浙江省舟山市南海实验高中2024届高三下学期高考仿真模拟考试数学试卷

数学试题第1页（共4页） 绝密★考试结束前 南海实验高中 2024 届高考仿真模拟考试 数学学科 本试卷共4页，19小题，满分150分 .考试用时120分钟 . 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上 .将 条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂 黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上 . 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相 应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效 . 4. 考生必须保持答题卷的整洁,不要折叠、不要弄破 . 选择题部分 （共58分） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 . 1. 已知等差数列{ an }的前n项和为Sn，若a3 + a6 = 9，则S8= A．12 B．24 C．36 D．48 2. 若3 sin ( )π - α - 4 cos α = 0，则1 - cos 2α = A．725 B． 18 25 C． 27 25 D． 32 25 3. 若古典概型的样本空间Ω = { }1,2,3,4 ，事件A = { }1,2 ，甲：事件B = Ω，乙：事件A,B相互独立，则 甲是乙的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 舟山桃夭门大桥系双塔双索面斜拉桥，其中一塔如图。共有 10对永久拉索，在索塔两侧对称排 列．已知拉索上端相邻两个锚的间距 || PiPi + 1 ( )i = 1,2,3,⋯,9 均为 3.4m，拉索下端相邻两个锚 的间距 || Ai Ai + 1 ( )i = 1,2,3,⋯,9 均为 16m．最短拉索的锚 P1，A1 满足 ||OP1 = 66m， ||OA1 = 86m， 则最长拉索所在直线的斜率为 A．±0.47 B．±0.45 C．±0.42 D．±0.40 第4题图 数学试题第2页（共4页） 5. ( x + 1)2( )x - 1x 6的展开式中含 x3项的系数为 A．30 B．-20 C．20 D．-30 6．函数 f ( )x = x ( )e-x + ex2 + cos x 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 7. 如图，F1，F2是分别是双曲线 x 2 a2 - y2 b2 = 1(a > 0，b > 0)的左、右焦点， P为双曲线右支上的一点，圆M与△PF1F2 三边所在的直线都相切， 切点为A，B，C，若 || PB = a，则双曲线的离心率为 A． 2 B．2 C． 3 D．3 8. 已知实数a,b分别满足 ea = 1.02，ln ( )b + 1 = 0.02，且 c = 151，则 A．a < b < c B．b < a < c C．b < c < a D．c < a < b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 .在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 . 9. 已知复数 z1,z2是关于 x的方程 x2 + bx + 1 = 0(-2 < b < 2,b ∈ R )的两根，下列说法中正确的是 A．-z1 = z2 B．z1z2 ∈ R C． || z1 = || z2 = 1 D．若 b = 1，则 z31 = z32 = 1 10.已知函数 f ( x ) = sin (2x + φ ) (0 < φ < π)的图像关于点( )2π3 ,0 中心对称，则（ ） A． 直线 x = 7π6 是曲线 y = f ( x )的对称轴 B． f ( x )在区间( )0, 5π12 单调递减 C． f ( x )在区间( )- π12 , 11π12 有1个极值点 . D． 直线 y = 32 - x是曲线 y = f ( x )的切线 11.如图，点M是正方体 ABCD - A1B1C1D1 中的侧面 ADD1A1 上的一个动点，则下列结论正确的是 A．点M存在无数个位置满足CM ⊥ A1D B．若正方体的棱长为1，三棱锥B - C1MD的体积最大值为 13 C．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30° D．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线C1D1的距离相等 第11题图 第7题图 数学试题第3页（共4页） 非选择题部分 （共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 . 12.计算 log375 - 2 log95 - log 3 5 = ▲ . 13.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号 盒子内装有两个 1号球，一个 3号球；3号盒子内装有三个 1号球，两个 2号球，若第一次先从 1 号盒子内随机抽取 1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个 球，则第二次抽到3号球的概率为 ▲ . 14.已知对a > 0，∀x1，x2 ∈ R，当 x1 < x2时，都有 e x1 - ex2 x1 - x2 > x1 + x2 a ，则实数a的取值范围是 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图，在四棱台ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD菱形，∠ABC = π3 ，DD1 ⊥平面ABCD，∠B1BD = π 6 ，BB1 = AB = 2A1B1 = 2. （1）求证：直线AC ⊥平面BDB1； （2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值 . 13.浙江海洋大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性 别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为 16:9，从该学院所有学生中抽取若干人作为样 本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表． 跑步里程 s（km） 男生 女生 0 ≤ s < 30 a 6 30 ≤ s < 60 9 6 60 ≤ s < 90 10 4 s ≥ 90 6 2 用样本频率估计总体概率， （1）求 a的值，并估计从 A 学院所有学生中抽取一人，该学生 5 月份累计跑步里程 s（km）在 [ 0,30)中的概率； （2）从A学院所有男生中随机抽取 2人，从A学院所有女生中随机抽取 2人，估计这 4人中恰有 2人在5月份的累计跑步里程不低于60 km的概率； （3）该大学B学院男生与女生人数之比为λ，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况， 也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表． 5月份累计跑步里程平均值（单位：km） 学院性别 男生 女生 A 50 40 B 59 45 设A学院样本中学生 5月份累计跑步里程平均值为-xA，B学院样本中学生 5月份累计跑步里 程平均值为 -xB，是否存在λ，使得 -xA ≥ -xB?如果存在，求λ最大值；如果不存在，说明理由． 数学试题第4页（共4页） 17.已知函数 f ( x ) = sin x - ax. （1）对于 x ∈ (0,1)，f ( x ) > 0恒成立，求实数a的取值范围； （2）当a = 1时，令h ( x ) = f ( x ) - sin x + ln x + 1，求h ( x )的最大值； 18.已知椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 = 1( )a > b > 0 的左、右焦点分别是 F1、F2，其离心率 e = 12，点 P是椭圆 C 上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为 π3 ． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A,B，求证： || PF1 ||F1A + || PF2 ||F2B 为定值． 19.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用 . 如图，在平面直角坐标系 xOy中，螺线与坐 标轴依次交于点 A1 (-1,0)，A2 (0,-2)，A3 (3,0)，A4 (0,4)，A5 (-5,0)，A6 (0,-6)，A7 (7,0)，A8 (0,8)，并按 这样的规律继续下去 . （1）求A3A4, An An+4. （2）求证：不存在正整数n，使得三角形An An+1An+2的面积为2022； （3）求证：对于任意正整数n，三角形An An+1An+2为锐角三角形 . 第19题图 浙江省南海实验高中高考仿真模拟测试试卷参考答案 1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 9．ACD 10．BCD 11．ABD 12. 1 13. 14. 15．（1）证明：在菱形中，. 因为平面，平面，所以. 又，，平面，所以平面. 在四棱台中，与相交，故，，，四点共面，所以直线平面. （2）解：记与交点为，连接，在三角形中，由余弦定理计算得， 由勾股定理得，所以平面，即. 以为原点，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 可求得，，，，， 则，，. 设平面的法向量，则 取，得平面的一个法向量. 记直线与平面，所成角为，则. 16.（1）依题意，解得， 所以在中的概率为； （2）学院所抽取的学生中男生有人， 其中5月份的累计跑步里程不低于有人， 女生有人， 其中5月份的累计跑步里程不低于有人， 所以在A学院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率为， 在A学院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率为， 所以4人中恰有2人累计跑步里程不低于的概率为 ； （3）设B学院女生有人，则男生有人， ， ， 依题意，即， 显然，解得，所以的最大值为. 17．（1）由，得：， 因为，所以， 令，， 再令，， 所以在上单调递减，所以， 所以，则在上单调递减，所以，所以. （2）当时，，∴，， 由，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ∴. 18．（1）设内切圆的半径为，则， ， 当的面积最大时，内切圆的半径最大， 则当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，最大值为， 的最大值为，又内切圆面积的最大值为，， 由得：，椭圆的标准方程为：． （2）设，，， ①当时，设直线，的直线方程分别为，， 由得：， ， ， ， ， 同理由可得：， ； ②当时，直线，与轴重合，则 则； 综上所述：为定值． 19． （1）， （2） ，所以不可能等于 （3），，，因为，所以在三角形中，为最大角， ，则为锐角，即三角形为锐角三角形. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$