2024年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试卷

2023—2024学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．－2的倒数是 A．2 B． C．－2 D．－ 2．下列计算，结果正确的是 A．a2＋a2＝a4 B．(a2)3＝a6 C．a2·a3＝a6 D．a2÷a2＝0 3．某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如下表： 成绩/分 32 36 39 40 人数/人 1 2 4 33 下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是 A．平均数是39.5分 B．众数是40分 C．中位数是37.5分 D．极差是8分 4．下列整数中，与6－最接近的是 A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是靠近点D的CD的四等分点．已知EF＝a，BE＝b，BF＝c．下列结论：①a2＋b2＝c2；②a∶b∶c＝3∶4∶5；③∠EBF＝30°；④S△DEF∶S△ABE∶S△EBF∶S△CBF＝1∶4∶5∶6，其中正确结论的序号是 A．①② B．①③ C．①④ D．③④ ( A B C D E F （第6题） O A B C D E F （第5题） ) 6．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除外）的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7．4月初，某地发生4.0级地震，震源的深度是25 000 m，用科学记数法表示25 000是 ▲ ． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ▲ ． 9．计算的结果是 ▲ ． ( A B C （第1 1 题） )10．若x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2的值是 ▲ ． 11．如图，△ABC是一圆锥的主视图，若AB＝AC＝13， BC＝10，则该圆锥的侧面展开图的面积是 ▲ ． （结果保留π） 12．如图，∠AOB＝45°，OA＝4，C是射线OB上的动点，则AC长的最小值是 ▲ ． ( O A B C D P Q （第1 3 题） A O B C （第1 2 题） （第16题） A B C D E A ′ ) 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BA，CD的延长线相交于点P，AC，BD相交于点Q．若∠P＝30°，∠AQD＝72°，则∠B的度数是 ▲ °． 14．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表： x … －2 －1 1 2 … y … a b m n … 若a＜b，则m ▲ n．（填“＞”“＜”或“＝”） 15．化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是2C2H6＋7O2＝4CO2＋6H2O，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是4×2＋6×1＝14．若己烷充分燃烧的化学方程式是aC6H14＋19O2＝bCO2＋cH2O（a，b，c为常数），则b的值是 ▲ ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC边的中点（记为A′）处．若AB＝4，AC＝3，则DE的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算÷． 18．（8分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数． 19．（8分）现有两个编号分别为1，2的抽屉及三个颜色分别为红、黄、蓝的小球，将每个小球随机放入一个抽屉中． （1）红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是 ▲ ． （2）求三个小球放入编号相同的抽屉中的概率． 20．（7分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形． ( A B C D （第2 0 题） E F O ) 21．（8分）下图是2012～2023年我国GDP（国内生产总值）增长率的折 ( 6 .8 6 .0 2.3 8.5 3.0 5.2 （第2 1 题） 2012 ～ 2023年我国GDP增长率折线统计图 2 4 6 8 0 2012 2013 2014 2015 2016 2017 增长率（ % ） 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 7.0 6.9 7.0 7.4 7.8 7.9 )线统计图．阅读统计图并回答以下问题． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ▲ ． ①2012～2019年我国GDP增长率逐年降低，但始终不低于6%； ②2020年我国GDP比2019年低； ③2012～2017年我国GDP增长率的方差比2018～2023年的方差小． （2）结合图中提供的数据，请用自己的语言概括这12年我国GDP的相关情况． 22．（8分）如图，为了测量某学校旗杆AB的高度，将固定在旗杆顶端A上的绳子拉直后，绳子的末端恰好可以落在截面为矩形CDEF的主席台底的点C处，也可以落在主席台上的点C′处．主席台高CD为1 m，∠ACB和∠AC′D分别为72°，64°，图中所有点均在同一平面内．求旗杆AB的高度． ( 64° 72° A B C C′ D E F （第 22 题） )（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．） 23．（8分）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足x＞y＞0，求证x2＞y2． 证明：∵ x＞y＞0， ∴ x＋y＞0（实数的加法法则）， x－y＞0（不等式的基本性质1）． ∴ (x＋y)(x－y)＞0（① ▲ ）． ∵ (x＋y)(x－y)＝x2－y2（② ▲ ）， ∴ x2－y2＞0． ∴ x2＞y2（③ ▲ ）． （2）已知实数x，y满足x＞y＞0，求证＞． （注：无需写出每步的依据．） 24．（8分）快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第x h时，快、慢两车离甲地的距离分别为y1 km，y2 km，当x＝3时，慢车到达乙地．y1，y2与x之间的函数关系如图所示． （1）甲、乙两地相距 ▲ km，快车比慢车晚出发 ▲ h． （2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？ （3）若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离y3（km）与x 之间的函数图像． ( （第 2 4题） 40 3 1 160 x （h） y （ km ） 0 ) 25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC．E是上一点，＝．过点C作⊙O的切线，交AE的延长线于点D． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若DE＝2，CD＝4，则⊙O的半径长为 ▲ ． ( B A O E C D （第25题） ) 26．（8分）已知二次函数y＝a(x－m)(x－m－4)（a，m为常数，a≠0）． （1）求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点； （2）该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，求a的取值范围． 27．（10分）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（△ABC）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（⊙O）． （1）如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出⊙O．（保留作图痕 ( （第27题） ② ③ ① A B C P A B C P A B C )迹，不写作法） （2）三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在△ABC的中心，用直尺和圆规作出⊙O．（保留作 图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在△ABC的中心． i）点P的位置如图③所示，画出⊙O的示意图，并写出用直尺和圆 规作⊙O的思路； ii）随着点P位置的改变，⊙O的大小和位置都有可能发生变化．要使⊙O与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． ( 九年级数学试卷 第 4 页 （共 8 页） ) 学科网（北京）股份有限公司 2023－2024学年度第二学期第二阶段学业质量监测 九年级数学参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分． 一、选择题（每小题2分，共计12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C C C D 二、填空题（每小题2分，共计20分） 7．2.5×104 8．x≥2 9． 10．0 11．65 12．2 13．21 14．＜ 15．12 16． 三、解答题（本大题共11小题，共计88分） 17．（本题7分） 解：原式＝÷ 1分  ＝÷ 2分  ＝· 5分  ＝． 7分 18．（本题8分） 解：设原计划x天完成． 根据题意，得＋＝1． 4分 解这个方程，得x＝20． 6分 经检验，x＝20为原方程的解． 7分 答：原计划20天完成． 8分 19．（本题8分） 解：（1）． 2分 （2）三个小球放入两个抽屉里，可能出现的结果有8种，即（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），并且它们出现的可能性相同．其中三个小球放入编号相同的抽屉中（记为事件A）的结果有2种，即（1，1，1），（2，2，2），所以P（A）＝＝． 8分 20．（本题7分） 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ( A B C D E F O )∴ AD∥BC． 1分 ∴ ∠DAC＝∠ACB． ∵ EF垂直平分AC， ∴ OA＝OC，EF⊥AC． 3分 ∵ ∠AOE＝∠COF， ∴ △AOE≌△COF． 4分 ∴ OE＝OF． 5分 ∴ 四边形AFCE是平行四边形． 6分 又∵ EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形． 7分 21．（本题8分） 解：（1）③． 2分 （2）答案不唯一，2012～2023年我国GDP增长率都是正数，说明我国这12年的GDP在不断增长；2012～2019年我国GDP增长率比较平稳，2020～2023年我国GDP增长率有较大波动． 8分 ( 64° 72° A B C C′ D E F G )22．（本题8分） 解：延长ED交AB于点G，由题意，得EG⊥AB． 设AC＝AC′＝x m． 则在Rt△ABC中，∠ACB＝72°， ∵ sin∠ACB＝， 1分 ∴ AB＝sin72°•AC≈0.95x． 2分 同理，AG＝sin64°•AC′≈0.9x． 4分 ∴ BG＝AB－AG＝0.95x－0.9x＝0.05x． 由题意，得BG＝CD＝1，即0.05x＝1． 6分 解得x＝20． 7分 ∴ AB＝0.95x＝19，即旗杆AB的高度为19 m． 8分 23．（本题8分） 解：（1）①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）． 1分 ②平方差公式． 2分 ③不等式的基本性质1． 3分 （2）方法一 ∵ x＞y＞0， ∴ x－y＞0． ∵ x－y＝()2－()2＝(＋)(－)， 4分 ∴ (＋)(－)＞0． 5分 ∵ x＞0，y＞0， ∴ ＞0，＞0． 6分 ∴ ＋＞0． 7分 ∴ －＞0． ∴ ＞． 8分 方法二 －＝＝． 4分 ∵ x＞y＞0， ∴ x－y＞0， ＞0，＞0． 5分 ∴ ＋＞0． 6分 ∴ ＞0． 7分 即 －＞0． ∴ ＞． 8分 24．（本题8分） 解：（1）160，1． 2分 （2）设y2＝kx＋b，将（0，40），（3，160）代入，得   4分   解得  所以y2＝40x＋40． 5分   由图像可知，当x＝1时，快车与慢车相遇，  当x＝1时，y2＝40×1＋40＝80．所以快车与慢车相遇时，两车距离甲地80 km． 6分 （3）如图所示． 8分 ( 40 3 1 160 x （h） y （ km ） 0 ) ( F B A O E C D )25．（本题8分） （1）证明：连接CO并延长，交于点F，连接AF． ∵ ＝， ∴ ∠CAE＝∠ACB． ∴ AD∥BC． 1分 ∵ CD与⊙O相切于点C， ∴ ∠FCD＝90°，即∠FCA＋∠ACD＝90°． ∵ CF是△ABC的外接圆的直径， ∴ ∠FAC＝90°，即∠FCA＋∠AFC＝90°． ∴ ∠ACD＝∠AFC． ∵ ＝， ∴ ∠ABC＝∠AFC． ∴ ∠ABC＝∠ACD． 4分 ∵ AC＝BC，∴ ∠ABC＝∠BAC． ∴ ∠BAC＝∠ACD． ∴ AB∥CD． 5分 又∵ AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 6分 （2）． 8分 26．（本题8分） （1）证法一：令y＝0，得方程ax2－(2am＋4a)x＋am2＋4am＝0． 1分 因为一元二次方程ax2－(2am＋4a)x＋am2＋4am＝0的根的判别式 b2－4ac＝(－2am－4a)2－4a·(am2＋4am)＝16a2， 2分 又因为a≠0，所以16a2＞0． 3分 所以方程ax2－(2am＋4a)x＋am2＋4am＝0有两个不相等的实数根． 所以不论a，m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点． 4分 证法二：令y＝0，得方程a(x－m)(x－m－4)＝0． 1分 因为a≠0，所以x1＝m，x2＝m＋4． 2分 因为m≠m＋4， 3分 所以方程a(x－m)(x－m－4)＝0有两个不相等的实数根． 所以不论a，m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点． 4分 （2）解：根据题意，不妨设A（m，0），B（m＋4，0），图像的顶点为E． y＝a(x－m)(x－m－4)＝a[x－(m＋2)]2－4a． 所以点E的坐标为（m＋2，－4a）． 5分 因为该二次函数的图像上只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，且AB＝4， 所以该二次函数的图像上只有两个点到x轴的距离为2． 所以点E到x轴的距离小于2． 所以│－4a│＜2． 6分 解得－＜a＜． 因为a≠0， 所以－＜a＜0或0＜a＜． 8分 27．（本题10分） 解：（1）如图①，⊙O即为所求． 2分 ( ① A B C O ) （2）① 如图②或图③或图④，⊙O即为所求． 5分 ( ② A B C P O A B C P O A B C P O D E Q 方法一： O 为 BP 的三等分点 方法二： O 为 △ BDE 的中心 方法三： 作 PQ ∥ BC ， PQ 的垂直 平分线与 BP 的交点 为 O ③ ④ ) ( 思路 1 ： 作 △ ABC 的角平分线 BD ，作 ⊙ O ′ 分别与 BC ， AB 相切 ，连接 BP ， 交 ⊙ O ′ 于 点 P ′ ，过 点 P 作 PO ∥ P ′ O ′ ， 交 BD 于 点 O ，以 O 为圆心， OP 为半径 作 ⊙ O ． 思路 2 ： 作 △ ABC 的角平分线 BD ，作点 P 关于 BD 的 对称点 P ′ ， PP ′ 的 延长线交 BC 于 点 M ；作 FG ＝ MP ，在 FG 上截取 GH ＝ MP ′ ，以 FG 为 直径作 ⊙ Q ，过 点 H 作 EH ⊥ FG ， 交 ⊙ Q 于点 E ， 可得 E G 2 ＝ FG · GH ； 在 MB 上 截取 M N ＝ EG ，可知 M N 2 ＝ MP · MP ′ ；过 点 N 作 ON ⊥ BC ， 交 BD 于 点 O ， 以 O 为圆心 ， ON 为半径作 ⊙ O ． A P O P′ D B C O′ ⑤ A P D O P′ B C M N ⑥ E F G H Q )②i）如图⑤或图⑥，⊙O即为所求． 8分 ii）如图⑦，AD，CE分别是△ABC的角平分线，AD，CE分别交⊙O于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）． 10分 ( A B C O D E ⑦ H G ) 九年级数学参考答案及评分标准 第 1 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$