7.4数学建模活动：周期现象的描述课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．4　数学建模活动：周期现象的描述 数学 目标导向 数学 数学 自主预习 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 合作探究 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课堂小结 数学 数学 数学 学习目标 核心素养 会用三角函数解决简单的实际问题 数学抽象 数学运算 体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 数学建模 数学运算 新知初探 1．四类周期现象模型 (1)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A＞0，ω＞0)来表示． (2)单摆、弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y＝A sin (ωx＋φ)，其中______表示时间，______表示位移， ______表示振幅，________表示频率，______表示初相位． (3)音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝A sin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的______， eq \f(|ω|,2π)表示纯音振动的______(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强). (4)交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y＝A sin (ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示________， eq \f(|ω|,2π)表示频率，φ表示初相位． 2. 三角函数模型的建立程序 3. 三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． 答案 1．(2)x　y　A　 eq \f(|ω|,2π)　φ (3)位移　频率 (4)最大电流 初试身手 1．判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制．(　　) (2)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为4℃. (　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A. eq \f(1,50) B．50 C. eq \f(1,100) D．100 解析：T＝ eq \f(2π,100π)＝ eq \f(1,50).故选A. 答案：A 3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________s． 解析：由题意易知，单摆来回摆动一次所需的时间恰好为一个周期，即T＝ eq \f(2π,2π)＝1 s． 答案：1 4．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝ eq \f(1,200) s时，电流I为________A． 解析：I＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝5cos eq \f(π,3)＝2.5A. 答案：2.5 5．振动量y＝ eq \r(2)sin (ωx＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π和 eq \f(3,2)，则它的相位是________． 解析：因为T＝ eq \f(2,3)，所以ω＝3π，初相为－π， 所以相位为3πx－π. 答案：3πx－π 类型1　三角函数在物理中的应用 【例1】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【解】　列表如下： t － eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) 2t＋ eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3))) 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 　　描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))， 得s＝4sin eq \f(π,3)＝2 eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2 eq \r(3)cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s． 【规律方法】 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T＝ eq \f(2π,ω)称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； (3)f＝ eq \f(1,T)＝ eq \f(ω,2π)称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数． 跟踪训练1 电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝A sin (ωt＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))). (1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个 eq \f(1,100) s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？ 解：(1)由图，可知A＝300. ∵T＝ eq \f(1,60)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＝ eq \f(1,50)，∴ω＝ eq \f(2π,T)＝100π， ∴I＝300sin (100πt＋φ). 将 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)，0))代入解析式， 得－ eq \f(π,3)＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝ eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z. ∵|φ|< eq \f(π,2)，∴φ＝ eq \f(π,3)， ∴I＝300sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))). (2)由题意，知 eq \f(2π,ω)≤ eq \f(1,100)，∴ω≥200π， ∴正整数ω的最小值为629. 类型2　三角函数的实际应用 【例2】　通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃. (1)求出该地区该时段的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表达式； (2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 【解】　(1)由题意知， 易知 eq \f(T,2)＝14－2，所以T＝24，所以ω＝ eq \f(π,12)， 易知8sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×2＋φ))＋6＝－2， 即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×2＋φ))＝－1， 故 eq \f(π,12)×2＋φ＝－ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得φ＝－ eq \f(2π,3)， 所以y＝8sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)x－\f(2π,3)))＋6　(x∈[0，24)). (2)当x＝9时，y＝8sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×9－\f(2π,3)))＋6＝8sin eq \f(π,12)＋6<8sin eq \f(π,6)s＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调． 【规律方法】 解三角函数应用问题的基本步骤　 跟踪训练2 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 　　经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b. (1)根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解：(1)由表中数据，知周期T＝12. ∴ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(2π,12)＝ eq \f(π,6). 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5， 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为 eq \f(1,2)， ∴y＝ eq \f(1,2)cos eq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24). (2)由题知，当y＞1时，才可对冲浪者开放， ∴ eq \f(1,2)cos eq \f(π,6)t＋1＞1，∴cos eq \f(π,6)t＞0. ∴2kπ－ eq \f(π,2)＜ eq \f(π,6)t＜2kπ＋ eq \f(π,2). 即12k－3＜t＜12k＋3，① ∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2， 得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24. ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9∶00至下午3∶00. 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意 读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题． (2)建立函数模型 整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型． (3)解答函数模型 利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果． (4)得出结论 将所得结果翻译成实际问题的答案． $$