2024年 九年级数学中考二轮复习 最短路径问题 专题突破训练

2024年春九年级数学中考二轮复习《最短路径问题》专题突破训练（附答案） 1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　） A．BC B．CE C．AD D．AC 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A． B．4 C． D．5 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A． B． C．5 D． 7．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　） A． B． C． D．2 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　 　． 10．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　 　． 11．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　 　． 12．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是　 　． 13．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　 　． 14．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是　 　． 16．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． （3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． 17．如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4． （1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长； （2）若CD＝，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值． 18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）． （1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1　 　，B1　 　，C1　 　； （2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为　 　； （3）计算△ABC的面积． 19．请阅读下列材料： 问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小． 小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求． 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，AC＝1，PD＝2，直接写出AP+BP的值； （2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值； （3）请结合图形，求的最小值． 20．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上， ①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由； ②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长； （2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由． 参考答案 1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD， ∵△PMN周长的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN＝5， ∴DM+CN+MN＝5， 即CD＝5＝OP， ∴OC＝OD＝CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOB＝30°； 故选：B． 2．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C＝50°， ∴∠DAB＝130°， ∴∠HAA′＝50°， ∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝50°， ∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　） A．BC B．CE C．AD D．AC 解：如图连接PC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PE＝PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度， 故选：B． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A． B．4 C． D．5 解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝10． ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：C． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A． B． C．5 D． 解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB＝S矩形ABCD， ∴AB•h＝AB•AD， ∴h＝AD＝2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4， ∴BE＝＝＝， 即PA+PB的最小值为． 故选：D． 7．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD， ∵点B与D关于AC对称， ∴P′D＝P′B， ∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度； ∵正方形ABCD的面积为12， ∴AB＝2． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝2． 故所求最小值为2． 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　） A． B． C． D．2 解：法一： 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N， 则此时PA+PC的值最小， ∵DP＝PA， ∴PA+PC＝PD+PC＝CD， ∵B（3，）， ∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2， 由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM， ∴AM＝， ∴AD＝2×＝3， ∵∠AMB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∵∠BAO＝90°， ∴∠OAM＝60°， ∵DN⊥OA， ∴∠NDA＝30°， ∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝， ∵C（，0）， ∴CN＝3﹣﹣＝1， 在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝， 即PA+PC的最小值是， 法二： 如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M． ∵AB＝，OA＝3 ∴∠AOB＝30°， ∴∠DOC＝2∠AOB＝60° ∵OC＝OD ∴△OCD是等边三角形 ∴DM＝CD•sin60°＝，OM＝CM＝CD•cos60°＝ ∴AM＝OA﹣OM＝3﹣＝ ∴AD＝＝ 即PA+PC的最小值为 故选：B． 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　2　． 解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M， 根据轴对称性质可知，PN＝PN'， ∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'， 当P，M，N'三点共线时，取“＝”， ∵正方形边长为8， ∴AC＝AB＝， ∵O为AC中点， ∴AO＝OC＝， ∵N为OA中点， ∴ON＝， ∴ON'＝CN'＝， ∴AN'＝， ∵BM＝6， ∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2， ∴＝＝， ∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°， ∵∠N'CM＝45°， ∴△N'CM为等腰直角三角形， ∴CM＝MN'＝2， 即PM﹣PN的最大值为2， 故答案为：2． 10．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　　． 解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°， ∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'， ∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAD＝120°， ∴A′B′＝CD，A′B′∥CD， ∴四边形A′B′CD是平行四边形， ∴A′D＝B′C， ∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′， 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值， ∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1， ∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝， ∴DE＝1， ∴DE＝CD， ∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°， ∴∠E＝∠DCE＝30°， ∴CE＝2×CD＝． 故答案为：． 11．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　2　． 解：如图： 取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆． 连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E． 由以上作图可知，BG⊥EC于G． PD+PG＝PD′+PG＝D′G 由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小． ∵D′C′＝4，OC′＝6 ∴D′O＝ ∴D′G＝2 ∴PD+PG的最小值为2 故答案为：2 12．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是　10　． 解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+7， ∴直线CC″的解析式为y＝x﹣1， 由解得， ∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3）， ∵K是CC″中点， ∴可得C″（7，6）． 连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小， △DEC的周长＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″＝＝10． 故答案为10． 13．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　3　． 解：作A点关于直线DC的对称点A′，连接AA′，延长CD交AA′于点N，连接BD，DA′， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∵∠BDC＝∠ADB＝60°， ∴∠ADN＝60°， ∴∠A′DN＝60°， ∴∠ADB+∠ADA′＝180°， ∴A′，D，B在一条直线上， 由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小， ∵菱形ABCD中，∠A＝60°， ∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝AD＝3， ∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1， ∴PE＝1，PF＝2， ∴PE+PF的最小值是3． 故答案为：3． 14．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是　5　． 解：如图： 作ME⊥AC交AD于E，连接EN， 则EN就是PM+PN的最小值， ∵M、N分别是AB、BC的中点， ∴BN＝BM＝AM， ∵ME⊥AC交AD于E， ∴AE＝AM， ∴AE＝BN，AE∥BN， ∴四边形ABNE是平行四边形， ∴EN＝AB，EN∥AB， 而由题意可知，可得AB＝＝5， ∴EN＝AB＝5， ∴PM+PN的最小值为5． 故答案为：5． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是　（﹣1，0）　． 解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小， ∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1）， ∴C（2，﹣3）， 设直线BC的解析式是：y＝kx+b， 把B、C的坐标代入得： 解得． 即直线BC的解析式是y＝﹣x﹣1， 当y＝0时，﹣x﹣1＝0， 解得：x＝﹣1， ∴P点的坐标是（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 16．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． （3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． 解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′， 连接C′D交AB于点P． 则点P就是所要求作的点． 理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'． ∵C和C′关于直线l对称， ∴PC＝PC′，P′C＝P′C′， 而C′P+DP＜C′P′+DP′， ∴PC+DP＜CP′+DP′ ∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′ 即△CDP周长小于△CDP′周长； （2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点， 理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'， ∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称， ∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′， ∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′， ∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′， ∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′； （3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND． 理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′， ∵C和M关于直线OA对称， ∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′， 由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D． 17．如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4． （1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长； （2）若CD＝，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值． 解：（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM．设DM＝x． 在Rt△ACM中，AM2＝AC2+CM2＝32+（6﹣x）2， 在Rt△BDM中，BM2＝DM2+BD2＝x2+62， ∵AM＝MB， ∴32+（6﹣x）2＝x2+62， 解得x＝， ∴CM＝CD﹣MD＝6﹣＝． （2）如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H． 则此时AP+PQ+QB的值最小． 根据对称的性质可知：PA＝PA′，QB＝QB′， ∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′， ∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长， 在Rt△A′B′H中，∵HB′＝CD＝，HA′＝DB′+CA′＝7+6＝13， ∴A′B′＝＝＝， ∴AP+PQ+QB的最小值为． 18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）． （1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1　（﹣1，1）　，B1　（﹣4，2）　，C1　（﹣3，4）　； （2）若P为x轴上一点，则PA+PB的最小值为　3　； （3）计算△ABC的面积． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求， 由图知，A1的坐标为（﹣1，1）、B1的坐标为（﹣4，2）、C1的坐标为（﹣3，4）； （2）如图所示： 作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置， 则PA+PB的最小值＝A′B， ∵A′B＝＝3， ∴PA+PB的最小值为3； （3）△ABC的面积＝3×3﹣×3×1﹣×1×2﹣×2×3＝， 故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4），3． 19．请阅读下列材料： 问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小． 小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求． 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，AC＝1，PD＝2，直接写出AP+BP的值； （2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值； （3）请结合图形，求的最小值． 解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1， ∴PA＝， ∴PA′＝PA＝， ∵AA′∥BD， ∴∠A′＝∠B， ∵∠A′PC＝∠BPD， ∴△A′PC∽△BPD， ∴＝， ∴＝， ∴PB＝2， ∴AP+PB＝+2＝3； 故答案为3； （2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3， 则四边形A′EDC是矩形， ∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC， ∵BD＝4﹣AC， ∴BD+AC＝BD+DE＝4， 即BE＝4， 在RT△A′BE中，A′B＝＝5， ∴AP+BP＝5， 故答案为5； （3）设AC＝1，CP＝m﹣3， ∵A A′⊥L于点C， ∴AP＝， 设BD＝2，DP＝9﹣m， ∵BD⊥L于点D， ∴BP＝， ∴的最小值即为A′B的长． 即：A′B＝的最小值． 如图，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E． ∵A′E＝CD＝CP+PD＝m﹣3+9﹣m＝6，BE＝BD+DE＝2+1＝3， ∴A′B＝的最小值 ＝ ＝ ＝， ∴的最小值为， 当AC＝m﹣3，PC＝1，同理可求的最小值为， ∵＜3， ∴的最小值为． 20．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上， ①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由； ②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长； （2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°； ②如图1 ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝EC， ∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD， ∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小； ∵AB＝AC， ∴BD＝BC＝1； （2）∠BCE+∠BAC＝180°； 理由如下：如图2， AD与CE交于F点， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECD， ∵∠BAC＝∠FAE，∠BCE+∠ECD＝180°， ∴∠BCE+∠BAC＝180°； 学科网（北京）股份有限公司 $$