2024年贵州省贵阳市观山湖区中考数学二模试卷

2024年贵州省贵阳市观山湖区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是(    ) A. 2024 B. C. D. 2.如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是(    ) A. B. C. D. 3.2023年5月开赛的“村超”，由榕江当地村民以村为单位组建了20支球队，踢出了全网超过数百亿次浏览量的“现象级”赛事.据悉，“村超”系列赛事举办期间，当地累计接待游客超5190000人次，数据5190000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5.如图，已知，点E在线段AD上不与点A，点D重合，连接CE，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是(    ) A. B. C. D. 7.如图，为了测量一个池塘的宽BC，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D，E，若小明测得DE的长是20米，则池塘宽BC的长度为米.(    ) A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 8.若，是函数图象上的两点，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为(    ) A. B. C. D. 10.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程(    ) A. B. C. D. 11.如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，点B的坐标为，将沿斜边AB翻折后得到，则点C的坐标是(    ) A. B. C. D. 12.抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.因式分解：______. 14.如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中的半径长是______. 15.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______. 16.如图，正方形ABCD中，，点P是正方形ABCD内部的一个动点，且满足，点M是BC上的一个动点，连接PM，MD，则的最小值是______. 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 计算：； 先化简，再求值：，其中 18.本小题10分 目前人们的支付方式日益增多，主要有： 某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图. 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： 本次一共调查了多少名消费者？ 补全条形统计图，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为多少度？ 该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和. 19.本小题10分 贵阳黔灵山公园自从2024年1月1日免费开放以来，公园内的大熊猫馆人气火爆，其中国宝“海浜”“星宝”憨态可掬，获得不少市民喜爱，公园的文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件.已知每个熊猫抱枕的成本为30元，每个熊猫挂件成本为7元，每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元. 求熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？ 为了迎接暑假，该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个.如果最后全部售完，则该超市应该购进多少个熊猫抱枕，才可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20.本小题10分 如图，在中，，D为AB的中点，且， 证明：四边形ADCE是菱形； 若，，求菱形ADCE的面积. 计算结果保留根号 21.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，直线经过点 求k，a的值； 过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由. 22.本小题10分 杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部.于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告： 课题 测量大树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF ②光线EC经点C处平面镜反射后的光线是CA ③平面镜大小忽略 ④测倾器高度忽略 测量数据 小文眼睛与地面高度米，小文到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米， 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求大树AB的高度. 23.本小题12分 如图，在的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画，与边AB相切于点D，，连接OA交于点E，连接CE，并延长交线段AB于点 求证：AC是的切线； 若，，求的半径； 在的条件下，若F是AB的中点，求的值. 24.本小题12分 在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止.某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在的水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，AC为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为 的值为______， B点的坐标是______. 进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行4s后着陆.求x关于t的函数关系式. 在的条件下，当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 25.本小题12分 小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转得到矩形探究如图①，当时，点E在AD上，连接BE，求的度数； [探究如图②，连结BD，FC，过点E作交BD于点证明：； [探究在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的绝对值是 故选： 根据绝对值的意义解答即可． 本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握 2.【答案】A  【解析】解：从正面看，是一个三角形． 故选： 找到从正面看所得到的图形即可． 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】C  【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数不发生变化； 故选： 根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大． 5.【答案】D  【解析】解：，， ， ， 故选： 由三角形内角和定理求出，由平行线的性质推出 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由平行线的性质推出 6.【答案】C  【解析】解：由题意可得， 从袋中任意摸出一个球为红球的概率是：， 故选： 根据在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，可以计算出从袋中任意摸出一个球为红球的概率． 本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 7.【答案】D  【解析】解：线段AB，AC的中点为D，E， ， 米， 米， 故选： 根据三角形中位线定理可得，代入数据可得答案． 此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 8.【答案】A  【解析】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支在一、三象限， ， ，都在第一象限， 在第一象限内y的值随x的增大而减小， 故选： 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可判断． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及两点所在的象限是解答此题的关键． 9.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线，也考查了等腰三角形的性质，属于基础题． 利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则CG平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数． 【解答】 解：由作法得， ， 平分，， ， 故选： 10.【答案】A  【解析】解：可列方程： 故选： 根据题意设甲乙经过x日相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而列出方程． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程是解题关键． 11.【答案】D  【解析】解：将沿斜边AB翻折后得到， ，， 过点C作轴，垂足为D，则 ， 故选： 过点C作轴，垂直为D，首先证明≌，从而可求得BC的长，然后再求得，接下来，依据在中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标． 本题主要考查的是翻折变换折叠问题、含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12.【答案】C  【解析】解：由题意，与x轴时的一个交点为，对称轴为直线， 与x轴的另一个交点为，即 抛物线的开口向上， 当时， 将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， 抛物线与x轴的交点为， 当时， 故选： 依据题意，由与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，从而与x轴的另一个交点为，即，又抛物线的开口向上，故当时，，进而当将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则抛物线与x轴的交点为，，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质及二次函数的图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 13.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 利用提公因式法因式分解即可． 本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切， 设切点为F，连接AF，则， 等边中，，， 在中，， 的半径长是 故答案为： 根据等边三角形的性质得到，由勾股定理求出AF即可． 本题主要考查了等边三角形的性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 15.【答案】且  【解析】解：根据题意得且， 解得且， 所以k的取值范围是且 故答案为：且 根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 16.【答案】  【解析】解：点P是正方形ABCD内部的一个动点，且满足， ， ， 点P在以AB中点O为圆心，AB为直径的圆周上， 延长DC到，使，连接，连接交于点，过点O作于点E， 则，，四边形AOED和四边形BCEO都是矩形， ， 的最小值是， 在中， ，， 由勾股定理，得， 的最小值是， 故答案为： 先推出点P在以AB中点O为圆心，AB为直径的圆周上，延长DC到，使，连接，连接交于点，过点O作于点E，根据轴对称性质和点与圆周上的点的最短距离确定出的最小值是，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 本题考查轴对称-最短路线问题．正方形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，能够发现点P的运动轨迹，掌握点与圆的最短距离是解题的关键． 17.【答案】解： ； ， 当时，原式  【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答； 先计算分式的乘法，再算分式的减法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】解：本次调查的总人数为名， 故答案为：200； 支付方式的人数为名， D支付方式的人数为名， 补全图形如下： 在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为， 名， 答：估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数为1480名．  【解析】由B支付方式及其所占百分比可得总人数； 总人数乘以A对应百分比可得其人数，根据各支付方式的人数之和等于总人数求出D支付方式的人数，从而补全图形，用乘以D对应人数所占比例即可； 总人数乘以样本中D支付方式人数所占比例即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19.【答案】解：设熊猫抱枕的单价为x元，熊猫挂件的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：熊猫抱枕的单价为40元，熊猫挂件的单价为10元； 设购进熊猫抱枕m个，则购进熊猫挂件个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为400， 设获得利润为w元， 由题意得：， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值， 答：该超市应该购进400个熊猫抱枕，才可以获得最大利润，最大利润是5800元．  【解析】设熊猫抱枕的单价为x元，熊猫挂件的单价为y元，根据每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进熊猫抱枕m个，则购进熊猫挂件个，根据该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．列出一元一次不等式，解得，则m的最大值为400，再设获得利润为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 20.【答案】证明：，， 四边形ADCE是平行四边形， 又，D是AB的中点， ， 平行四边形ADCE是菱形； 解：过点D作，垂足为点F，如图所示： DF即为菱形ADCE的高， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 又， 在中，， 菱形ADCE的面积为  【解析】先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论； 过点D作，垂足为点F；先证明是等边三角形，得出，，再由平行线的性质得出，在中，由三角函数求出DF，进而求得菱形的面积即可． 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 21.【答案】解：函数的图象经过点， ； 直线经过点， ， ； 把代入，解得， ， 把代入，解得， ，，   【解析】利用待定系数法即可求解； 求得C、D的坐标，即可求得，，得到 本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 22.【答案】解：设米， 在中，， ， 米， 米， ，， ∽， ，即， 解得：， 答：大树AB的高度约为米．  【解析】设米，根据正切的定义用x表示出BF，进而表示出BC，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23.【答案】证明：连OD， 在和中， ， ≌， ， 与相切， ， ， ， ， 为半径， 是切线； 解：连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径为； 解：为AB的中点，， ， ， ， ， ， ∽， ， ，   【解析】连OD，证明≌，由全等三角形的性质得出，由切线的性质得出，则可得出，可得出结论； 由锐角三角函数可求AB的长，由勾股定理可求AC的长，由锐角三角函数可求OB的长，即可求解； 由直角三角形的性质得出，得出，证明∽，由相似三角形的性质可得，则可求解． 本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，证明∽是解题的关键． 24.【答案】  【解析】解：， 当时， 将代入二次函数解析式得， ， 点B的坐标为 故答案为：65， 设x关于t的函数解析式是， 因为点，在该函数图象上， ， 解得， 关于t的函数解析式是 设直线AB的解析式为， 点，点在该直线上， ， 解得， 直线AB的解析式为 当时，h取得最大值，此时 将代入中，解得，即当t为2时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是 根据题意，可得，将代入二次函数解析式，求出y的值，即可得点B的坐标； ①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式； ②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值． 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 25.【答案】探究解：矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形EFCG， ， ， ， 矩形ABCD， ， 探究证明：如图，连接BE， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ； 探究解：关系式为，证明如下： 如图，连接CM， 在≌中， ， ≌， ， ，， ， ， 在和中， ，， ∽， ， ，   【解析】探究根据题意，证明，即可解答． 探究连接BE，证明≌，得到，即可证得． 探究连接CM，证明≌，∽，即可解答． 本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$