8.1.1向量数量积的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 学习目标 核心素养 理解平面向量数量积的概念及其几何意义 数学抽象 掌握向量数量积的性质及应用 数学运算 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 直观想象 新知初探 1．两个向量的夹角 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→))＝a， eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则称[0，π]内的______为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (1)两个向量夹角的取值范围是________________________________________________________________________， 且〈a，b〉＝__________． (2)当〈a，b〉＝__________时，称向量a与向量b垂直，记作________． 2．向量数量积的定义 一般地，当a与b都是非零向量时，称______________为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝____________________． (1)当〈a，b〉∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，a·b____0; (2)当〈a，b〉＝ eq \f(π,2)时，a·b______0； (3)当〈a，b〉∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，a· b______0. 3．两个非零向量a，b的数量积的性质： (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________； (2)a⊥b⇒______，且________⇒a⊥b； (3)a·a＝________，即________＝ eq \r(a·a)； (4)cos 〈a，b〉＝________(|a||b|≠0)； (5)|a·b|______|a||b|. 4．向量的投影与向量数量积的几何意义 (1)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影． (2)一般地，如果a，b都是非零向量，则______________为向量a在向量b上的投影的数量． (3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的________与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义． 答案 1．∠AOB　(1)[0，π]　〈b，a〉　(2) eq \f(π,2)　a⊥b 2．|a||b|cos 〈a，b〉　|a||b|cos 〈a，b〉 (1)>　(2)＝　(3)< 3．(1)|a|cos 〈a，e〉　(2)a·b＝0　a·b＝0 (3)|a|2　|a|　(4) eq \f(a·b,|a||b|)　(5)≤ 4．(2)|a|cos 〈a，b〉　(3)投影的数量 初试身手 1．已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝ eq \f(π,3)，则a·b＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．0 解析：因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝ eq \f(π,3)， 则a·b＝|a||b|cos eq \f(π,3)＝2×3× eq \f(1,2)＝3.故选B. 答案：B 2．已知平面向量|a|＝1，|b|＝2，则a2＋b2＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．－5 解析：因为|a|＝1，|b|＝2， 所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝5.故选C. 答案：C 3．已知向量|a|＝6，|b|＝2，向量a，b的夹角为120°，则向量a在b上的投影的数量为(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析：根据向量数量积的几何意义，向量a在b上的投影的数量为|a|cos 120°＝6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3.故选D. 答案：D 4．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________， eq \o(CD,\s\up6(→))和 eq \o(AC,\s\up6(→))的夹角为________． 解析：等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB, CD和AC的夹角为45°， eq \o(CD,\s\up6(→))和 eq \o(AC,\s\up6(→))的夹角为135°. 答案：45°　135° 类型1　与向量数量积有关的概念 【例1】　(1)以下四种说法正确的是________．(填序号) ①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角； ③在△ABC中，如果 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝0，那么△ABC为直角三角形； ④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2. (2)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则 eq \o(BA,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝________． 【解析】　(1)由数量积的定义知， a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角). 若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0， 故①错误； 若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错误； 由 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝0知，B＝90°， 故△ABC为直角三角形，故③正确； 由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确． (2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 因为AB＝AC， 所以BD＝ eq \f(1,2)BC＝2， 于是| eq \o(BA,\s\up6(→))|cos ∠ABC＝| eq \o(BD,\s\up6(→))| ＝ eq \f(1,2)| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2)×4＝2， 所以 eq \o(BA,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝| eq \o(BA,\s\up6(→))|| eq \o(BC,\s\up6(→))|cos ∠ABC ＝4×2＝8. 【答案】　(1)③④　(2)8 【规律方法】 1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写． 2．求平面向量数量积的方法 (1)若已知向量的模与其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ求解． (2)若已知一向量的模与另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b. 跟踪训练1 给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________．(填序号) 解析：由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0， 则a＝b＝0，故①正确； 若a＋b＝0，则a＝－b， 又a，b，c是三个非零向量， 所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|， 故②正确； a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，故③错误； 对于④，应有|a||b|≥a·b，故④错误； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，故⑤错误； 对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0， 故⑦错误； 对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错误． 综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥ 类型2　向量数量积的运算 【例2】　(1)已知点A，B，C满足| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝3，| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝4，| eq \o(CA,\s\up6(→))|＝5，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))的值是________． (2)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b. 【解析】　(1)解法1：如图，根据题意可知， △ABC为直角三角形， 且B＝ eq \f(π,2)，cos A＝ eq \f(3,5)，cos C＝ eq \f(4,5)， ∴ eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝4×5cos (π－C)＋5×3cos (π－A) ＝－20cos C－15cos A＝－25. 解法2： eq \o(CA,\s\up6(→))在 eq \o(BC,\s\up6(→))上的投影为 eq \o(CB,\s\up6(→))， eq \o(CA,\s\up6(→))在 eq \o(AB,\s\up6(→))上的投影为 eq \o(BA,\s\up6(→))，因此 eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＝－ eq \o(BC,\s\up6(→))2＝－16， eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \o(AB,\s\up6(→))2＝－9， eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝0. ∴ eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝－25. 解法3： eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝0＋ eq \o(CA,\s\up6(→))·( eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝－ eq \o(AC,\s\up6(→))2 ＝－25. (2)①当a∥b时，若a与b同向， 则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. ③当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝5 eq \r(3). 【答案】　(1)－25　(2)见解析 【规律方法】 向量数量积的运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉； (2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝ 90°三种特殊情况． 跟踪训练2 如图所示，在▱ABCD中，| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝4，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝3，∠DAB＝60°，求： (1) eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))； (2) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(CD,\s\up6(→))； (3) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(DA,\s\up6(→)). 解：(1)因为 eq \o(AD,\s\up6(→))∥ eq \o(BC,\s\up6(→))，且方向相同， 所以 eq \o(AD,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角是0°， 所以 eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝| eq \o(AD,\s\up6(→))|| eq \o(BC,\s\up6(→))|cos 0°＝9. (2)因为 eq \o(AB,\s\up6(→))∥ eq \o(CD,\s\up6(→))，且方向相反， 所以 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(CD,\s\up6(→))的夹角是180°， 所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(CD,\s\up6(→))＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|| eq \o(CD,\s\up6(→))|cos 180°＝－16. (3)因为 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AD,\s\up6(→))的夹角为60°， 所以 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(DA,\s\up6(→))的夹角为120°， 所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(DA,\s\up6(→))＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|| eq \o(DA,\s\up6(→))|cos 120°＝－6. 类型3　向量的夹角 【例3】　(1)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2) (2)在等边三角形ABC中，向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与向量 eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角为________；若E为BC的中点，则向量 eq \o(AE,\s\up6(→))与 eq \o(EC,\s\up6(→))的夹角为______． 【解析】　(1)设a与b的夹角为θ，则根据向量数量积公式可得cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)，则cos θ＝ eq \f(2,1×4)＝ eq \f(1,2). ∵θ∈[0，π].∴θ＝ eq \f(π,3).故选C. (2)∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°. 如图，延长边AB至点D， 使BD＝AB， ∴ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(BD,\s\up6(→))， ∴∠DBC为向量 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角， 且∠DBC＝120°， ∴ eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角为120°. 又∵E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴ eq \o(AE,\s\up6(→))与 eq \o(EC,\s\up6(→))的夹角为90°. 【答案】　(1)C　(2)120°　90° 【规律方法】 求平面向量的夹角的方法技巧 (1)已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)，若是特殊角，再求向量的夹角． (2)在△ABC中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系． 跟踪训练3 (1)已知a是单位向量，且3a·b＝|b|，则sin 〈a，b〉＝________． (2)在△ABC中，| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝3，| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝4， eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝－6，则∠B＝________． 解析：(1)因为a是单位向量，且3a·b＝|b|， 则3|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|，得cos 〈a，b〉＝ eq \f(1,3)， 又sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉＝1， 得sin2〈a，b〉＝ eq \f(8,9). 又0≤〈a，b〉≤π，得sin〈a，b〉＝ eq \f(2 \r(2),3). (2)cos 〈 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝－ eq \f(1,2)， ∴〈 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BC,\s\up6(→))〉＝120°， 又 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角为∠B的补角， ∴∠B＝180°－120°＝60°. 答案：(1) eq \f(2 \r(2),3)　(2)60° 类型4　数量积的几何意义 【例4】　(1)已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为 eq \f(\r(3),2)，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，则a在b上投影的数量为________，b在a上投影的数量为________． 【解析】　(1)因为向量b的模为1.且b在a方向上的投影的数量为 eq \f(\r(3),2)，则|b|cos 〈a，b〉＝ eq \f(\r(3),2)，得cos 〈a，b〉＝ eq \f(\r(3),2)，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝ eq \f(π,6)＝30°. (2)因为平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，所以|a||b|cos 〈a，b〉＝－4，得cos 〈a，b〉＝－ eq \f(1,3).所以a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝－ eq \f(2,3)，b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝－2. 【答案】　(1)A　(2)－ eq \f(2,3)　－2 【规律方法】 关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项 (1)向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数． (2)向量a在向量b上的投影的数量是|a|cos 〈a，b〉，向量b在向量a上的投影的数量是|b|cos 〈a，b〉，二者不能混为一谈． 跟踪训练4 (1)如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))的值为(　　) A.r B．2r C．1 D．2 (2)已知向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝________． 解析：(1)如图，作AB的中点H，连接CH，则向量 eq \o(AC,\s\up6(→))在 eq \o(AB,\s\up6(→))方向上的投影的数量为AH＝| eq \o(AC,\s\up6(→))|cos ∠CAB，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|| eq \o(AC,\s\up6(→))|cos ∠CAB＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|| eq \o(AH,\s\up6(→))|＝2. (2)因为向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|cos 〈a，b〉·|b|＝2×3＝6. 答案：(1)D　(2)6 1．知识导图 2．对正投影的三点诠释 (1)a·b等于|a|与b在a方向上的正投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的正投影的乘积． (2)b在a方向上的正投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成 eq \f(a·b,|a|) . $$