8.1.2向量数量积的运算律课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8．1　向量的数量积 8．1.2　向量数量积的运算律 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 高考链接 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 数学 学习目标 核心素养 通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律 数学抽象 能利用运算律进行向量的数量积运算 数学运算 新知初探 1．两个向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝________________． (2)结合律：(λa)·b＝________(λ∈R). (3)分配律：(a＋b)·c＝____________． 2．一组常用公式 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (3)(a＋b)(a－b)＝a2－b2； (4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c. 答案 1．(1)b·a　(2)λ(a·b)　(3)a·c＋b·c 初试身手 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．(　　) (2)若a·b＝a·c，则b＝c，其中a≠0.(　　) (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ eq \r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　) A．0 B．a C．b D．c 解析：b·c＝|b||c|cos 45°＝1. ∴a·(b·c)＝a.故选B. 答案：B 3．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝(　　) A．2 B．2 eq \r(3) C．6 D．12 解析：∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12.故选D. 答案：D 4．(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝________． (2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________． (3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝________，|a－b|＝________，|a2＋b2|＝________． 解析：(1)∵b在a上的投影的数量为 |b|cos 〈a，b〉＝－2，∴a·(a－b)＝a2－a·b ＝a2－|a||b|cos 〈a，b〉＝8， (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝－7. (3)|a2－b2|＝28，|a－b|＝ eq \r((a－b)2) ＝ eq \r(a2＋b2－2a·b)＝ eq \r(a2＋b2－2|a||b|cos 〈a，b〉) ＝2 eq \r(37)，|a2＋b2|＝100. 答案：(1)8　(2)－7　(3)28　2 eq \r(37)　100 类型1　向量数量积的运算律 【例1】　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： ①a·b；②a2－b2；③(2a－b)·(a＋3b). (2)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求 eq \o(AE,\s\up6(→))· eq \o(BD,\s\up6(→))的值． 【解】　(1)①a·b＝|a||b|cos 120° ＝2×3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. ③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝－34. (2) eq \o(AE,\s\up6(→))· eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))·( eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→))2－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))2－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,2). 【规律方法】 求两向量的数量积的两种常见题型 (1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解． (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解． 跟踪训练1 (1)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)在边长为1的正三角形ABC中，设 eq \o(BC,\s\up6(→))＝2 eq \o(BD,\s\up6(→))， eq \o(CA,\s\up6(→))＝3 eq \o(CE,\s\up6(→))，则 eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(BE,\s\up6(→))＝________． 解析：(1)由已知得，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝ 60°， ∴(2a－b)·b＝2a·b－b2 ＝2|a||b|cos 〈a，b〉－|b|2 ＝2×1×1×cos 60°－12＝0.故选B. (2)由已知得， eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))， eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up6(→))， eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→))＋ eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))， 所以 eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)|\o(AC,\s\up6(→))|2－|\o(AB,\s\up6(→))|2－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－1－\f(1,3)cos 60°))＝－ eq \f(1,4). 答案：(1)B　(2)－ eq \f(1,4) 类型2　求向量的模 【例2】　已知向量 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|. 【解】　∵a·b＝|a||b|cos ∠AOB ＝4×4× eq \f(1,2)＝8， ∴|a＋b|＝ eq \r((a＋b)2)＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2) ＝ eq \r(16＋16＋16)＝4 eq \r(3)， |a－b|＝ eq \r((a－b)2)＝ eq \r(a2－2a·b＋b2) ＝ eq \r(16－16＋16)＝4， |3a＋b|＝ eq \r((3a＋b)2)＝ eq \r(9a2＋6a·b＋b2) ＝ eq \r(9×16＋48＋16)＝4 eq \r(13). 【规律方法】 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． 跟踪训练2 已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ eq \r(10)，则|b|＝________. 解析：因为|2a＋b|＝ eq \r(10)， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1， 所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10， 故4×12＋4×1×|b|× eq \f(\r(2),2)＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 eq \r(2)|b|－6＝0， 解得|b|＝ eq \r(2)或|b|＝－3 eq \r(2)(舍去)， 故|b|＝ eq \r(2). 答案： eq \r(2) 类型3　求向量的夹角 【例3】　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 【解】　由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0，① (a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2－30a·b＋8b2＝0，② ①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝ eq \f(1,2)b2， 代入①②中任一式，得a2＝b2， 设a，b的夹角为θ， 则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝ eq \f(1,2)， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 【规律方法】 eq \x(　　1.求向量a，b夹角的流程图,求|a|，|b|→计算a·b→计算cos θ＝\f(a·b,|a||b|),→结合θ∈[0，π]，,求解θ) 2．两向量的夹角 若两非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a·b≠－|a||b|. 特别提醒：求两向量的夹角时，要注意θ∈[0，π]. 跟踪训练3 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ. 解：∵e1，e2为单位向量且夹角为60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝ eq \f(1,2). ∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝－2－e1·e2＋1＝－ eq \f(3,2)， |a|＝ eq \r(a2)＝ eq \r((e1＋e2)2)＝ eq \r(3)， |b|＝ eq \r(b2)＝ eq \r((e2－2e1)2)＝ eq \r(3)， ∴cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝－ eq \f(1,2). 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 类型4　利用数量积解决垂直问题 【例4】　(1)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直？ (2)在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足| eq \o(CE,\s\up6(→))|＝2| eq \o(DE,\s\up6(→))|，如图所示，设 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(AD,\s\up6(→))＝b. ①用a，b表示 eq \o(BE,\s\up6(→))； ②在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求| eq \o(AF,\s\up6(→))|；若不存在，请说明理由． 【解】　(1)若c⊥d，则c·d＝0， 即(3a＋5b)·(ma－3b)＝0， 即3ma2－9a·b＋5ma·b－15b2＝0. 由a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4， a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝3， 得27m－27＋15m－60＝0，解得m＝ eq \f(29,14). (2)①根据题意得， eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＝b， eq \o(CE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3)a， ∴ eq \o(BE,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CE,\s\up6(→))＝b－ eq \f(2,3)a； ②在线段BC上存在使得4| eq \o(BF,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|的一点F满足AF⊥BE，此时| eq \o(AF,\s\up6(→))|＝ eq \f(\r(21),4).理由如下： 设 eq \o(BF,\s\up6(→))＝t eq \o(BC,\s\up6(→))＝tb， 则 eq \o(FC,\s\up6(→))＝(1－t)b，(0≤t≤1)， ∴ eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BF,\s\up6(→))＝a＋tb， ∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°， ∴|a|＝|b|＝1， a·b＝|a||b|cos 60°＝ eq \f(1,2)， ∵AF⊥BE， ∴ eq \o(AF,\s\up6(→))· eq \o(BE,\s\up6(→))＝(a＋tb)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(2,3)a)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)t))a·b－ eq \f(2,3)a2＋tb2 ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)t))× eq \f(1,2)－ eq \f(2,3)＋t＝0， 解得t＝ eq \f(1,4)，从而 eq \o(AF,\s\up6(→))＝a＋ eq \f(1,4)b， ∴| eq \o(AF,\s\up6(→))|＝ eq \r(\o(\s\up26(,\o(AF),\s\do9(\s\up6(→))2)))＝ eq \r(a2＋\f(1,2)a·b＋\f(1,16)b2) ＝ eq \r(1＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,16))＝ eq \f(\r(21),4). 【规律方法】 对于非零向量a，b，a⊥b⇒a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有： (1)证明两向量垂直． (2)利用a·b＝0列方程求未知数的值． (3)解决平面几何图形中的垂直问题． 跟踪训练4 (1)如图，已知平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，且|a|＝|b|，试用a，b表示 eq \o(BD,\s\up6(→))， eq \o(AC,\s\up6(→))并计算 eq \o(BD,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))，判断 eq \o(BD,\s\up6(→))与 eq \o(AC,\s\up6(→))的位置关系． (2)设平面内两非零向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k和t是两个不同时为零的实数． ①若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)； ②求函数k＝f(t)的最小值． 解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＝b，∴ eq \o(BD,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))＝b－a. 而 eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b， ∴ eq \o(BD,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝(b－a)·(b＋a) ＝b2－a2＝|b|2－|a|2. 又∵|a|＝|b|，∴ eq \o(BD,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝0，即 eq \o(BD,\s\up6(→))⊥ eq \o(AC,\s\up6(→)). (2)①∵a⊥b，∴a·b＝0，又x⊥y，∴x·y＝0， 即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0. 整理得－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2 ＝0， ∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0， 即k＝ eq \f(1,4)(t2－3t). ②由①知，k＝ eq \f(1,4)(t2－3t)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(9,16)， 即函数的最小值为－ eq \f(9,16). 1．(2022年高考·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝ eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析： ∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2， 又∵|a|＝1，|b|＝ eq \r(3)，|a－2b|＝3， ∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b， ∴a·b＝1.故选C. 答案：C 2．(2022年高考·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3)，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝3，则(2a＋b)·b＝________． 解析：设a与b的夹角为θ， 因为a与b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3)， 即cos θ＝ eq \f(1,3)， 又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝3， 所以a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cos θ＝1×3× eq \f(1,3)＝1， 所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋b))·b＝2a·b＋b2 ＝2a·b＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2＝2×1＋32＝11. 答案：11 1．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较 实数a，b，c 向量a，b，c a≠0，a·b＝0⇒b＝0 a≠0，a·b＝0D⇒/ b＝0 a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)D⇒/ a＝c |a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b| 满足乘法结合律 不满足乘法结合律 　　2.要掌握与数量积相关的三个问题 (1)数量积的计算． (2)向量的模的计算． (3)向量的夹角及垂直问题． $$