精品解析：上海市松江二中2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题

松江二中高三月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则___________. 2. 已知，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有________个 3. 设随机变量服从二项分布，则_________. 4. 若复数满足，为虚数单位，则__________. 5. 设实数x、y满足，则的最大值是_______． 6. 已知点，将绕坐标原点O逆时针旋转至，则点的横坐标为________ 7. 若函数的定义域为，且，则实数的值为_________ 8. 若（m、n为正整数）的二项展开式中关于x的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为_________ 9. 如图，在矩形中，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为__________. 10. 设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是______． 11. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 12. 函数在上的值域为，则的值为______． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 14. 若，则“”成立是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（ ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若. （1）求证：a、b、c成等差数列； （2）若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小. 18. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，. （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市M社区年龄在的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示 年龄（单位：周岁） 频数 30 81 99 60 30 持喜爱态度 24 65 75 30 12 （1）求该样本中市民年龄的平均数；（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） （2）从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率： （3）为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种： 方案一：按年龄a进行分类奖励，当时，奖励10元：当时，奖励30元：当时，奖励40元； 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为， 将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值. 21. 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． （1）已知，求的不动点； （2）已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江二中高三月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得和的交集为方程组的解. 【详解】由得解为， 根据题意可得：， 故答案为： 2. 已知，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有________个 【答案】6 【解析】 【分析】从集合中任取两个元素，按小的赋给，大的赋给即可得解. 【详解】从集合中任取两个元素，按小的赋给，大的赋给即可得焦点在轴上的椭圆， 所以不同椭圆个数是. 故答案为：6 3. 设随机变量服从二项分布，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算得解. 【详解】依题意，. 故答案为：2 4. 若复数满足，为虚数单位，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以 故答案为：. 5. 设实数x、y满足，则的最大值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】对的符号进行分类讨论，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】若异号，则， 若，则， 若，则， 若同为正数，则，当且仅当时等号成立. 若同为负数，则， ，当且仅当时等号成立. 综上所述，的最大值为. 故答案为： 6. 已知点，将绕坐标原点O逆时针旋转至，则点的横坐标为________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】设点的坐标为，则， 设为终边上的一点，则， 则， 解得， 故答案为：. 7. 若函数的定义域为，且，则实数的值为_________ 【答案】1 【解析】 【分析】利用函数的定义域求出的取值集合，再利用偶函数的特性求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，解得， 而，则，由，得函数为偶函数，因此， 所以实数的值为1. 故答案为：1 8. 若（m、n为正整数）的二项展开式中关于x的一次项系数之和为11，则项系数的最小值为_________ 【答案】25 【解析】 【分析】根据二项展开式确定对应项的系数，再由二次函数求得最小值. 【详解】由题意，的二项展开式中关于x的一次项系数为，即， 又展开式中项系数为, 所以当或时，该系数最小，最小值为. 故答案为：25. 9. 如图，在矩形中，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积，再由二次函数的性质计算可得. 【详解】如图，以为原点建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则，， 则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，当时， 所以. 故答案为： 10. 设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】由双曲线的方程，可得，的值，进而求出的值，由双曲线的定义及三点共线的性质可得的最小值． 【详解】由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 11. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 【答案】 【解析】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【详解】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 12. 函数在上的值域为，则的值为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及求出，分类讨论求出，即可求解. 【详解】因为，， 所以当且仅当且时， 所以, 又，所以 所以，易知在上单调递减，在单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，因为，所以， 注意到，且在单调递增， 所以，所以 故答案为：. 【点睛】利用三角函数求值的关键： （1）角的范围的判断； （2）根据条件选择合适的公式进行化简计算； （3）合理地利用函数图像和性质. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B：根据面面平行的性质定理可知，若，且，，则，故B正确； 对于C：若，，则，又，则或与相交或与异面，故C错误； 对于D：若，且，则或，故D错误. 故选：B 14. 若，则“”成立是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】先对“”进行化简，再根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】设函数，可得恒成立， 所以在上为增函数，由，所以，可得. 又“”无法推得“”， “”也无法推得“”， 所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 15. 王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（ ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 16. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式求出，再取一个单调递增函数，按给定的条件使方程有正整数解的函数个数即可判断. 【详解】对于①，数列单调递增，令函数，显然，由， 得，整理得，此方程有正整数解， 如方程中取，则，即， 对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，①错误； 对于②，数列单调递增，，令，由， 得，取，显然对每一个正整数都有唯一的正数， 并且不同的值，值不同，因此与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，②正确， 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若. （1）求证：a、b、c成等差数列； （2）若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小. 【答案】（1）证明：在中，由，得， 即， 由正弦定理得，所以a、b、c成等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，逆用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边即得. （2）由（1）的结论及已知设，再利用余弦定理结合唯一钝角三角形条件求解即得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）及已知，设，显然， ，则有，又， 因此，由存在唯一的钝角满足条件，得，于是， 所以. 18. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，. （1）求证：平面； （2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，设交于点，连接， 在圆锥中，底面圆，底面圆，所以， 又等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，为直径，所以， 所以，所以， 可知，即是的中点， 又是母线的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，即可证明是的中点，从而得到，即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，由得到，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，，所以平面，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为线段与交于点，，， 所以，即，所以， 又，所以， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，即， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市M社区年龄在的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示 年龄（单位：周岁） 频数 30 81 99 60 30 持喜爱态度 24 65 75 30 12 （1）求该样本中市民年龄的平均数；（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） （2）从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率： （3）为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种： 方案一：按年龄a进行分类奖励，当时，奖励10元：当时，奖励30元：当时，奖励40元； 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为， 将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案 【答案】（1）44.3； （2）； （3）采取方案二. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解； （2）设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下，根据频数分布表，利用古典概型的概率求得，再利用条件概率求解； （3）对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，求得其对应的概率，再求期望；对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，求得其相应概率，再求期望，对比下结论. 【小问1详解】 解：样本中市民年龄的平均数为. 【小问2详解】 设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下. 则由频数分布表可知， 所以在此人喜爱冰雪运动的前提下，其年龄小于50周岁的概率为. 【小问3详解】 对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为， 其对应的概率分别为， 故. 对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为. 可得； ， ， 所以， 因为，所以从数学期望的角度分析，该研究小组应采取方案二. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得、即可； （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，由三角形面积公式及基本不等式即可求解最值． 【小问1详解】 依题意可得， 解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）可得，，则， 又， 所以， 当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号， 所以， 故周长的最大值为； 【小问3详解】 设直线的方程为，，． 由，消去整理得，显然， 所以，， 所以 ， 又因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． （1）已知，求的不动点； （2）已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】（1）1 （2）证明： 充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件． （3）当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 【解析】 【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案； （2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论； （3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数. 【小问1详解】 设，则恒成立， 故函数在R上单调递增， 又，故函数在R上有唯一零点， 即有唯一不动点1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故， 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点； （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 【点睛】方法点睛：解答时要注意理解函数新定义的含义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $