第一章 集合与常用逻辑用语提升卷-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

第一章 集合与常用逻辑用语（提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三下·贵州·阶段练习）设集合，，则（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·云南红河·开学考试）下列说法正确的是（       ）. A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 10．（23-24高一上·江苏泰州·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．2 11．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 . 13．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高一上·江西九江·阶段练习）设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 16．（15分）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）设p：实数x满足，其中；q:实数x满足 . (1)若，且p和q均为真，求实数x的取值范围； (2)若q是p的充分条件，求实数a的取值范围. 17．（15分）（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知命题，使，命题． (1)写出； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 18．（17分）（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 19．（17分）（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M  ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M  ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（提升卷） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B D D C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABC BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．或且 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【详解】（1）因为是非空集合， 所以方程有实数根， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为，， 所以，，且，， 所以，解得，， 所以，， 所以. 16．（15分）【详解】（1）当时，若命题p为真，则． 若命题q为真，则． 当p和q均为真时，实数x的取值范围为． （2）q是p的充分条件，则． 即， 故实数a的取值范围为． 17．（15分）【详解】（1），． （2）若是真命题，得，所以． 若为真命题，为假命题，则，解得； 若为假命题，为真命题，则，解得． 所以，的取值范围为或． 18．（17分）【详解】（1）当时，集合， 所以， 又因为，所以. （2）若选择①，，则， 当时，，解得：， 当时，又， 所以，得， 所以实数a的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件， 则且， 因为， 或，解得：， 由于无解，不成立， 所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分） 若选择③，， 当时，，解得：， 当时，又，则， 解得：或， 所以实数a的取值范围是． 19．（17分）【详解】（1）自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即 （3）设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得集合，结合集合的交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：D. 2．（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）已知，正整数能被整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 借助充分条件与必要条件的性质判断即可得. 【详解】由题知命题表示正整数a能被2整除， 而能被4整除的正整数一定能被2整除，故能够推出， 而能被2整除的正整数不一定能被4整除，如6，故无法推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B． 3．（23-24高三下·贵州·阶段练习）设集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断点是否在直线上，再求出交集即可. 【详解】因为点在直线上，点不在直线上， 又，， 所以. 故选：B 4．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 【答案】D 【分析】判断命题的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可. 【详解】因为，故命题为假命题，则为真命题； 又“，”的否定为：“”， 故选：D. 5．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 7．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    8．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合 所以，当时，，此时成立， 当时，由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·云南红河·开学考试）下列说法正确的是（       ）. A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】利用量词命题的否定与真假性判断AB，利用充分与必要条件的定义判断CD，从而得解. 【详解】对于A，根据存在量词命题的否定形式可知A正确； 对于B，在中，，所以方程无解，故B正确； 对于C，取，满足，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，故D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高一上·江苏泰州·期中）设，若，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】根据一元二次方程解得集合，结合交集的结果，利用分类讨论思想，可得答案. 【详解】，由，则， 当时，方程无解，则； 当时，即，方程的解为，可得或，解得或. 故选：ABC. 11．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 . 【答案】 【分析】根据集合间的包含关系，得到满足条件的集合的个数，即为集合的真子集的个数，即可求解. 【详解】集合满足，则满足条件的集合的个数，即为集合的真子集的个数，即为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】命题，命题，由是的充分条件，得，即 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高一上·江西九江·阶段练习）设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意可得方程有实数根，进而结合根的判别式求解即可； （2）结合题意可得，，进而求得的值，进而求得集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】（1）因为是非空集合， 所以方程有实数根， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为，， 所以，，且，， 所以，解得，， 所以，， 所以. 16．（15分）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）设p：实数x满足，其中；q:实数x满足 . (1)若，且p和q均为真，求实数x的取值范围； (2)若q是p的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当p和q均为真时，求与的公共x即可； （2）根据条件知，列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，若命题p为真，则． 若命题q为真，则． 当p和q均为真时，实数x的取值范围为． （2）q是p的充分条件，则． 即， 故实数a的取值范围为． 17．（15分）（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知命题，使，命题． (1)写出； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据存在性命题的否定为全称命题，写出命题的否定； （2）先利用判别式求得真的充要条件为，然后分真假、假真，分别求得的取值范围，最后求并集即得. 【详解】（1），． （2）若是真命题，得，所以． 若为真命题，为假命题，则，解得； 若为假命题，为真命题，则，解得． 所以，的取值范围为或． 18．（17分）（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再求出，进而可得集合； （2）分情况处理，若选择①，考虑的情形即可，要分和两种情况分析；若选择②，考虑且的情形即可；若选择③，考虑的情形即可，要分和两种情况分析. 【详解】（1）当时，集合， 所以， 又因为，所以. （2）若选择①，，则， 当时，，解得：， 当时，又， 所以，得， 所以实数a的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件， 则且， 因为， 或，解得：， 由于无解，不成立， 所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分） 若选择③，， 当时，，解得：， 当时，又，则， 解得：或， 所以实数a的取值范围是． 19．（17分）（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M  ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M  ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域；有理数集、实数集、复数集是数环也是数域； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由数环与数域的定义判断即可； （2）根据题意，由数域的定义即可证明； （3）根据题意，设，，，然后分别验证①②③④，即可证明. 【详解】（1）自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即 （3）设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解数环与数域的定义，并且应用. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$