边形BEGD是“等垂四边形”； （2）解：△EFG是等腰直角三角形． 理由如下：如图②，延长BA， ∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB＝CD， ∴∠HBC+∠HCB＝90°， ∵点E，F，G分别是AD，BD的中点， ∴EG＝ABCD，GF∥DC， ∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD． ∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠BFG＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°． ∴△EFG是等腰直角三角形； （3）解：延长BA，CD交于点H，分别取AD、BD的中点E、F、G，EF，GE， 则EF≥HF﹣HE＝BC﹣， 由（2）可知△EFG是等腰直角三角形， ∴AB＝7EG，2EG2＝EF8， ∴EG＝EF＝， ∴AB＝2EG≥2． ∴AB最小值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$