第二部分 专题4 类型4 由动点轨迹得到二次函数-【领跑】2024年中考数学二轮复习压轴题重难专练

类型4由动点轨迹得到二次函数 典型题 1.1星·原创1/新考向·综合与实践/【图形规律】 数学活动课上，李老师给出点A的坐标(0,2)，让同学们在x轴上任取一点B(不与点O重合)， 完成以下作图步骤： ①连接AB,过点B作x轴的垂线，把y轴沿AB翻折与直线1交于点C: ②在x轴上多次改变点B的位置，用①的方法得到相应的点C,把这些点用平滑的曲线连接起 来.如图1和图2分别是小华和小亮所作的图. 学可2星 净2星 学可2星 (1题图1) (1题图2) (1)观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线，并求出曲线的解析式： 【规律应用】 (2)已知点D的坐标为(3,6)，C是抛物线上任意一点，连接DA,DC,CA,当点C在什么位置时， △DCA的周长最小？最小值是多少？字日Z 家日Z星 【深度探究】 (3)连接OC与AB相交于点E,当点E恰好在抛物线上时，直接写出点C的坐标. 学可2星 学百之星 学可2星 学可2星 学可之星 领跑-数学111 学可之星 2./星·原创/1新考向·综合与实践【问题情境】 数学课上，老师给出如下问题：如图1，点A的坐标为（一m,1),连接OA,过点O作OB⊥OA,与 直线x=m相交于点B,直线x=m交x轴于点V.探究点B的横坐标x与纵坐标y之间的 关系。 【分析问题】 “善导”小组的同学根据不同的m值，求出点B的坐标如下表所示 加 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 yB 9 4 0 9 通过对表中数据的观察，发现点B的横坐标x与纵坐标y存在某种函数关系. 学 【猜想验证】 学豆Z星 学日☑星 学日Z星 学可2星 (1)①请直接写出y与x的函数关系式： ②证明①的函数关系式. 【深人探究】 (2)如图2，过点A作x轴的平行线交y轴于点C(点A,C不重合)，直线BC,OA交于点D,求点 D的坐标（用含m的式子表示），并判断点D是否在由点B确定的函数图象上： (3)在(2)的条件下，已知E是BD的中点，在抛物线上存在一点F,使得四边形DEOF是菱形， 直接写出m的值. 学月之星 学可Z2题图1)学可2星2题图2)可2星 学可之星 112领跑-数学 拓展题 3.1星·原创11新考向综合与实践【图形规律】 数学活动课上，李老师给出点A的坐标(0,2)，让同学们在x轴上任取一点M,完成以下作图 步骤： ①连接AM,作线段AM的垂直平分线11，过点M作x轴的垂线l2,记l1与l2的交点为P: ②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P,把这些点用平滑的曲线连接起 来.如图1和图2分别是小华和小亮所作的图 学可2星 学可2星 学可2星 (3题图1) (3题图2) (1)观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线，并求出曲线的解析式： 【规律应用】 (2)已知点E(n,5),F(n+1,5)(1≤n<3),G是位于直线EF下方且是第一象限抛物线上的动 点，求四边形EFGA周长的最小值，并求此时点G的坐标： 【深度探究】 京月之星 (3)如图3，过点A作直线l1的平行线交抛物线于B,C两点，直线l2交BC于点N,D是直线 BC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E,求证：DE≤号AM. 学可2星 学百之星 学百之星 学月之星 (3题图3) 领跑-数学113 学可之星 4.(星·原创/新考向·综合与实践【探究发现】 如图，点A的坐标为(m,2),过点A作x轴的垂线l交x轴于点V,点A与点B关于y轴对称， 连接OB,过点O作OB的垂线交直线l于点C,设点C的坐标为(m,y。).数学活动小组的同学 选取不同的m值，得到不同的y。值，列出下表： -3 -2 一1 0 1 2 3 9 1 1 y 2 2 2 2 2 2 通过对表中数据的观察，发现点C的横、纵坐标m与y,之间存在某种函数关系， 【猜想验证】 (1)①直接写出y:与m之间的函数关系式： ②证明①的函数关系式： 单可2星 学可2星 学可2星 【结论应用】 (2)当点A不在由点C确定的函数图象上时，直线AB与由点C确定的函数图象交于D,E两点 (点D在点E的左侧)，直线OB与由点C确定的函数图象交于另一点F,当m>0时，直线 DF,CE相交于点G,求△DEG的面积. (4题图) 学可2星 学可之星 学可2星 学可2星 学可之星 114领跑-数学任务2：如图2，分别过点B,C作BP⊥x轴于点P,CQ⊥x 轴于点Q,设BP交OC于点K 直线EF的解析式为y=r十9 21 ∴.∠BP0=∠CQ0=90°. ,AB=16,AB关于直线CD对称 r+9② 2 联立 ∴.BD=AD=8,CD⊥AB. 18 y= ,OD为第一象限的角平分线，.∠COQ=45 ∴.∠OKP=∠BKD=∠OCQ=45 解得=一62（不合题意，合去），=3 .OP=PK,OQ=CQ,∠KBD=∠BKD=45 .BD=DK=8..BK=82 E(96e 设OP=PK=a,则OK=√2u. 根据勾股定理，得上E= ∴.BP=82+a.(C=(OK+DK-CD=2a+8-4=4+2a. (-)+(6-a 2 ..OQ=CQ=22+aB(a.82+a). 即= 1 ∴.C(22+a,22+a. 学设曲线4的函数解析式为C>0. ”h=5x=5h 学可之星 将点Ba,82+a.C2w2+a,22+a)代人y=,得 “至少要增加。货物此货船才能通过该桥洞 答，此时统船不能通过该桥科，至少要增加子：货物此货船 k1=a(8w2+a)=(22+a)2.解得a=2 1yg 才能通过该桥洞 过点F作FM⊥BP于点M,过点E作EN⊥FM于点V. ,四边形EFGH是矩形， .EF■GH=3,∠BFE=90°.EH=FG9. ~A关于直线D对称DF=G=号 学之星 之 BF-BD-DF-8-97 22 (10题图2) :∠MBF=45,BM=BF·s4S-7-FM 类型4由动点轨迹得到二次函数 1,解：(1)它是抛物线 MP=BP-BM=92-72_29 ,FM+Op=72+E- 如图1，设C(m,n). 4 4 4 ,y轴沿AB翻折得到AC,∴∠BAO=∠BAC. 112 :CB⊥x轴，∴.CB∥OA.∴.∠BAO=∠ABC=∠CAB AC-CB-n. 学，）， 学之星 学 之过点c作CML,轴于点M.星 学可之星 ∴.CM=ml,OM=BC=n. :∠BFM=90-45=45,∠BFE=90, A(0,2),∴0A=2.AM=|m-2 六∠EFN=4S∴NF=EN-3 在Rt△ACM中，根据勾股定理，AM十CM=AC. 2 ） ÷(a-2+m=2.解得=m中1 9×原5 六曲线的解析式为y=x+1(x≠0). 1818, 此时货船不能通过该桥洞， .CD//EF, .设直线EF的解析式为y=x十n, 将点F(,)代人+- 解得n= 2 (1题图1) 领跑-数学59 学可之星° (2)如图2，过点D作DN⊥y轴于点N. A(0,2),D(3,6),.ND=3,ON=6,O04=2. 整理，得m一8m一48=0， .AN=0N-OA=6-2=4. 解得m1=25,m:=一25 在R△ADN中，根据勾股定理，得 ∴.点C的坐标为(25,4)或(-25,4). AD=√AN+ND=√+3=5. 由(1)可知，AC=CB. △DCA的周长=AC+CD+AD=CB+CD+5, :当且仅当点D,C,B共线且DB⊥x轴时，CB+CD的值最小. DB的最小值是6，∴.△ACD周长的最小值是6+5=1L, 当点C的坐标为(3，）时，△CA的周长蔬小.最小值是 (1题图3) 2.解：(1)①y=x ②证明：如图1，过点A作AM⊥x轴于点M 学可2星 学豆国 学可之星 (1题图2) (2题图1) (3)点C的坐标为(23,4)或（一23,4）. 详解 ∴.∠AMO=90°.∴.∠MAO+∠AOM=90. OB⊥OA,BN⊥x轴， 设c(an+1小dB(m,o。 .∠AOB=90°，∠ONB=90'=∠AMO 设直线OC的解析式为y=k1x ∴∠AOM+∠NOB=90°..∠MAO=∠NOB 将点C(m,m+1)代人，得子m+1-km 又∠AM0=∠ONB.∴△AMOn△ONB.÷AM-OW ON BN 解得k,=m十4 :A(-m,1),.AM=1,(OM=|m. Am 设B(m,n),BN=n,ON=|m, 六直线OC的解析式为y=m+4 4m 高=四=m= 设直线AB的解析式为y=k,工十b, (2)AC∥x轴，A(-m.1)..C(0.1). 0留a0人2冒 设直线BC的解析式为y=缸+b. b=2, k:=一 解得 指在a6m.Co代人得m+6学司之目 1=b. 0=mk:+b. b=2. =-1 解得 y=m- x+1. :.直线AB的解析式为y= +2. 2 用 6=1. =m2+4 87m 联立 4m = m+12 同理可得，直线OA的解析式为y=一 解得 2 y=- 十2. 2m2+8 y一m+2 y=m2-1 m+1, 联立〈 解得 8m2m2+8 E(n+2m+2 y=- y=- 将点中代人y-子 +1，得 将x=- 上代入y=x2,得y= .点D在由点B确定的函数图象上 8加的为- 60领塑-数学】 详解 如图2，设EF与OD相交于点G,分别过点G,D作GH⊥x ∴曲线的解析式为y=+1 轴于点H,DK⊥x轴于点K, ∴.GHDK轴.∴.△OGH△ODK. 需膘-映 :ODLOB,E是BD的中点，∴OE=BD=DE=BE ∴.当四边形DEF是平行四边形时，四边形DEF是菱形. G是OD的中点. (3题图1) OG OH GH 1 (2)如图2，过点G作GH⊥x轴于点H,设FE的延长线与y 轴相交于点Q. 由2.知Bmm).D(←品）) E(m,5).F(n+1.5),.EF=1.EF∥x轴. 00.0.D 111 ∴Q(0,5),EQ=n..0Q=5. 7A0,20=20-000A-5-3Z☐ 1 在R△AQE中，根据勾股定理，得 0H=OK= 2m GH=DK= 2m AE=√AQ+EQ=√9+n c(a) :1≤<3，，当n=1时，AE最小，最小值为√10. 由(1)，得GH=GA. :E是BD的中点， ,四边形EFGA的周长=EF+FG+GA十AE, 同理，得（六+骨+受） ∴，四边形EFGA的周长=1+FG+GH+AE. ,当F,G,H三点共线，且FH⊥x轴时，FG+GH最小， G是EF的中点， .FG+GH的最小值是5. ,四边形EFGA周长的最小值为1+5+10=6+√10. 此时n=1..F(2,5)..x6=2. 将x=2代人y=子2+1得y=2 G(2,2). 解得=，m:=一3 3 中之星 学2星 学2星 (3题图2) H O N (3)证明：如图3，过点D作DFy轴交BC于点F,设直线L, (2题图2) 与AM相交于点Q.取OM的中点G,逵接QG 3.解：(1)它是抛物线. 设Mm,0.则P(m.m+1) ,点P在AM的垂直平分线上，，PA=PM 如图1，过点P作PN⊥y轴于点N, G为0M的中点G(受0)： 设P(m,). 直线l垂直平分AM.∴.Q为AM的中点，PQ⊥AM. .ON=PM=PA=n.PN=ml. 又BCPQ,∴.BC⊥AM..∠NAM=90 OA=2,.AN=|n-2. :Q,G分别为AM,OM的中点， 在R1△APN中，根据勾股定理，AN+PN=PA. 六n-2)2+(m2=.解得n= m'5+1. QG/0A.QG-0A-1.Q(受，： 设直线PQ的解析式为y=x+b, 领跑-数学61■ 学可之星 将点P(m,m2+).Q(受)代人得 =2m mk+6= m2+1. {= 2 解得 2+6=. 1 b=一 m‘+1. 六直线PQ的解折式为)-空一子m2+1 BC∥PQ,∴.设直线C的解析式为y= 21+b,. 将点A(0,2)代人，得b1-2 (4题图1) (2)如图2，由(1)可知，点C运动形成的抛物线的解析式为 ∴直线8C的解析式为y=受+2 y= 1 将x=m代人，得y=2m+2. 将=2代人y=得号=2 解得，=-2-2.可之星 学可之星目 .D(-2,2),E(2,2)..DE=4. 设D,+)小则F(受+2) 设直线OB的解析式为y一x, ∴DF-受+2-（侵+）-u-m+ m+1. 将点B(一m,2)代入，得k=一 :-<0当1=m时，DF最大，最大值为m+1 ·直线0B的解析式为y=一2 4 DF轴∥MN.∴.∠EFD=∠ANM. 2, = 4 DE⊥BC,.∠FED=90=∠NAM 联立 解得 或/=0. 2 1 y= 8 y2=0. 六aaA小0-器 切， 1 2m+2 2… F() ED≤AM D-2,2.E2,2.c(mm）F(0） ∴同理可求直线DF的解析式为y=-m+,-4,直线CE m 的解析式为y=m十2 2x一m 加十2 4 yE- 2m一4 学百之星 学 联立 十2早二解得 m+2· 学可之目 =-2 (3题图3) c(2-2 4解：00，=7 点G到DE的距离是4. ②证明：如图1，过点B作BMLx轴于点M, 5am-7×4X4-8 :点A与点B关于y轴对称，A(m,2), ∴.B(-m,2)..BM=2,OM=1m=ON. ,OB⊥OC,BM⊥OM,AN⊥ON, ,.∠BOC=∠BMO=∠ONC=90 ∴.∠BOM+∠OBM=∠CON+∠BOM=90. .∠OBM=∠CON. △,N祭-兴品- (4题图2) 62领跑-数学