8.2.2两角和与差的正弦、正切第2课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8．2　三角恒等变换 8．2.2　两角和与差的正弦、正切 第2课时　两角和与差的正切 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 高考链接 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 数学 学习目标 核心素养 能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式 逻辑推理 掌握两角和与差的正切公式的正用、逆用变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等 数学运算 逻辑推理 新知初探 1．两角和的正切公式 T(α＋β)：tan (α＋β)＝ ______________． 2．两角差的正切公式 T(α－β)：tan (α－β)＝______________． 注意正切公式成立条件 3．两角和与差的正切公式的变形 (1)tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β). (2)1－tan αtan β＝ eq \f(tan α＋tan β,tan (α＋β)). (3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β) ＝tan (α＋β). (4)tan αtan β＝1－ eq \f(tan α＋tan β,tan (α＋β)). 4．特例 tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝ eq \f(1－tan α,1＋tan α)，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(1＋tan α,1－tan α). 答案 1. eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)　2. eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) 初试身手 1．已知tan α＋tan β＝2，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝4，则tan α·tan β等于(　　) A．2 B．1 C． eq \f(1,2) D．4 解析：∵tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)， 所以 eq \f(2,1－tan αtan β)＝4， 解得tan α·tan β＝ eq \f(1,2).故选C. 答案：C 2. eq \f(1－tan 27°tan 33°,tan 27°＋tan 33°)＝(　　) A． eq \f(\r(3),3) B． eq \r(3) C．tan 6° D． eq \f(1,tan 6°) 解析： eq \f(tan 27°＋tan 33°,1－tan 27°tan 33°)＝tan (27°＋33°) ＝tan 60°＝ eq \r(3)， 所以 eq \f(1－tan 27°tan 33°,tan 27°＋tan 33°)＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3).故选A. 答案：A 3．tan 15°＝________． 解析：tan 15°＝tan (45°－30°) ＝ eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°)＝ eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝ eq \f(3－\r(3),3＋\r(3)) ＝2－ eq \r(3). 答案：2－ eq \r(3) 4．设tan α＝ eq \f(1,2)，tan β＝ eq \f(1,3)，且角α，β为锐角，则tan (α＋β)的值是________． 解析：tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) ＝ eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1. 答案：1 类型1　正切公式正用 【例1】　tan 255°＝(　　) A．－2－ eq \r(3) B．－2＋ eq \r(3) C．2－ eq \r(3) D．2＋ eq \r(3) 【解析】　tan 255°＝tan (180°＋75°) ＝tan 75°＝tan (45°＋30°) ＝ eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝ eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋ eq \r(3).故选D. 【答案】　D 跟踪训练1 若tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(2,5)， 则tan α＝________． 解析：tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝ eq \f(2,5)， ∴5tan α＋5＝2－2tan α.∴7tan α＝－3， ∴tan α＝－ eq \f(3,7). 答案：－ eq \f(3,7) 类型2　正切公式逆用与变形应用 【例2】　(1) eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)； (2) eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)； (3)tan 23°＋tan 37°＋ eq \r(3)tan 23°tan 37°. 【解】　(1)原式＝ eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°) ＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ eq \r(3). (2) eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝ eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°) ＝ eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°) ＝tan(30°－75°)＝tan(－45°) ＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60° ＝ eq \f(tan 23°＋tan 37°,1－tan 23°tan 37°)＝ eq \r(3)， ∴tan 23°＋tan 37°＝ eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)， ∴原式＝ eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)＋ eq \r(3)tan 23°tan 37° ＝ eq \r(3). 【规律方法】 公式T(α＋β)的逆用及变形应用的解题策略 (1)“1”的代换：在T(α＋β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的， 如 eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))； eq \f(\r(3)tan α＋\r(3),1－tan α)＝ eq \r(3)tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))). (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式． 跟踪训练2 求下列各式的值： (1) eq \f(cos 75°－sin 75°,cos 75°＋sin 75°)； (2)tan 36°＋tan 84°－ eq \r(3)tan 36°tan 84°. 解：(1)原式＝ eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°) ＝ eq \f(tan 45°－tan 75°,1＋tan 45°tan 75°)＝tan(45°－75°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ eq \f(\r(3),3). (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－ eq \r(3)tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－ eq \r(3)tan 36°tan 84°＝－ eq \r(3). 【例3】　已知α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值； 【解】　(1)∵α＋β＝45°， ∴tan (α＋β)＝tan 45°＝1. 又∵tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)， ∴tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， 即tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 【规律方法】 在利用两角和与差的公式时，一定要注意等价变形，并可以出现特殊角，本题适当运用了两角和的正切公式变形tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且α＋β为特殊角，类似的α－β为特殊角时，常用tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). 跟踪训练3 求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值． 解：原式＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)][(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)](1＋tan 45°)＝2×2×2×…×2＝223. 类型3　利用角的变化求值 【例4】　已知tan (α＋β)＝ eq \f(2,5)，tan β＝ eq \f(1,3)，求tan (α－β)的值． 【解】　∵tan (α＋β)＝ eq \f(2,5)，tan β＝ eq \f(1,3)， ∴tan α＝tan [(α＋β)－β]＝ eq \f(tan (α＋β)－tan β,1＋tan (α＋β)·tan β) ＝ eq \f(\f(2,5)－\f(1,3),1＋\f(2,5)×\f(1,3))＝ eq \f(1,17)，tan (α－β)＝ eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) ＝ eq \f(\f(1,17)－\f(1,3),1＋\f(1,17)×\f(1,3))＝－ eq \f(7,26). 跟踪训练4 已知tan (α＋β)＝1，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝ eq \f(1,3)，则tan (β＋ eq \f(π,3))＝________． 解析：tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,3)))＝tan eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))) ＝ eq \f(tan (α＋β)－tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))),1＋tan (α＋β)tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝ eq \f(1－\f(1,3),1＋1×\f(1,3))＝ eq \f(1,2). 答案： eq \f(1,2) 类型4　根据三角函数值求角 【例5】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 eq \f(\r(2),10)， eq \f(2\r(5),5). (1)求tan (α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 【解】　由条件得，cos α＝ eq \f(\r(2),10)，cos β＝ eq \f(2\r(5),5)， ∵α，β为锐角，∴sin α＝ eq \f(7\r(2),10)，sin β＝ eq \f(\r(5),5)， ∴tan α＝7，tan β＝ eq \f(1,2). (1)tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝ eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2)) ＝－3. (2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β] ＝ eq \f(tan (α＋β)＋tan β,1－tan (α＋β)·tan β)＝ eq \f(－3＋\f(1,2),1－(－3)×\f(1,2)) ＝－1， ∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜ eq \f(3π,2)，∴α＋2β＝ eq \f(3π,4). 【规律方法】 1．通过先求角的某个三角函数值来求角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好． 3．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值． (2)确定角的范围． (3)根据角的取值范围写出所求的角． (2022年高考·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 eq \r(2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 解析：由已知得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1，故选C. 答案：C 1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征 (1)由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z). (2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． 2．两角和与差的正切公式的变形 变形公式如：tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－ eq \f(tan α＋tan β,tan (α＋β))等． $$