上海市青浦高级中学2023-2024学年高三下学期5月质量检测数学试卷

上海市青浦高级中学2023学年第二学期5月质量检测 高三数学试卷 考试时间:120分钟满分:150分 一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分】 1若集合{a,1U{2}={2,1},则实数a= 的最小正周期为, 3.1为虚数单位, 2- 则1+i 4.己知(x-1)3的展开式中x项的系数为-10,则m1= 5.等比数列{a}的各项和为2,则首项a的取值范围为 6齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于 齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的 概率为 7.己知若直线x+y+a=0与曲线y=x-2nx相切,则实数a的值为 &已如R(c0).R(e0)为双曲线C若若-1a>06>0的两个焦点,P为C痘销的-个猫点, ∠FPF2=120 ,则C的渐近线方程为 2某区学生参加模拟大联考,假如联考的数学成绩服从正态分布,其总体密度函数为:)=】罗 =e2o,且 0√2 P(70≤x≤100)=0.7,若参加此次联考的学生共有8000人,则数学成绩超过100分的人数大约为 10.已知圆C:x2+y2+r-2ay-5=0恒过定点A,B,则直线AB的方程为 1.已知正四面体棱长为1,P是空间一点,若P4+PB+PC+PD=号,则PA的最小值是 12.已知x,x是实数,满足x+8x-4xx=8,当x取得最大值时,:+x= 二、选择题(本大题共4题,满分20分) 13.已知函数f(x)=xg+b (a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为() x+a A.2024: B.-2: C.-2; D.-1 14.回归直线方程的系数a,b的最小二乘法估计使函数2(a,b)最小,Q函数指() A∑(y-a-bx); B.∑y-a-bxl:C.(y-a-bx)'; D.y-a-bxl. 15如图,四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形ABCD.已知AB=4,CD=2,则下列说法正确的是 () A.AB=2; B.AD=212: D C.四边形ABCD的周长为4+2√+2√5; D.四边形ABCD的面积为6√2, O(A 16若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则记 (X)=M-m.下列命题中正确的是() A.已知X={-1,1},Y={0,b},且 (X)= (),则b=2: B.己知X={xf(x)≥g(x,x∈【1,1},若 (X)=2,则对任意x∈[-1,,都有f(x)2g(x): C.已知X=[a,a+2],Y={yy=x,xeX}则存在实数a,使得 ()<1: D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得 ()<1. 三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 17.已知函数f(x)=nxc0sx-sinx+2 (1)求f(x)的单调递增区间: 2)在 MBC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且清是bcas2A=bcos4-asnB,且0<A<号,求 角A的值. 18.如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AB=AC=1,∠BAC=90,异面直线AB与B,C所成的角为60 . (1)求该三棱柱的体积; (2)设D是BB,的中点,求DC,与平面ABC所成角的正弦值. A C 11 f B D B 19.中国首个海外高铁项目一雅万高铁全线长142.3千米,共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站 4个车站,在运营期间,铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录,统计分析,得到下表(单位:人): 下车站 卡拉旺站 帕达拉姆站 德卡鲁尔站 总计 哈利姆站 J 20 15 40 卡拉旺站 10 20 30 帕达拉姆站 10 30 总计 5 30 65 100 用频率代替概率,根据上表解决下列问题: (1)在营运期间,从卡拉旺站上车的乘客中任选3人,设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为X,求X的分布列及 其数学期望: (2)已知A地处在哈利姆站与卡拉旺站之间,A地居民到哈利姆站乘车的概率为0.4,到卡拉旺站乘车的概率为 0.6(A地居民不可能在卡拉旺站下车)在高铁离开卡拉旺站时,求从哈利姆站上车的乘客来自A地的概率与从卡拉 旺站上车的乘客来自A地的概率的比值。 20已知4(20叭,42,0分别是椭圆C若+芳-1a>b>0)的左右顶点,过4作两条互相垂直的直线M、 AN,分别交椭圆C于M,N两点, AMA面积的最大值为2√2 (1)求椭圆C的方程; (2)若直线AM与AN交于点P,直线A,N与AM交于点Q. ①求直线PQ的方程; ②记 MN4, POA的面积分别为S,S2,求 的最大值, S 21.已知函数h(x)=nx+2,其中元为实数 (1)若y=h(x)是定义域上的单调函数,求实数九的取值范围: (2)若函数y=h(x)有两个不同的零点,求实数九的取值范围: (3)记g(x)=h()-2x,若P,q(p<q)为g(x)的两个驻点,当在区 [合引安化时,eP小-ga创的 取值范围, 上海市青浦高级中学2023学年第二学期5月质量检测 高三数学试卷 考试时间:120分钟满分:150分 一、填空题 1.若集合{a,1}U{2}={2,1},则实数a= 【答案】:2 2.函数f(x) 2sin 2 2024 的最小正周期为, 【答案】:元 3i为虚数单位 1+1 【答案】: 4.已知(mx-1)5的展开式中x2项的系数为-10,则m= 【答案】:士1 5,等比数列{an}的各项和为2,则首项a的取值范围为 【答案】:(0,2)(2,4) 6齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于 齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的 概率为 【答案】:3 1 7已知若直线x+y+a=0与曲线y=x-2nx相切,则实数a的值为 【答案】:-2 8已知R(-60),R(e0)为双自线c三若-a>0,6>0的两个指点,P为C度精的一个精点 ∠FPF2=120 ,则C的渐近线方程为 【答案】:y= 互 1 (x-852 9某区学生参加模拟大联考,假如联考的数学成绩服从正态分布,其总体密度函数为:()= =e,且 G√2 P(70≤x≤100)=0.7,若参加此次联考的学生共有8000人,则数学成绩超过100分的人数大约为 【答案】:1200 10.己知圆C:x2+y2+ax-2ay-5=0恒过定点A,B,则直线AB的方程为 1 【答案】:y=二x 1.已知正四面体校长为1,P是空间-一点,若P4?+PB'+PC+PD=,则PA的最小值是 【答案】: √6 6 12.已知x,x,是实数,满足x+8x-4x为=8,当取得最大值时,+= 【答案】:5 二、选择题 13.已知函数f(x)=xg+b (a≠b)为偶函数,若b>1,则a不可能为() x+a A.2024; B.-2: C.-2: D.-1. 【答案】:D 14.回归直线方程的系数a,b的最小二乘法估计使函数Q(a,b)最小,Q函数指() A2y-a-x) B.a-:C.(): D.ly-a-bxl. 【答案】:A 15如图,四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形ABCD,已知AB=4,CD=2,则下列说法正确的是 () A.AB=2; B.AD=22; D C.四边形ABCD的周长为4+2√2+2√5: D.四边形ABCD的面积为6√2 【答案】:D 16若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素,则记 (X)=M-m.下列命题中正确的是() A己知X={-1,1},Y=0,b},且 (X)= (Y),则b=2: B.己知X={x|f(x)≥g(x,xe【1,1]》,若 (X)=2,则对任意xe[-l,],都有f(x)≥g(x): 2 C.已知X=[a,a+2],Y={y川y=x,xeX}则存在实数a,使得 ()<l; D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得 ()<1, 【答案】:D 三、解答题 17.已知函数f()=sinxcos-sin'x+号 (1)求f(x)的单调递增区间; (2)在 BC,中a,b,c为角4,B,C的对边,且清是bcas2A=bc-anB,且0<A<号,求 角A的值. 【答案】:(1) 8】 =4 由2红-号2x+骨2+受ke0,解得:a- ≤x≤k + 2 8 8 所以/)单港区间为红一誓从+引:e刀: 8 (2)由bcos2A=bcosA-asin B及正弦定理可得bcos2A=bcosA-asin B, 因为在 ABC中,0<B< ,则sinB≠0, 所以cos2A=cosA-sinA,即cos2A-sin'A=cosA-sinA, 所以(cosA-sin)(cosA+sinA-1)=0 当cosA=sinA时,A=T 当os+1-10,即5co(4-引-1时,4=号 因为0<A<号所以A=寻 18如图,在直三棱柱ABC-ABC,中,AB=AC=1,∠BAC=90,异面直线AB与B,C所成的角为60. (1)求该三棱柱的体积: (2)设D是BB,的中点,求DC,与平面ABC所成角的正弦值. 3 【答案】:(1) 6 【详解】:(1)如图,以A点为原点,AB,AC,AA为x,y:轴正方向,建立空间直角坐标系. A A B B 1 x B 设A4=h,则B(1,0,0),C(0,10),4(0,0,h),则B4=(-1,0,h),B,C=BC=( 1,1,0) 因为AB与B,C所成的角为60, 所以e(,C)+ 1 解得h=1。 于是该三棱柱的体积为P=S%=X1x1x1-2 (2)由(1)知B4=(-1,0,1),C(0,1,1),BC=(-1,1,). 设平面ABC的法向量n=(x,y,=), 则 -x+5=0 -x+y+:=0'可取n=Q,0,0 又因为D10》-( 设DC,与平面ABC所成角为8,则sin8= os(nC.= 6 所以DC,与平面ABC所成角的正弦值为三 19.中国首个海外高铁项目一雅万高铁全线长142.3千米,共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站 4个车站,在运营期间,铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录,统计分析,得到下表(单位:人): 下车站 卡拉旺站 帕达拉姆站 德卡鲁尔站 总计 哈利姆站 5 20 15 40 卡拉旺站 10 20 30 帕达拉姆站 10 30 总计 5 30 65 100 用频率代替概率,根据上表解决下列问题: (1)在营运期间,从卡拉旺站上车的乘客中任选3人,设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为X,求X的分布列及 其数学期望: (2)已知A地处在哈利姆站与卡拉旺站之间,A地居(申城初高中数学)民到哈利姆站乘车的概率为0.4,到卡 拉旺站乘车的概率为0.6(A地居民不可能在卡拉旺站下车).在高铁离开卡拉旺站时,求从哈利姆站上车的乘客来自 A地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自A地的概率的比值. 【答案:(4)分布列见详解,[X]=2:(2)) 【详解】:从卡拉旺站上车,到德卡鲁(申城初高中数学)尔站下车的概率 20_2 303 所以,根据频率估计概率,从卡拉旺站上车的乘客中任选3人,设这3人到德卡鲁尔站下车的人数X~B 3 -k P(X=k)= 33 X 0 2 3 2 8 9 9 27 8x1-3号-2 (2)设事件M:乘客来自A地,事件N,:从哈利姆站乘车:案件N2:从卡拉旺站乘车 则PNM)=04,P01M=06,P)-9=0AP)卢 30=0.3 P(NM)= (M=0.4 P(WM)=0.4PM0 P(M) P(N IM)-P(M)-04P(NM)=0.6PM) P(M) P(MIN)= (M))P)))-) P(N) 0.4 P(N,) 0.3 所以 P(MIN)P(M)1 P(MI N.)2P(M)2 20.已知4-2,0,42,0分别是椭圆C:兰+二=10a>b>0)的左、右顶点,过4作两条互相垂直的直线4M、 a b AW,分别交椭圆C于M,N两点, 4MA,面积的最大值为25. (1)求椭圆C的方程: (2)若直线A,M与AN交于点P,直线AW与AM交于点Q. ①求直线PQ的方程: ②记 M4, PQ4的面积分别为S,S,求三的最大值 S 【答案】:(1) r.y =l:a)0x=-6:②g 42 【详解】:(1)由题意可知a=2, 因为 4M4,面积的最大值为二 2a b=ab=2V2,所以a=2,b=V2, 所以椭圆C的方程为兰+ =1; 42 (2)如图所示: ①没M(,,N(,】,由思意知直线4M的斜(申城初高中数学)率一定存在,即k= x-2 代入直线的点斜式方程可得直线4,M的方程为y=当。(化-2)…①。 ￥-2 因为直线4W与直线4M垂直,而k=),且kwkw=-1: +2 所以可得k=-+2,即直线4N的方程为y=-+2+2)…@。 y y 又因为M(传,乃)在椭圆上可得三+至=1…@ 42 6