精品解析：湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试数学试题

湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 3. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ） A 0.96 B. 0.97 C. 0.98 D. 0.99 6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，复数，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，则或 10. 若函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递增 C. 的极小值点为 D. 有两个零点 11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 直三棱柱体积的最大值为 B. 三棱锥与三棱锥的体积相等 C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为 D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______． 13. 已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为________. 14. “序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则的前10项和为______. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的值. 16. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求面积最大时直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 2. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解. 【详解】若要产生这一项，则 当在中取1时，再在中取2个、取4个1， 当在中取时，再在中取3个、取3个1， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 3. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解. 【详解】由，得 ， ， ， ， ， ， 则是以6为周期的周期数列， 所以. 故选：C 4. 已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为， 又因为球的半径，即， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O， 如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足， 所以， 又因为，所以, 因为，所以， 又由题意可知，平面，所以， 所以 所以， 所以. 故选：A. 5. 秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ） A. 0.96 B. 0.97 C. 0.98 D. 0.99 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由全概率和条件概率的公式计算即可. 【详解】设事件为“患有该疾病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意可得，，， 因为， 所以，解得， 所以该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为， 故选：C. 6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】依题意，函数， 当时，，显然， 且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆柱及球的特征计算即可. 【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为， 则，故该球的表面积为. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得. 【详解】令圆切分别为点，则， ，令点，而， 因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为， 即直线的方程为，设，依题意，直线的方程分别为： ，，联立消去得：， 整理得，令直线的方程为， 于是，即点的横坐标为， 因此，所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为复数，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；设，由复数的几何意义计算模长判断C；由得，即可判断D. 【详解】对于A，若，则，，则，故A错误； 对于B，设，则， 所以，而， 所以，故B正确； 对于C，设，因为，所以， 所以， 因为，所以，所以的最小值为1，故C错误； 对于D，若，所以，所以， 所以 或，所以至少有一个为0，故D正确. 故选：BD 10. 若函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递增 C. 的极小值点为 D. 有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D. 详解】对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又， 所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确； 又 ， 当时，，即在上单调递减，故B错误； 当时，，即在上单调递增， 根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故C正确； 又， 且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大， 所以上无零点，根据对称性可知在上无零点， 故无零点，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. 直三棱柱体积的最大值为 B. 三棱锥与三棱锥的体积相等 C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为 D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B选项：根据等体积转化可判断；C选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值. 【详解】A选项：由已知可得，又， 所以，即体积的最大值为，A选项错误； B选项：如图所示， 由点为的中点，则，设点到平面的距离为， 则，， 又，所以，所以，B选项正确； C选项：如图所示， 由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即， 所以外接球半径为，外接球表面积为，C选项正确； D选项：如图所示， 取中点，可知在的延长线上，在的延长线上， 则，即， 设，， 易知，， 则，， 则，,， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得，结合已知求得，再由正弦定理可求得. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 因为，所以，所以 解得， 由，可得， 在中，由正弦定理可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，利用导数判断其单调性和最值，令，整理得可得，构建，结合的图象分析的零点分布，结合二次函数列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，可得， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 作出的图象，如图所示， 对于关于x的方程， 令，可得，整理得， 且不为方程的根， 可知方程等价于， 若方程有三个不相等实数解， 可知有两个不同的实数根， 且或或， 构建， 若，则，解得； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 若，则，解得， 此时方程为，解得，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 14. “序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则的前10项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】设中有项为0，其中1和的项数相同都为，由已知条件可得①，②，进而可得③，再结合④，可得，分别研究为奇数和偶数时的通项公式，运用累加法及并项求和即可得到结果. 【详解】因为，依题意得，，， 显然，中有2项，其中1项为，1项为1，中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0，中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0， 由此可得中共有项，其中1和的项数相同， 设中有项为0，1和的项数相同都为，所以，， 从而①， 因为表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1， 得到新的有序实数组， 则②， ①②得③， 所以④， ④③得， 所以当为奇数且时，， 经检验，当时符合，所以(为奇数)， 当为偶数，则为奇数，又因为， 所以， 所以， 当为奇数时，， 所以的前10项和为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转化为数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合已学数学知识进行解答. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值求角； （2）根据两角和的正弦公式和正弦定理可得，再结合余弦定理求解. 【小问1详解】 在中，由，得，则， 由，得，则， 所以. 【小问2详解】 在中，由， 得，即， 则，由正弦定理得， 由余弦定理得， 因此，而，所以. 16. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得； （2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得. 【小问1详解】 设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； 【小问2详解】 设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以． 17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 【答案】（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型 （2） （3）估计2024年的企业利润为93.3亿元 【解析】 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【小问1详解】 由散点图变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型； 【小问2详解】 由题意得：，， ， ， 所以； 【小问3详解】 令，， 估计2024年企业利润为99.25亿元． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直的性质、判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 设中点为，连接，因为为等边三角形，故， 由题意，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故， 又M为的中点，为等边三角形，则， 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，故， 连接，，则， 即四边形为平行四边形，故，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为θ，，则. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由已知条件得，再表示出通径长，解方程组即可求得； (2) 设直线方程为,由直线与椭圆相切可得，用圆心到直线的距离表示的面积，得到一个关于的函数最大值问题，利用导数求出取最大值时的值，再求出此时的值即可，注意斜率不存在的情况讨论与比较. 【小问1详解】 由题椭圆的左焦点为， 即①； 当时，， 又过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②， 由①②得：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 当斜率存在时，设直线方程为,与联立，消去并整理得： 已知直线与椭圆相切，所以， 化简得：； 又O到直线的距离为， 设P到直线的距离为，则， 则的面积， 令, 得, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值, 当斜率不存在时，可得， 此时的面积， 因为，所以， 综上：的面积最大值为，此时 故的面积最大时直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$